Où placer une (ou plusieurs) antennes 5G dans un village ?

Élève : Briffod Nils

Tuteur : Dorin Bucur

Introduction

Au travers de ce sujet, nous allons réfléchir, réaliser un model mathématique puis le mettre en pratique grâce aux outils informatiques. Nous parlerons de graphes et d'optimisation de longueurs.

Problématique

En quoi consiste ce problème mathématique relié à un exemple concret ? Nous cherchons à minimiser la distance moyenne entre chaque maisons et l'antenne 5G. Autrement dis dans une surface donnée, de forme quelconque, nous devons être capable de trouver les coordonnées optimales du point où l'antenne y sera placer. Bien que cette question à été simplifiée, elle repose sur un concept mathématique important notamment au sujet de la planification économique.

Démonstration

Comment déterminé le point où la distance moyenne entre le point de l'antenne et tous les autres points de la figure ?

Cette démonstration est basée sur un article de recherche par Morgan, F., & Bolton, R. (2002) publié par une revue scientifique, lien de l'article

Nous sommes dans un rectangle est nous allons démontrer ceci sur la largeur d'un coté du rectangle, comme dans la Figure 1. Nous cherchons a diminuer au la somme des longueurs des cotés des deux triangles rectangles (le rouge et le bleu) formant un triangle quelconque tout en gardant une hauteur constante non définie. Par ailleurs seulement deux des trois cotés des triangles nous intéresses puisque le troisième est commun a tous les triangle de notre exemple.

Figure n° 1

Concentrons nous sur les triangles rectangles. Nous allons déterminer grâce au théorème de Pythagore les longueurs des côtes des triangles:

• Le triangle rectangle rouge a pour longueur de coté : $x$, $h$ et pour hypoténuse : ${\sqrt {x^{2}+h^{2}}}$
• Le triangle rectangle bleu a pour longueur de coté : $2-x$, $h$ et pour hypoténuse : ${\sqrt {(2-x)^{2}+h^{2}}}$

i.e. Nous allons faire varier $x$ et observer là où la fonction de la somme est au minimum. Définissons notre fonction de la somme de la longueur des côtes des triangles: $f(x)={\sqrt {(2-x)^{2}+h^{2}}}+{\sqrt {x^{2}+h^{2}}}$ Cherchons quand $f(x)\geq 2{\sqrt {1^{2}+h^{2}}}$ :

On minimise $f(x)$ ce qui reviens a chercher quand sa dérivé s'annule.

• $f'(x)\geq 0$ :

$-{\frac {2-x}{\sqrt {(2-x)^{2}+h^{2}}}}+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+h^{2}}}}=0$

${\frac {x}{\sqrt {x^{2}+h^{2}}}}={\frac {2-x}{\sqrt {(2-x)^{2}+h^{2}}}}$

${\frac {x^{2}}{x^{2}+h^{2}}}={\frac {(2-x)^{2}}{(2-x)^{2}+h^{2}}}$

$x^{2}(2-x)^{2}+x^{2}h^{2}=(2-x)^{2}x^{2}+(2-x)^{2}h^{2}$

$x^{2}h^{2}=(2-x)^{2}h^{2}$

$x^{2}=(2-x)^{2}$

$x^{2}=4-4x+x^{2}$

$0=4-4x$

$4x=4$

$x=1$

Ainsi la somme est la plus base lorsque $x=1$, On en conclus que $f(x)\geq 2{\sqrt {1^{2}+h^{2}}},\forall x\in \mathbb {R}$

Ainsi nous avons démontrer que la somme des distances est la plus basse lorsque $x$ vaut la moitie de la base du triangle comportant les deux triangles rectangles. Ce qui devient le triangle jaune dans la Figure 2.

Figure n° 2

En faisant la même démonstration cette fois ci en prenant le triangle bleu et le triangle rouge sur la largeur du triangle rectangle, on trouve que le point qui minimise la distance moyenne d'un rectangle est le centre géométrique du rectangle. Nous venons ainsi de démontrer où se trouve le point minimisant la distance moyenne à quatre points dans un rectangle.

Gradient

Un des prérequis pour utiliser la méthode gradient, c'est de vouloir minimiser une fonction qui est sur tout son ensemble de définition convexe. Nous allons alors prendre un point aléatoire sur la courbe (a0), puis l'on calcul la pente de la courbe à ce point, on utilise alors la dérivée et si notre fonction à minimiser prends plusieurs paramètre alors on calcule la dérivée partielle pour chacun des paramètres. Le calcul de cette dérivé nous donne la direction de la pente qui descends, puis on avance d'un petit pas nommé alpha. Ce qui nous amène à une seconde position (a1) et on recalcule la dérivée jusqu'à ce que la pente réaugmente, on aura converger au minimum de notre fonction.

Figure n° 3

Où situer une église dans un village ?

Ainsi l'on peut écrire un algorithme qui permet de trouver le point de l'antenne qui minimise la distance moyenne. Petite information a noter alpha doit choisis judicieusement puisqu'on pourrait directement au bout de quelques itérations de la boucle dépasser le minimum, ce qui m'avait poser des problèmes. Exemple avec différentes figures :

TODO : correction des erreurs grammaticales, finir la rédaction.