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La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T16:36:30Z

Thepaut : /* Source et documents annexes */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266</math> avec <math>n = 70</math> et <math>C_0 = 1</math> ou <math>\lambda = 1,3035830259</math> avec <math>n = 65</math> et <math>C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Le théorème de la « séparation » ===

''Notation :''

''X signifie un chiffre non nul.''

''« <math>X]</math> » désigne une chaîne qui se termine par X.''

''« <math>[X</math> » désigne une chaîne qui se commence par X.''

''« <math>X^i</math> » désigne une répétition de X, i fois. (e.g. <math>2^4 \Leftrightarrow 2222</math> )''

Une chaîne GD ayant été décomposé au moins 2 fois peut se découper en deux chaînes G et D si l'une des conditions suivantes est respectée.

Pour <math>n \geq 4</math> et <math>m \leq 3</math> :

{| class="wikitable"
|-
! G (partie gauche) !! D (partie droite)
|-
| <math>n]</math> || <math>[m</math>
|-
| <math>2]</math> || <math>[1^1X^1</math> ou <math>[1^3</math> ou <math>[3^1X^{\ne 3}</math> ou <math>[n^1</math>
|-
| <math>\ne 2]</math> || <math>2^21^1X^1</math> ou <math>[2^21^3</math> ou <math>2^23^1X^{\ne 3}</math> ou <math>[2^2n^{(0 ou 1)}</math>
|}

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leurs numéro et les chaînes correspondantes.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la décomposition de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En décomposant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j descendants par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Source et documents annexes ==

''' Source '''

* Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.

''' Annexes '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_ttl.zip Projet complet (Programmes, documents, données...)]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T15:47:18Z

Thepaut : /* Le théorème « arithmétique » */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266</math> avec <math>n = 70</math> et <math>C_0 = 1</math> ou <math>\lambda = 1,3035830259</math> avec <math>n = 65</math> et <math>C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Le théorème de la « séparation » ===

''Notation :''

''X signifie un chiffre non nul.''

''« <math>X]</math> » désigne une chaîne qui se termine par X.''

''« <math>[X</math> » désigne une chaîne qui se commence par X.''

''« <math>X^i</math> » désigne une répétition de X, i fois. (e.g. <math>2^4 \Leftrightarrow 2222</math> )''

Une chaîne GD ayant été décomposé au moins 2 fois peut se découper en deux chaînes G et D si l'une des conditions suivantes est respectée.

Pour <math>n \geq 4</math> et <math>m \leq 3</math> :

{| class="wikitable"
|-
! G (partie gauche) !! D (partie droite)
|-
| <math>n]</math> || <math>[m</math>
|-
| <math>2]</math> || <math>[1^1X^1</math> ou <math>[1^3</math> ou <math>[3^1X^{\ne 3}</math> ou <math>[n^1</math>
|-
| <math>\ne 2]</math> || <math>2^21^1X^1</math> ou <math>[2^21^3</math> ou <math>2^23^1X^{\ne 3}</math> ou <math>[2^2n^{(0 ou 1)}</math>
|}

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leurs numéro et les chaînes correspondantes.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la décomposition de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En décomposant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j descendants par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Source et documents annexes ==

''' Source '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T13:42:38Z

Thepaut : /* Sources et documents annexes */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Le théorème de la « séparation » ===

''Notation :''

''X signifie un chiffre non nul.''

''« <math>X]</math> » désigne une chaîne qui se termine par X.''

''« <math>[X</math> » désigne une chaîne qui se commence par X.''

''« <math>X^i</math> » désigne une répétition de X, i fois. (e.g. <math>2^4 \Leftrightarrow 2222</math> )''

Une chaîne GD ayant été décomposé au moins 2 fois peut se découper en deux chaînes G et D si l'une des conditions suivantes est respectée.

Pour <math>n \geq 4</math> et <math>m \leq 3</math> :

{| class="wikitable"
|-
! G (partie gauche) !! D (partie droite)
|-
| <math>n]</math> || <math>[m</math>
|-
| <math>2]</math> || <math>[1^1X^1</math> ou <math>[1^3</math> ou <math>[3^1X^{\ne 3}</math> ou <math>[n^1</math>
|-
| <math>\ne 2]</math> || <math>2^21^1X^1</math> ou <math>[2^21^3</math> ou <math>2^23^1X^{\ne 3}</math> ou <math>[2^2n^{(0 ou 1)}</math>
|}

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leurs numéro et les chaînes correspondantes.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la décomposition de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En décomposant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j descendants par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Source et documents annexes ==

''' Source '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T13:42:06Z

Thepaut : /* Sources et documents annexes */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Le théorème de la « séparation » ===

''Notation :''

''X signifie un chiffre non nul.''

''« <math>X]</math> » désigne une chaîne qui se termine par X.''

''« <math>[X</math> » désigne une chaîne qui se commence par X.''

''« <math>X^i</math> » désigne une répétition de X, i fois. (e.g. <math>2^4 \Leftrightarrow 2222</math> )''

Une chaîne GD ayant été décomposé au moins 2 fois peut se découper en deux chaînes G et D si l'une des conditions suivantes est respectée.

Pour <math>n \geq 4</math> et <math>m \leq 3</math> :

{| class="wikitable"
|-
! G (partie gauche) !! D (partie droite)
|-
| <math>n]</math> || <math>[m</math>
|-
| <math>2]</math> || <math>[1^1X^1</math> ou <math>[1^3</math> ou <math>[3^1X^{\ne 3}</math> ou <math>[n^1</math>
|-
| <math>\ne 2]</math> || <math>2^21^1X^1</math> ou <math>[2^21^3</math> ou <math>2^23^1X^{\ne 3}</math> ou <math>[2^2n^{(0 ou 1)}</math>
|}

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leurs numéro et les chaînes correspondantes.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la décomposition de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En décomposant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j descendants par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Source '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T13:40:46Z

Thepaut :

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Le théorème de la « séparation » ===

''Notation :''

''X signifie un chiffre non nul.''

''« <math>X]</math> » désigne une chaîne qui se termine par X.''

''« <math>[X</math> » désigne une chaîne qui se commence par X.''

''« <math>X^i</math> » désigne une répétition de X, i fois. (e.g. <math>2^4 \Leftrightarrow 2222</math> )''

Une chaîne GD ayant été décomposé au moins 2 fois peut se découper en deux chaînes G et D si l'une des conditions suivantes est respectée.

Pour <math>n \geq 4</math> et <math>m \leq 3</math> :

{| class="wikitable"
|-
! G (partie gauche) !! D (partie droite)
|-
| <math>n]</math> || <math>[m</math>
|-
| <math>2]</math> || <math>[1^1X^1</math> ou <math>[1^3</math> ou <math>[3^1X^{\ne 3}</math> ou <math>[n^1</math>
|-
| <math>\ne 2]</math> || <math>2^21^1X^1</math> ou <math>[2^21^3</math> ou <math>2^23^1X^{\ne 3}</math> ou <math>[2^2n^{(0 ou 1)}</math>
|}

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leurs numéro et les chaînes correspondantes.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la décomposition de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En décomposant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j descendants par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T13:29:09Z

Thepaut : /* Autres théorèmes */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Le théorème de la « séparation » ===

''Notation :''
''« <math>X]</math> » désigne une chaîne qui se termine par X.''
''« <math>[X</math> » désigne une chaîne qui se commence par X.''
''« <math></math> » désigne une chaîne qui se commence par X.''

Une chaîne GD ayant été décomposé au moins 2 fois peut se découper en deux chaînes G et D si l'une des conditions suivantes est respectée.

{| class="wikitable"
|-
! G (partie gauche) !! D (partie droite)
|-
| <math>n]</math> || <math>[m</math>
|}

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leurs numéro et les chaînes correspondantes.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la décomposition de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En décomposant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j descendants par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

VISI201 CMI : visite de laboratoire

2019-05-19T13:21:21Z

Thepaut : /* Sujets réalisés (2018-2019) */

* Cours du semestre 2 du parcours CMI Informatique (licence INFO).

* Responsable pour 2018--2019: Jacques-Olivier Lachaud
* Responsable pour 2017--2018: Jacques-Olivier Lachaud
* Responsable pour 2016--2017: Jacques-Olivier Lachaud

= Descriptif =

L'objectif du module est de faire découvrir les laboratoires, le monde de la recherche et les enseignants-chercheurs et chercheurs, ainsi que la réflexion scientifique. Cela se fait de deux manières.

D'abord, une partie de ce module consiste à assister à des séminaires dédiés aux étudiants CMI Informatique et Mathématique (1 fois par mois, les jeudi après-midi). [[http://www.lama.univ-savoie.fr/index.php?use=seminaires&&lang=fr&equipe=cmi&annee=1&lang=fr Planning des séminaires CMI]]

Ces séminaires "grand public" portent sur des sujets variées en informatique et mathématiques.

Les étudiants choisissent ensuite d'approfondir un sujet proposé par les enseignants, ou un sujet motivé de leur choix (en accord avec le responsable du module). Ce travail se fait en interaction avec un tuteur académique (5-6 contacts au moins). Ce travail personnel tuteuré donne lieu à la rédaction d'une synthèse sur le sujet sous forme d'une page wiki/web, ainsi que d'un mini-exposé.

= Sujets réalisés (2018-2019) =

* Transport optimal par coupe 1D et transfert de couleurs entre images
* [[Génération et résolution de labyrinthes II]] (Romain THEODET)
* REST + Pub/Sub : protocole hybride pour l’IoT
* [[La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"]] (Yohann THEPAUT)
* Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel
* [[Dilemme du prisonnier]] (Christophe CARMAGNAC)

= Sujets proposés (2018-2019) =

* Transport optimal par coupe 1D et transfert de couleurs entre images
* Génération et résolution de labyrinthes II
* REST + Pub/Sub : protocole hybride pour l’IoT
* La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"
* Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel
* Algorithmes probabilistes/déterministes pour tester la primalité d'un entier
* Dilemme du prisonnier

== Transport optimal par coupe 1D et transfert de couleurs entre images ==

* Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
* Résumé: Le transfert de couleurs de l'image Y vers l'image X consiste à repeindre "au mieux" l'image X avec la palette de couleurs de l'image Y. L'image repeinte X' a alors les mêmes couleurs que l'image Y (mais les pixels ne sont pas répartis pareils). Voir l'exemple de transfert ci-dessous. Il existe plusieurs techniques de transfert de couleurs, mais nous étudierons une technique basée sur le transport optimal. Comme c'est un problème assez difficile dans le cas général, nous verrons une variante dite par coupe 1D, qui simplifiera considérablement le problème de transport.

[[Fichier:Ex-transfert-couleur-OT.png]]

* Objectifs:
*# comprendre ce qu'est une image niveaux couleur, et ce qu'on appelle le transfert de couleurs.
*# comprendre le principe du transport optimal (discret).
*# comprendre et décrire le principe du transport optimal par coupe 1D, et comment se fait le calcul du meilleur transport dans ce cas.
*# Coder un programme de transfert de couleur, qui prend deux images couleurs et réalise le transfert de couleurs.
*# On pourra ensuite réfléchir à quelques améliorations simples (espace couleur YUV, grouper les pixels).
* Liens pour démarrer
** Le vrai "Transport Optimal" est vite très mathématique (ce sont des mesures qui sont transportées), mais on peut l'aborder beaucoup plus simplement dans le cas discret (un nombre fini de valeurs) comme une simple assignation entre deux ensembles.
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Color_mapping Transfert de couleur Wikipedia]]
** [[https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01246096/file/hdr_hal2.pdf Habilitation de N. Papadakis]] (regardez les images plutôt).

== Génération et résolution de labyrinthes II ==

* Tuteur: François Boussion
* Résumé: On veut générer des labyrinthes aussi grands et complexes que possible, avec des murs dans une grille carré voire d'autres domaines. Comment faire pour qu'il y ait toujours un chemin de l'entrée à la sortie ? Comment faire pour qu'il n'y ait qu'un chemin ? Ensuite, comment trouver la sortie quand on est perdu dans le labyrinthe.
* Objectifs:
*# Comprendre comment représenter un labyrinthe avec une structure de données simple
*# Voir le lien avec la théorie des graphes et voir que le problème se résout de la même façon pour des grilles carrées, hexagonales ou autres.
*# Comprendre l'algorithme d'arbre couvrant minimum
*# Comprendre le principe du parcours en profondeur et de la récursivité
* Pour aller plus loin
*# coder la génération d'un labyrinthe et sa visualisation
*# introduire des poids pour varier le labyrinthe
*# comment faire un labyrinthe sur grille hexagonale avec des tableaux.
* Liens pour démarrer
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A9lisation_math%C3%A9matique_d%27un_labyrinthe Wikipedia]]
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Maze_generation_algorithm Version anglaise plus complète]]

== REST + Pub/Sub : protocole hybride pour l’IoT ==

* Tuteur: David Télisson
* Résumé: L’avènement de l’Internet des Objets (IoT) depuis une dizaine d’années a fait apparaitre des problématiques propres aux protocoles de communications liées à ces objets. En effet, l’échange de données dans ce contexte nécessite de tenir compte (au moins) des paramètres suivant :
*# Autonomie énergétique souvent limitée
*# Faible puissance des processeurs et taille réduite de la mémoire
*# Disponibilité « aléatoire » de l’accès aux réseaux de communication

De nombreux protocoles cohabitent et la littérature du domaine foisonne d’exemples autour des réseaux dédiées (LORA, Sigfox, etc.) et des protocoles applicatifs (OPC-UA, MQTT, CoaP, XMPP) mais force est de constater que dans la réalité, ces solutions ne répondent pas toujours aux besoins des concepteurs qui leurs préfèrent encore le protocole HTTP. Celui-ci offre l’avantage d’implémenter un protocole applicatif (REST) en même temps qu’un protocole de transport de haut niveau (TCP/IP) permettant de passer les pare-feu. Cependant, la version actuel d’HTTP ne répond pas vraiment aux critères énoncés précédemment.
Depuis quelques années émerge donc l’idée d’enrichir HTTP pour créer un protocole hybride qui mêlerait les avantages de REST avec ceux proposés par les mécanismes de type Publish/Subscribe (MQTT, AMQP, JMS, etc.). En attendant cette éventuelle évolution, peut-on envisager de mettre en place un mécanisme de type Pub/Sub avec le protocole Websocket au-dessus d’HTTP ?

* Objectifs:
*# Etudier et faire une synthèse des deux approches : REST et Pub/Sub
*# Implémentez un PoC (proof of concept) d’une solution hybride qui met en œuvre un mécanisme de Pub/Sub sur Websocket. .
*# Présenter un protocole de test pour valider ou invalider cette solution

* Liens pour démarrer :
** https://nsrc.org/workshops/2018/apricot/iot/presentations/mqttvsrest_v4.pdf
** http://www.tigli.fr/lib/exe/fetch.php?media=cours:tutorial_mqtt_mit_2015_2016.pdf
** https://openclassrooms.com/fr/courses/3449001-utilisez-des-api-rest-dans-vos-projets-web
** http://www.lirmm.fr/~tibermacin/ens/ws/expose.pdf

== La suite de Conway et la classification périodique des "éléments" ==

* Tuteur : Pierre Hyvernat
* La suite de Conway est la suite suivante : 1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; ... Chaque terme est obtenu en "lisant" le terme précédent.
** "1" : un "1" -> 11
** "11" : deux "1" -> 21
** "21" : un "2", un "1" -> 1211
** "1211" : un "1", un "2", deux "1" -> 111221
** etc.
Cette suite possède des propriétés étonantes données par le théorème "chimique", le théorème "arithmétique" et le théorème "cosmologique".
* Objectifs :
*# comprendre les énoncés de ces théorèmes, et l'idée de la preuve du premier.
*# programmer la suite de Conway pour retrouver la classification des "atomes"
*# écrire un programme pour calculer expérimentalement une approximation de la constante "lambda" ainsi que des fréquences respectives des différents atomes.
*# écrire un programme pour calculer la suite de Robinson, une variante plus simple de la suite de Conway

* Liens pour commencer
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Conway suite de Conway]]
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Robinson suite de Robinson]]

== [[Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel]] ==

* Tuteur: Tom Hirschowitz
* Résumé: [[https://coq.inria.fr Coq]] est un logiciel de mathématiques sur ordinateur, grâce auquel des programmes élaborés ont pu être certifiés ces dernières années.
* Objectifs:
*# prendre en main le logiciel [[https://coq.inria.fr Coq]] de démonstration sur ordinateur,
*# programmer certaines démonstrations basiques en Coq,
*# suivre le début du cours [[https://www.cis.upenn.edu/~bcpierce/sf Software Foundations]],
* Pour aller plus loin : Software Foundations est un cours assez long et très bien fait, il y aura suffisamment à faire. Eventuellement, selon l'intérêt de l'étudiant, étude des fondements mathématiques de Coq.
* Liens pour démarrer
** [[https://www.cis.upenn.edu/~bcpierce/sf Software Foundations]]
** [[https://coq.inria.fr Coq]]

== Algorithmes probabilistes/déterministes pour tester la primalité d'un entier ==

* Tuteur : Sébastien Tavenas
* Pouvoir tester si un entier est un nombre premier semble être une brique de base si l'on souhaite faire de l'arithmétique sur un ordinateur. Le crible d'Érathostène enseigné dans les petites classes se montre beaucoup trop lent en pratique. L'algorithme probabiliste utilisé le plus rapide est le test de Fermat. Or, si on regarde les algorithmes des librairies "génériques", on peut s'apercevoir que la fonction 'mpz_probab_prime_p' de la librairie 'gmp' sur c++ utilise un test probabiliste de Miller-Rabin, la fonction 'isPrime' de la classe 'Prime' dans java utilise aussi un test de Miller-Rabin mais qui est déterminisé, alors que la fonction 'isprime' de la librairie 'sympy' dans python effectue un test de Miller-Rabin si l'entier est plus petit que 2^64 et un test BPSW fort si l'entier est plus grand. Ainsi, une fonction déjà implémentée de test de primalité peut se tromper ou non, être instantanée ou moins. Que dire alors de l'algorithme polynomial déterministe et toujours correct proposé par AKS?
* Objectifs :
*# Comprendre quelques tests de primalité et comment l'aléatoire est utilisé dans ces algorithmes
*# Comprendre la notion de nombre pseudopremier qui explique, entre autre, quand il vaut mieux utiliser le test de Fermat ou celui de Miller-Rabin
*# Programmer quelques uns des ces tests et les comparer
*# Essayer de dérandomiser ces tests à l'aide de hitting-sets précalculés

* Liens pour commencer
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Primality_test Tests de primalité]]

== Dilemme du prisonnier ==

* Tuteur: Gerald Cavallini
* Résumé: Le dilemme du prisonnier caractérise en théorie des jeux une situation où deux joueurs auraient
intérêt à coopérer, mais où, en l’absence de communication entre les deux joueurs, chacun choisira
de trahir l'autre si le jeu n'est joué qu'une fois.

On peut informatiquement modéliser ce dilemme à l’aide de matrices de gains et conserver la
mémoire des choix de l’adversaire. Ce modèle appliqué à un grand nombre d’individus peut être
utilisé pour comprendre l’émergence de stratégies stables dans l’économie, l’écologie, l’évolution
des espèces ...

On peut visualiser spatialement les interactions entre individus en les représentants par des pixels et
en leurs associant une couleur en fonction de leurs stratégies.

[[Fichier:Dilemme.png]]

* Objectifs
*# Comprendre le dilemme du prisonnier
*# Comprendre la notion de stratégie
*# Penser un modèle spatiale pour « opposer » des individus qui appliquent des stratégies différentes
*# Développer une interface pour visualiser dans le temps l’évolution d’une population d’individus adoptants des stratégies différentes.

* Lien :
*# [https://fr.wikipedia.org/wiki/Dilemme_du_prisonnier Dilemme du prisonnier Wikipedia]
*# [http://cormas.cirad.fr/fr/applica/dps.htm Site spécifique]

= Sujets réalisés (2017-2018) =

* [[VISI201 Analyse syntaxique (Tristan Porteries, 2018)]]
* [[Segmentation d'image par détection de contours et algorithme "ligne de partage des eaux"]] (Nils Ruet, 2018)
* [[Fouille de données textuelles à partir des "Exercices de style" de R. Queneau]] (Rémi Bouvier, 2018)
* [[Transformées en distance, diagramme de Voronoi et applications en geometry processing]] (Robin Wagner, 2018)
* [[Pavages de Penrose]] (Brunelle Cordier-Pierre-Bès, 2018)

= Sujets proposés (2017-2018) =

* Segmentation d'image par détection de contours et algorithme "ligne de partage des eaux"
* Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel
* Fouille de données textuelles à partir des "Exercices de style" de R. Queneau
* Transformées en distance, diagramme de Voronoi et applications en geometry processing
* Pavages de Penrose

== [[Segmentation d'image par détection de contours et algorithme "ligne de partage des eaux"]] ==

* Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
* Résumé: La segmentation d'image vise à identifier les régions d'intérêt dans une image. Typiquement, une région d'intérêt est une zone de l'image plutôt homogène (les pixels ont des valeurs proches) et le contour entre deux régions d'intérêt est tracé là où les valeurs subissent de fortes variations. La méthode de segmentation proposée ici suit ce principe en enchaînant deux calculs: (1) un premier traitement calcule une image "gradient" et fabrique une image dont les valeurs élevées correspondent à des zones de fortes variations, (2) le deuxième algorithme voit cette image comme un relief 3D et identifie ses bassins hydrographiques. Cette identification des lignes de partage des eaux permet de découper l'image en ses zones d'intérêt.
* Objectifs:
*# comprendre ce qu'est une image niveaux de gris ou couleur, ce qu'est le gradient d'une image et ce qu'on appelle segmentation d'image.
*# décrire un algorithme de calcul du gradient d'une image, e.g. le filtre de Sobel, voire les convolutions par dérivées de Gaussienne.
*# décrire le principe de ligne de partage des eaux ("watershed" en anglais), ses différentes définitions équivalentes, et les différents types d'algorithmes pour la calculer.
*# Coder un programme de segmentation d'image, qui prend une image (niveaux de gris) en entrée, calcule son gradient, et extrait les bassins de sa ligne de partage des eaux.
* Liens pour démarrer
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Watershed_(image_processing) Watershed Wikipedia]]
** Luc Vincent and Pierre Soille. Watersheds in digital spaces: an efficient algorithm based on immersion simulations. In IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 13, Num. 6 (1991), pages 583–598 [[https://pdfs.semanticscholar.org/a381/9dda9a5f00dbb8cd3413ca7422e37a0d5794.pdf PDF]]

== [[Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel]] ==

* Tuteur: Tom Hirschowitz
* Résumé: [[https://coq.inria.fr Coq]] est un logiciel de mathématiques sur ordinateur, grâce auquel des programmes élaborés ont pu être certifiés ces dernières années.
* Objectifs:
*# prendre en main le logiciel [[https://coq.inria.fr Coq]] de démonstration sur ordinateur,
*# programmer certaines démonstrations basiques en Coq,
*# suivre le début du cours [[https://www.cis.upenn.edu/~bcpierce/sf Software Foundations]],
* Pour aller plus loin : Software Foundations est un cours assez long et très bien fait, il y aura suffisamment à faire. Eventuellement, selon l'intérêt de l'étudiant, étude des fondements mathématiques de Coq.
* Liens pour démarrer
** [[https://www.cis.upenn.edu/~bcpierce/sf Software Foundations]]
** [[https://coq.inria.fr Coq]]

== [[Fouille de données textuelles à partir des "Exercices de style" de R. Queneau]] ==

* Tuteur: Laurent Vuillon
* Résumé: L'idée de ce projet est de se familiariser avec les techniques de fouille de données textuelles à partir des "Exercices de style" de R. Queneau (https://fr.wikipedia.org/wiki/Exercices_de_style). On cherchera à comprendre la structure du vocabulaire du corpus de textes, à utiliser les techniques de TF/IDF pour extraire les mots significatifs du corpus puis à tester les techniques de LDA (Allocation de Dirichlet latente) pour extraire automatiquement les thématiques du corpus afin de construire des regroupements par thème. On pourra également proposer des visualisations des résultats afin de rendre accessible visuellement l'analyse de données produite sur le corpus de documents.
* Objectifs: Introduction à la fouille de données au travers d'un cas pratique
* Pour aller plus loin
** http://blogperso.univ-rennes1.fr/stephane.tuffery/
** http://www.editionstechnip.com/en/catalogue-detail/1005/data-mining-et-statistique-decisionnelle.html
* Liens pour démarrer
** https://fr.wikipedia.org/wiki/Exploration_de_donn%C3%A9es
** https://fr.wikipedia.org/wiki/TF-IDF
** "Recherche d'information : applications, modèles et algorithmes; Data mining, décisionnel et big data" de Amini et Gaussier aux éditions Eyrolles.

== [[Transformées en distance, diagramme de Voronoi et applications en geometry processing]] ==

* Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
* Résumé: Les nuages de points constituent une source de données géométriques importantes (cf LIDAR scanner, 3D scanner) et qui permet de construire des modèles géométriques 3D d'objets réels. La difficulté est de transformer ces nuages de points en des surfaces (souvent des surfaces triangulées, c'est-à-dire des triangles collés entre eux). Un outil essentiel dans ce processus est la transformée en distance, le diagramme de Voronoi (et son dual la triangulation de Delaunay). A partir de ces outils, des algorithmes existent pour reconstruire les surfaces, estimer la géométrie du nuage de point (sa normale par exemple), etc.
* Objectifs:
*# Comprendre ce qu'est une distance, une transformée en distance, et un diagramme de Voronoi. Comprendre ce qu'est la stabilité d'une fonction.
*# Identifier les propriétés des diagrammes de Voronoi, de leur dual la triangulation de Delaunay, et comprendre leurs variantes comme les diagrammes de puissance
*# Identifier le lien avec l'axe médian et les squelettes
*# Décrire les principaux algorithmes de calcul des transformées en distance et du diagramme de Voronoi, pour des nuages de point quelconques ou pour des nuages de points à coordonnées entières.
*# Présenter un algorithme de reconstruction de surface utilisant le diagramme de Voronoi
*# Coder un algorithme de calcul du diagramme de Voronoi et, si le temps le permet, un algorithme de reconstruction de surface.

* Liens pour démarrer
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Diagramme de Voronoi Wikipedia]]
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Distance_transform Transformée en distance Wikipedia]]
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_skeleton Squelette Wikipedia]]
** [[http://dgtal.org/doc/nightly/moduleVolumetric.html Transformées discrètes en distance DGtal]]

== [[Pavages de Penrose]] ==

* Tuteur : Pierre Hyvernat
* Résumé : le "cerf-volant" et la "fléchette" de Penrose sont deux tuiles qui permettent de recouvrir le plan, mais uniquement de manière non-périodique. Autrement dit, les pavages correspondants ne sont pas obtenus en répétant un même motif de manière régulière. A cause de ceci, il n'est pas évident de générer un tel pavage.

[[Fichier:P2.png]]

* Objectifs
*# comprendre les notion de pavage périodique, non périodique et apériodique,
*# comprendre la méthode "inflation / déflation" pour générer des pavages de Penrose des différents types,
*# comprendre le lien entre les 2 (ou 3) types de pavage de Penrose
*# écrire un programme permettant de générer de tels pavages : avec la méthode "inflation / déflation" et avec la méthode "grille de de Bruijn"
*# utiliser ces méthodes pour générer d'autres types de pavages apériodique.

* Liens pour démarrer
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_de_Penrose pavage de Penrose (wikipedia]]
** [[https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/pubs/focus/Gardner_PenroseTilings1-1977.pdf Penrose Tiling (Marting Gardner, en anglais)]]

== [[Algorithmes d'analyse syntaxique]] ==

* Tuteur : Pierre Hyvernat

* Résumé : le code source d'un programme, d'un fichier de configuration d'un serveur de base de données ou le code d'une page web sont des données ''textuelles'' et ''structurées''. Il est possible de définir exactement quelles données sont correctes, et quelle est leur signification. (Cela est beaucoup plus difficile pour des textes en langue naturelle par exemple.) En ce sens, il est possible de lire, d'interpréter ces données à l'aide d'un programme. On parle ''d'analyseur syntaxique'' ou de ''parseur''. Il existe de nombreux outils pour faire ça automatiquement, mais il est parfois important (et toujours intéressant) de comprendre les mécanismes correspondant. C'est ce que ce stage propose de faire.

* Objectifs :
*# étudier la formalisation du problème à travers la notion de ''langage'' et les premiers étages de la hiérachie de Chomsky (langages réguliers et grammaires hors contexte).
*# comprendre le lien entre les langages et les automates (automates finis / automates à pile)
*# implémenter un parseur "from scratch" et le tester sur des petits exemples simples, "à la main", soit en calculant "à la volée" la sémantique d'un langage, soit en produisant des "arbres de syntaxe abstraits", qui pourront être analysés par la suite,
*# comprendre les restrictions souvent imposées sur les grammaires afin d'améliorer l'efficacité du parseur (''LL*(k)'', ''LR'', etc.)
*# à partir de là, de nombreuses pistes sont ouvertes :
*#* essayer d'écrire un petit outils qui puisse lire une grammaire, et générer un parseur pour cette grammaire,
*#* comparer l'approche "automate" avec l'approche "combinateurs" et "parseur récursifs"
*#* améliorer l'efficacité des parseurs produits
*#* ajouter des fonctionnalités,
*#* ...

* Liens pour démarrer :
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Parsing page wikipedia "parsing"]]
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Recursive_descent_parser page wikipedia "recursive descent parser"]]
** Le livre référence sur le parsing est probablement "Compilers: Principles, Techniques, and Tools" de Aho, Sethi et Ullman (le "dragon book")
** [[https://web.stanford.edu/class/archive/cs/cs143/cs143.1128/ exemples de notes cours de compilation]]

= Sujets réalisés (2016-2017) =

* [[Algorithme de rendu de scène 3D par Z-buffer]]
* [[Traitement d'image]]
* [[Nim et la théorie des jeux impartiaux]]
* [[Calculabilité et modèles de calcul]]
* [[Génération et résolution de labyrinthes]]

= Sujets proposés (2016-2017) =

== [[Algorithme de rendu de scène 3D par Z-buffer]] ==

* Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
* Résumé: Le Z-buffer est un algorithme classique de rendu de scène 3D. C'est celui (avec quelques variantes) qui est implémenté dans nos cartes graphiques 3D et qui permet de visualiser des scènes extrêmement complexes en temps réel (typiquement 24 image/s).
* Objectifs:
*# décrire le principe de la projection 3D vers 2D
*# décrire la rastérisation des triangles sur une image en pixel
*# expliquer le principe du Z-buffer qui permet de gérer le fait que certains objets sont cachés par d'autres
*# expliquer comment les couleurs sont calculées par pixel
*# indiquer les qualités et limitations de l'algorithme
* Pour aller plus loin
*# mettre du code démo (WebGL) avec quelques explications sur le pipeline graphique OpenGL
*# expliquer comment on peut utiliser cet algorithme pour calculer des ombres (shadow map)
* Liens pour démarrer
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Z-buffer Wikipedia]]
** [[https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/rasterization-practical-implementation/overview-rasterization-algorithm Scratch a pixel]]

== [[Traitement d'image]] ==

* Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
* Résumé: Le traitement d'image rassemble tous les algorithmes utilisés pour transformer les images, les améliorer, éliminer certaines perturbations, augmenter ou diminuer le contraste, changer les couleurs vers d'autres couleurs, éliminer le flou ou les yeux rouges, faire du cartooning pour un rendu moins photo-réaliste, etc.
* Objectifs:
*# identifier les grandes familles de traitement: restauration, égalisation, élimination du flou de déplacement, segmentation, etc
*# identifier les grandes familles de techniques: filtrage spatial, filtrage fréquentiel, optimisation, etc
*# comprendre les points communs et différences entre le traitement des images noir et blanc et le traitement des images couleurs.
*# choisir un ou deux algorithmes de traitement et les expliquer en détails
* Pour aller plus loin
*# Coder un algorithme de traitement d'image simple (e.g, un filtrage médian, ou un algo qui transporte les couleurs d'une photo vers une autre photo)

* Liens pour démarrer
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Traitement_d%27images Wikipedia]]
** [[http://www.ipol.im/ Image Processing on line]] (permet de tester en ligne des algorithmes sur vos images)

== [[Nim et la théorie des jeux impartiaux]] ==

* Tuteur: Pierre Hyvernat

* Étudiant : Luca Chapelle

* Le jeu de Nim (aussi appelé jeu des allumettes) est l'un des premiers jeux ayant été analysé mathématiquement (par Charles Bouton en 1901). Les stratégies gagnantes peuvent être calculées en utilisant le développement en base 2 des nombres, et l'opération d'"addition de Nim" (XOR). La théorie de ce type de jeux (jeux "impartiaux") est assez simple, mais de nombreuses instances de jeux sont encore non résolues.
* Objectifs:
*# comprendre la théorie du jeu de Nim (et la programmer)
*# comprendre le théorème de Sprague Grundy qui montre que tout jeu impartial est équivalent à un jeu de nim
*# regarder quelques autres exemples de tels jeux : jeu de Nim déguisés, ou jeux véritablement différents
*# programmer une version naịve de recherche de stratégie basée sur le théorème de Sprague-Grundy pour quelques jeux

* Liens pour commencer
** [https://fr.wikipedia.org/wiki/Jeux_de_Nim jeu de Nim]
** [https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Sprague-Grundy théorème de Sprague Grundy]
** [https://fr.wikipedia.org/wiki/Jeu_de_Grundy jeu de Grundy]

== La suite de Conway et la classification périodique des "éléments" ==

* Tuteur : Pierre Hyvernat
* La suite de Conway est la suite suivante : 1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; ... Chaque terme est obtenu en "lisant" le terme précédent.
** "1" : un "1" -> 11
** "11" : deux "1" -> 21
** "21" : un "2", un "1" -> 1211
** "1211" : un "1", un "2", deux "1" -> 111221
** etc.
Cette suite possède des propriétés étonantes données par le théorème "chimique", le théorème "arithmétique" et le théorème "cosmologique".
* Objectifs :
*# comprendre les énoncés de ces théorèmes, et l'idée de la preuve du premier.
*# programmer la suite de Conway pour retrouver la classification des "atomes"
*# écrire un programme pour calculer expérimentalement une approximation de la constante "lambda" ainsi que des fréquences respectives des différents atomes.
*# écrire un programme pour calculer la suite de Robinson, une variante plus simple de la suite de Conway

* Liens pour commencer
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Conway suite de Conway]]
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Robinson suite de Robinson]]

== Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel ==

* Tuteur: Tom Hirschowitz
* Résumé: [[https://coq.inria.fr Coq]] est un logiciel de mathématiques sur ordinateur, grâce auquel des programmes élaborés ont pu être certifiés ces dernières années.
* Objectifs:
*# prendre en main le logiciel [[https://coq.inria.fr Coq]] de démonstration sur ordinateur,
*# programmer certaines démonstrations basiques en Coq,
*# suivre le début du cours [[https://www.cis.upenn.edu/~bcpierce/sf Software Foundations]],
* Pour aller plus loin : Software Foundations est un cours assez long et très bien fait, il y aura suffisamment à faire. Eventuellement, selon l'intérêt de l'étudiant, étude des fondements mathématiques de Coq.
* Liens pour démarrer
** [[https://www.cis.upenn.edu/~bcpierce/sf Software Foundations]]
** [[https://coq.inria.fr Coq]]

== [[Calculabilité et modèles de calcul]] ==

* Tuteur: Rodolphe Lepigre
* Résumé: Une fonction f sur l'ensemble des entiers naturels est dite calculable s'il existe une procedure effective (ou un algorithme) qui permet, étant donné un entier n, de calculer f(n) en temps fini. Il existe divers modèles de calcul qui permettent de représenter toutes les fonctions calculables : machines de Turing, λ-calcul, automates cellulaires, ...
* Objectifs:
*# comprendre la notion de fonction calculable,
*# comparer l'ensemble des fonctions à l'ensemble des fonctions calculables,
*# regarder et comparer quelque modèles de calcul,
*# programmer un modèle de calcul et comprendre les limitations pratiques.

* Liens pour commencer:
** https://fr.wikipedia.org/wiki/Calculabilité
** https://fr.wikipedia.org/wiki/Machine_de_Turing
** https://fr.wikipedia.org/wiki/Lambda-calcul
** https://fr.wikipedia.org/wiki/Jeu_de_la_vie

== [[Génération et résolution de labyrinthes]] ==

* Tuteur: <strike>Jacques-Olivier Lachaud</strike> Xavier Provençal
* Résumé: On veut générer des labyrinthes aussi grands et complexes que possible, avec des murs dans une grille carré voire d'autres domaines. Comment faire pour qu'il y ait toujours un chemin de l'entrée à la sortie ? Comment faire pour qu'il n'y ait qu'un chemin ? Ensuite, comment trouver la sortie quand on est perdu dans le labyrinthe.
* Objectifs:
*# Comprendre comment représenter avec une structure de données un labyrinthe
*# Voir le lien avec la théorie des graphes et voir que le problème se résout de la même façon pour des grilles carrées, hexagonales ou autres.
*# Comprendre l'algorithme d'arbre couvrant minimum
*# Comprendre le principe du parcours en profondeur et de la récursivité
* Pour aller plus loin
*# coder la génération d'un labyrinthe et sa visualisation
* Liens pour démarrer
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A9lisation_math%C3%A9matique_d%27un_labyrinthe Wikipedia]]
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Maze_generation_algorithm Version anglaise plus complète]]

== Pavages par polyomino ==

* Tuteur: Xavier Provençal
* Résumé : On s'intéresse aux pavages du plan par des tuiles formées de petits carrés collés les uns aux autres, appelé "polyominos". Étant donné une tuile, peut-on paver le plan ? Si oui, avec quelles opérations (translation et/ou rotations et/ou réflexions) Une fois un pavage réalisé, on observe ses propriétés. Quelles symétries ? Le pavage est-il identique du point de vue de chacune des tuiles ? Si ce n'est pas le cas, en combien de classes peut-on diviser ces tuiles ?
On s'intéressera aussi à des propriétés connexes. Au lieu de paver tout le plan, on peut essayer de paver une région finie donnée. Plus localement, peut-on encercler complètement une tuile avec des copies d'elle-même, sans former de trous ? Si oui, peut-on faire de même avec la proto-tuile formée par la tuile de départ et toutes ses copies ? Si oui, combien de fois peut-on répéter l'opération ?
* Objectifs :
*# Comprendre les différentes classes de pavages (isohédral, k-isohédral, anisohédral).
*# Pour chacun des sept types de pavages "isohédraux", comprendre le lien entre les symétries du pavages et la caractérisation des tuiles qui le réalisent.
*# Pour un pavage k-isohédral, identifier les "classes d'équivalences" et le "domaine fondamental".
* Pour aller plus loin :
*# Coder la génération de tuiles capables de paver le plan en fonction pour une classe de pavages donnée.
*# Étudier et implémenter certains algorithmes pour le pavages d'un domaine fini.
* Liens pour démarrer
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyomino Polyomino]]
** [[https://en.wikipedia.org/wiki/Polyomino Polyomino (en)]]
** [[https://fr.wikipedia.org/wiki/Pavage_par_des_polygones_r%C3%A9guliers Pavages]]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T13:20:25Z

Thepaut : /* Propriétés et théorèmes */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leurs numéro et les chaînes correspondantes.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la décomposition de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En décomposant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j descendants par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T13:19:38Z

Thepaut : /* Tableau périodique */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leurs numéro et les chaînes correspondantes.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la décomposition de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En décomposant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j descendants par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T13:03:38Z

Thepaut : /* Propriétés */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leurs numéro et les chaînes correspondantes.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la dérivée de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En décomposant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j descendants par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T11:14:42Z

Thepaut : /* Tableau périodique */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leurs numéro et les chaînes correspondantes.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la dérivée de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-19T11:13:09Z

Thepaut : /* Le théorème « cosmologique » */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères décomposée assez de fois est une combinaison d'éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leur numéro et la chaîne correspondante.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la dérivée de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-18T11:35:21Z

Thepaut :

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précédemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants :

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

Et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leur numéro et la chaîne correspondante.

Voici les 20 premiers atomes des 92 éléments du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la dérivée de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-18T11:27:45Z

Thepaut :

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précedemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|400px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leur numéro et la chaîne correspondante.

Voici les 20 premiers atomes des 92 élements du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la dérivée de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

Fichier:Courbe Conway Lambda.png

2019-05-18T11:26:17Z

Thepaut : Évolution de la longueur des chaînes en fonction du rang. (Premier terme : 3)

Évolution de la longueur des chaînes en fonction du rang. (Premier terme : 3)

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-18T11:24:59Z

Thepaut :

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précedemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

[[Fichier:Courbe_Conway_Lambda.png|250px|thumb|right]]

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leur numéro et la chaîne correspondante.

Voici les 20 premiers atomes des 92 élements du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la dérivée de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-18T11:13:37Z

Thepaut : /* Tableau périodique */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précedemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leur numéro et la chaîne correspondante.

Voici les 20 premiers atomes des 92 élements du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la dérivée de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-18T11:13:23Z

Thepaut : /* Tableau périodique */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précedemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leur numéro et la chaîne correspondante.
Voici les 20 premiers atomes des 92 élements du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la dérivée de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-18T11:12:45Z

Thepaut :

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précedemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leur numéro et la chaîne correspondante.
Voici les 20 premiers atomes du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

L'abondance d'un atome est en moyenne le nombre de fois qu'il apparait sur 1 million d'atomes.

On remarque que la dérivée de rhénium (Re) est combinaison du germanium (Ge), du calcium (Ca) et du tungstène (W).

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-18T11:05:57Z

Thepaut :

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précedemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes (la partie gauche et la partie droite) selon certains critères énoncés plus loin.

* On appellera donc atome ou élément toute chaîne qui ne peut pas être coupée selon ce théorème.
* On appellera composés les chaînes constituées de plusieurs atomes.

'''Propriétés'''

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

''Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.''

''Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.''

''En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.''

''J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.''

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un gigaoctet.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== Tableau périodique ==

En suivant les théorèmes énoncés précédemment, on retrouve le tableau périodique avec l'abondance des atomes, leur numéro et la chaîne correspondante.
Voici les 20 premiers atomes du tableau périodique :

{| class="wikitable"
|-
! Abondance !! n !! <math>E_n</math> !! <math>E_{n}</math> dans la dérivée de <math>E_{n+1}</math>
|-
| 102.56285249 || 92 || U || 3
|-
| 9883.5986392 || 91 || Pa || 13
|-
| 7581.9047125 || 90 || Th || 1113
|-
| 6926.9352045 || 89 || Ac || 3113
|-
| 5313.7894999 || 88 || Ra || 132113
|-
| 4076.3134078 || 87 || Fr || 1113122113
|-
| 3127.0209328 || 86 || Rn || 311311222113
|-
| 2398.7998311 || 85 || At || Ho.1322113
|-
| 1840.1669683 || 84 || Po || 1113222113
|-
| 1411.6286100 || 83 || Bi || 3113322113
|-
| 1082.8883285 || 82 || Pb || Pm.123222113
|-
| 830.70513293 || 81 || Tl || 111213322113
|-
| 637.25039755 || 80 || Hg || 31121123222113
|-
| 488.84742982 || 79 || Au || 132112211213322113
|-
| 375.00456738 || 78 || Pt || 111312212221121123222113
|-
| 287.67344775 || 77 || Ir || 3113112211322112211213322113
|-
| 220.68001229 || 76 || Os || 1321132122211322212221121123222113
|-
| 169.28801808 || 75 || Re || 111312211312113221133211322112211213322113
|-
| 315.56655252 || 74 || W || Ge.Ca.312211322212221121123222113
|-
| 242.07736666 || 73 || Ta || 13112221133211322112211213322113
|}

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-18T10:33:38Z

Thepaut :

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précedemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

'''Propriétés'''

Conway s'est demandé ce qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.

Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.
* ...

'''Notion d'atome'''

Conway s'est rendu compte que peu importe la chaîne de départ choisi, on retrouve plusieurs fois certaines sous-chaînes.

Il en déduira le théorème de la séparation, qui décrit si une chaîne peut être découpée en deux sous-chaînes selon certains critères énoncés plus loin.

On appellera donc ''atome'' toute chaîne qui ne peut pas être coupé selon ce théorème.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.

Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.

En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.

J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un Go.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.

On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-16T19:51:52Z

Thepaut : /* Définition */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précedemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractères constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé se qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.
Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.
Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.

En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.

J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un Go.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.
On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-15T16:33:20Z

Thepaut : /* Le théorème « arithmétique » */

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précedemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractère constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé se qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.
Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constantes, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.
Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.

En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.

J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un Go.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.
On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-15T16:25:36Z

Thepaut :

La suite de Conway, aussi appelée suite <abbr title='Jeu de mot avec radioactif'>audioactive</abbr> ou ''Look and Say sequence'' pour « Regarde et Dit » en anglais, est une suite mathématique créée par J. H. Conway en 1986.

== Définition ==
Comme dit précedemment, la suite de Conway est une suite « audioactive ». Un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractère constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

Conway s'est demandé se qu'il se passerait si l'on dérive n fois une chaîne de caractères d'entiers positifs.
Voici les propriétés de certains théorèmes qu'il a trouvé.

* Si le premier terme de la suite ne contient pas de chiffre 4 ou supérieur, alors les descendants de la suite n'auront pas de chiffre 4 ou supérieur.

=== Le théorème « chimique » ===

* Les descendants de n'importe quel des 92 éléments de notre tableau périodique sont des combinaisons de ces éléments.
* En dérivant assez de fois n'importe quel de ces éléments excepté l'hydrogène, on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.
* En dérivant assez de fois n'importe quel chaîne de caractères autre que "" et "22", on retrouvera l'ensemble des 92 éléments de notre tableau périodique.

=== Le théorème « arithmétique » ===

* Excepté pour les premiers termes de la suite et pour les premiers termes "" et "22", la longueur des termes de la suite croit exponentiellement selon une constante :

<center><math>\lambda = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{L_{n+1}}{L_n} \simeq 1,30357726903</math></center>
avec <math>L_i</math> la longueur du i-ème terme de la suite.

* L'abondance de ces éléments tendent vers des valeurs constante, toutes positives.

Afin d'approximer et de vérifier expérimentalement la valeur de <math>\lambda</math>, on peut calculer à l'aide de la fonction ''conway()'' vue précédemment un terme de rang n très grand et faire la division de sa longueur par la longueur du terme qui le précède.

Malheureusement, la fonction est gourmande en ressources et prend près de 10 minutes pour calculer le 65ème.
Il fallait donc soit changer le langage de programmation, soit changer l'algorithme.

En copiant la fonction ''conway()'' en langage C++, le temps de traitement n'a pas changé significativement.

J'ai fini par utiliser la fonction suivante, qui m'a permis de calculer 75 termes en quelques minutes.

<pre lang='python'>
import time
def conway(nbr=80):
n = "1"
for i in range(nbr):
n=n.replace('111','ca').replace('222','cb').replace('11','ba').replace('22','bb').replace('33','bc').replace('1','aa').replace('2','ab').replace('3','ac').replace('a','1').replace('b','2').replace('c','3')
yield n
</pre>

Malgré ce gain de temps, il est difficile de stocker la suite. En effet, un fichier texte contenant les 70 premiers termes de la suite (avec comme premier terme "3") pèse plus d'un Go.

Au final, on peut trouver <math>\lambda = 1,303600266 avec n = 70 et C_0 = 1 </math> ou <math>\lambda = 1,3035830259 avec n = 65 et C_0 = 32 </math>

=== Le théorème « cosmologique » ===

* Toute chaîne de caractères dérivée n fois se décompose en éléments du tableau périodique.

La conséquence de ceci est que chaque chaîne autre que "" et "22" a une longueur qui croit selon <math>\lambda</math>, et l'abondance de chacun de ces atomes approche les valeurs décrite précédemment.

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

[[Fichier:Periode robinson.png|230px|thumb|right|Exemple de boucle avec la prepériode et la période]]

En dérivant i fois un terme de la suite, la suite bouclera avec j dérivations par boucle.
On appelle i la préperiode, et j la période de la suite.

On peut le vérifier expérimentalement avec cette fonction :
<pre lang='python'>
def trouverBoucle(premierTerme="0"):
"""Fonction qui trouve à quel rang la suite de Robinson boucle.
Entrée : premierTerme (option): Chaîne de caractères ;
Sortie : Tuple d'entiers. (prépreiode,periode)"""

robinson = [premierTerme]
dernierTerme = premierTerme

i = 0 #Rang a partir duquel la suite boucle : préperiode
j = 0 #Taille de la boucle : periode

while (chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1]) == -1): #Tant que le dernier terme n'est pas dans la suite

robinson += [termeSuivantRobinson(dernierTerme)]

dernierTerme = robinson[len(robinson) - 1]

i += 1

j = i - chaineDansListe(dernierTerme,robinson[:len(robinson) - 1])

return (i,j + 1)
</pre>

== Approfondissements possibles ==

* On pourrait utiliser les chiffres romains au lieu des chiffres arabes pour générer notre suite.

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-15T13:08:04Z

Thepaut :

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-15T13:03:12Z

Thepaut :

Fichier:Periode robinson.png

2019-05-15T12:59:13Z

Thepaut : Exemple d'une boucle sur la suite de Robinson.

Exemple d'une boucle sur la suite de Robinson.

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-15T12:07:24Z

Thepaut :

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-15T12:00:29Z

Thepaut :

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-15T10:47:48Z

Thepaut :

== Introduction ==
'' A rédiger ''

== Définition ==
La suite de Conway est une suite dite « audio-active ». En effet, un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractère constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions qui permettent de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

''Propriétés''

=== Le théorème « chimique » ===

''Propriétés + preuve''

=== Le théorème « arithmétique » ===

''Propriétés + constante lambda''

=== Le théorème « cosmologique » ===

''Propriétés''

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

== Sources et documents annexes ==

''' Sources '''

* [https://example.com/ Conway, J. H. "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay." §5.11 dans Open Problems in Communication and Computation (Ed. T. M. Cover and B. Gopinath). New York: Springer-Verlag, pp. 173-188, 1987.]

*

''' [https://server.ythepaut.com/share/visi201_zip.zip Annexes] '''

* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_py.py Programme Python complet du sujet.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_cpp.cpp Programme C++ permettant de calculer la constante de Conway.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_t50.txt Les 50 premiers termes de la suite de Conway avec comme premier terme 3.]
* [https://server.ythepaut.com/share/visi201_dtex.xlsx Données expérimentales sur le calcul de la constante de Conway.]

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-14T09:59:50Z

Thepaut :

== Introduction ==
'' A rédiger ''

== Définition ==
La suite de Conway est une suite dite « audio-active ». En effet, un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractère constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions permettant de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

''Propriétés''

=== Le théorème « chimique » ===

''Propriétés + preuve''

=== Le théorème « arithmétique » ===

''Propriétés + constante lambda''

=== Le théorème « cosmologique » ===

''Propriétés''

=== Autres théorèmes ===

* Le théorème de la « séparation »

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

== Sources et documents annexes ==

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-13T14:05:46Z

Thepaut :

== Introduction ==
'' A rédiger ''

== Définition ==
La suite de Conway est une suite dite « audio-active ». En effet, un terme se détermine en lisant le terme précédent.

Un terme est une chaîne de caractère constituée de chiffres.

Si l'on pose comme premier terme <math>C_0 = 3 3 3</math>, on peut lire ce terme dans la vie courante comme « trois trois ».

Notre terme suivant sera donc <math>C_1 = 3 3</math>. En appliquant cette même méthode, on trouvera les termes suivants:

<math>C_2 = 2 3</math>,

<math>C_3 = 1 2 1 3</math>,

<math>C_4 = 1 1 1 2 1 1 1 3</math>,

<math>C_5 = 3 1 1 2 3 1 1 3</math>,

et ainsi de suite.

On remarque que la méthode qui permet de passer du terme à son terme suivant est une méthode de compression appelée [https://en.wikipedia.org/wiki/Run-length_encoding Run-length encoding (RLE)]

Les fonctions permettant de calculer cette suite sont les suivantes :

<pre lang="python">
def termeSuivant(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Conway.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

nouveauTerme = ""
c_actuel = terme[0]
c_compte = 0

for c in terme:

if (c != c_actuel):
nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel
c_actuel = c
c_compte = 1
else:
c_compte += 1

nouveauTerme += str(c_compte) + c_actuel

return nouveauTerme

def conway(n,premierTerme = "1",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Conway jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivant(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> conway(5,premierTerme='42',afficher=False)
['42', '1412', '11141112', '31143112', '132114132112']

>>> termeSuivant('311212322')
'13211211121322'
</pre>

== Propriétés et théorèmes ==

''Propriétés''

=== Le théorème « chimique » ===

''Propriétés + preuve''

=== Le théorème « arithmétique » ===

''Propriétés + constante lambda''

=== Le théorème « cosmologique » ===

''Propriétés''

== La suite de Robinson ==

=== Définition ===
La suite de Robinson est une modification de la suite de Conway. En effet, on ne fait plus de compression <abbr title='Run-Length Encoding'>RLE</abbr>, mais on compte le nombre de fois qu'un chiffre apparait dans toute la chaîne.

En posant comme premier terme de la suite <math>R_0 = 2</math>, on trouvera les termes suivants :

<math>R_1 = 1 2</math>

<math>R_2 = 1 2 1 1</math>

<math>R_3 = 1 2 3 1</math>

<math>R_4 = 1 3 1 2 2 1</math>

<math>R_5 = 1 3 2 2 3 1</math>

<math>R_6 = 2 3 2 2 2 1</math>

<math>R_7 = 4 2 1 3 1 1</math>

Et ainsi de suite.

Le programme permettant de calculer cette suite est le suivant :

<pre lang='python'>
def termeSuivantRobinson(terme):
"""Fonction qui retourne le terme suivant de la suite de Robinson.
Entrée: Chaîne de caractères ;
Sortie: Chaîne de caractères ;"""

resultat = ""
maximum = 0

for c in terme:

c = int(c)

if (c > maximum):

maximum = c

for i in range(maximum, -1, -1):

compte = 0

for c in terme:

if (int(c) == i):

compte += 1
if (compte != 0):
resultat += str(compte) + str(i)

return resultat

def robinson(n,premierTerme = "0",afficher = True):
"""Fonction qui affiche, puis retourne la suite de Robinson jusqu'à un rang n.
Entrée: n = Entier ; premietTerme (option) = Chaîne de caractère ; afficher (option) = Booléen.
Sortie: Tableau de chaînes de caractère"""

terme = premierTerme
resultat = [""] * n

for i in range(0,n):

resultat[i] = terme

if (afficher):
print(terme)

terme = termeSuivantRobinson(terme)

return resultat
</pre>

Exemple d'exécution :

<pre>
>>> robinson(6,premierTerme='21',afficher=False)
['21', '1211', '1231', '131221', '132231', '232221']

>>> termeSuivantRobinson('111352211321')
'15233261'
</pre>

=== Propriétés ===

== Sources et documents annexes ==

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-13T13:47:50Z

Thepaut :

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-09T13:02:00Z

Thepaut :

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-09T10:09:41Z

Thepaut :

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

2019-05-09T09:35:50Z

Thepaut : Sujet réalisé dans le cadre d'un projet de Visite de laboratoires (VISI201) 2018-2019.

'''Introduction'''