Où placer une (ou plusieurs) antennes 5G dans un village ?
Élève : Briffod Nils
Tuteur : Dorin Bucur
- Introduction :
Au travers de ce sujet, nous allons réfléchir, réaliser un model mathématique puis le mettre en pratique grâce aux outils informatiques. Nous parlerons de graphes et d'optimisation de longueurs.
- 1 Problématique :
En quoi consiste ce problème mathématique relié à un exemple concret ? Nous cherchons à minimiser la somme des distances entre chaque maisons et l'antenne 5G. Autrement dis dans une surface donnée, de forme quelconque, nous devons être capable de trouver les coordonnées optimales du point où l'antenne y sera placer. Bien que cette question à été simplifiée, elle repose sur un concept mathématique important notamment au sujet de la planification économique.
- 2 Démonstration :
Comment déterminé le point où la somme des distances entre ce point et tous les autres points de la figure est minimal ?
Cette démonstration est basée sur un article de recherche par Morgan, F., & Bolton, R. (2002) (mettre le lien)
Nous sommes dans un carré est nous allons démontrer ceci sur la largeur d'un coté du rectangle, comme dans la Figure 1. Nous cherchons a diminuer au la somme des cotés des deux triangles rectangles formant un triangle quelconque tout en gardant une hauteur constante non définie. Par ailleurs seulement deux des trois cotés nous intéresses puisque le troisième est commun a tous les triangle de notre exemple.
Concentrons nous sur les triangles rectangles. Nous allons déterminer grâce au théorème de Pythagore les longueurs des côtes des triangles:
- Le triangle rectangle rouge a pour longueur de coté : x, h et pour hypoténuse : √(x²+h²)
- Le triangle rectangle bleu a pour longueur de coté : 2-x, h et pour hypoténuse : √((2-x)²+h²)
i.e. Nous allons faire varier x et observer là où la fonction de la somme est au minimum. Définissons notre fonction de la somme de la longueur des côtes des triangles: f(x) = √((2-x)²+h²) + √(x²+h²) Cherchons quand f(x) >= 2√(1²+h²):
On minimise f(x) ce qui reviens a chercher quand sa dérivé s'annule.
- f'(x) >= 0 :
-(2-x)/√((2-x)²+h²) + x/√(x²+h²) = 0 #h est une constante
<=> x/√(x²+h²) = (2-x)/√((2-x)²+h²) #On permute de l'autre coté un membre de l'équation
<=> x²/(x²+h²) = (2-x)²/((2-x)²+h²) #On élève au carré affin de supprimer les racines
<=> x²*(2-x)² + x²*h² = (2-x)²*x² + (2-x)²*h² #On utilise la règle du produit en croix
<=> x²*h² = (2-x)²*h² #On simplifie par x²*(2-x)² l'équation
<=> x² = (2-x)² #On simplifie par h² l'équation
<=> x² = 4-4x+x² #On développe le membre de gauche
<=> 0 = 4-4x #On soustrait x² à l'équation
<=> 4x = 4 #On ajoute 4x à l'équation
<=> x = 1
Ainsi la somme est la plus base lorsque x = 1, On en conclus que f(x) >= 2√(1²+h²), ∀ x ∈ ℝ
Ainsi nous avons démontrer que la somme des distances est la plus basse lorsque x vaut la moitie de la base du triangle comportant les deux triangles rectangles.
TODO : Faire une meilleure mise en page, insérer les images/liens, correction des erreurs grammaticales, finir la rédaction.