MATH203 : Introduction à l'algèbre - Historique des versions

Wiki-lama : /* Que sont les mathématiques */

2014-10-14T09:45:45Z

Que sont les mathématiques

← Version précédente		Version du 14 octobre 2014 à 09:45
Ligne 6 :		Ligne 6 :

	En mathématique on étudie les propriétés d'objets tels que les nombres, les droites, ... Ces objets sont dénotés par des "expressions" comme		En mathématique on étudie les propriétés d'objets tels que les nombres, les droites, ... Ces objets sont dénotés par des "expressions" comme
	* ~~<math>~~x^2 - 1~~</math>~~,		* x^2 - 1,
	* Le milieu du segment [A,B],		* Le milieu du segment [A,B],
	* f est continue.		* f est continue.

Wiki-lama : /* Que sont les mathématiques */

2014-10-14T09:45:32Z

Que sont les mathématiques

← Version précédente		Version du 14 octobre 2014 à 09:45
Ligne 6 :		Ligne 6 :

	En mathématique on étudie les propriétés d'objets tels que les nombres, les droites, ... Ces objets sont dénotés par des "expressions" comme		En mathématique on étudie les propriétés d'objets tels que les nombres, les droites, ... Ces objets sont dénotés par des "expressions" comme
	* x^2 - 1,		* <math>x^2 - 1</math>,
	* Le milieu du segment [A,B],		* Le milieu du segment [A,B],
	* f est continue.		* f est continue.

Rodlepigre : /* Récurrence */

2009-02-10T22:11:19Z

Récurrence

← Version précédente		Version du 10 février 2009 à 22:11
Ligne 175 :		Ligne 175 :

	===Récurrence===		===Récurrence===
			* ''' Proposition : ''' les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
			# Tous les sous-ensembles non vides de lN ont un plus petit élément.
			# Si P est une propriété sur lN, si P(0) est vrai, si ∀n ∈ lN (P(n)⇒P(n+1)), alors ∀n∈lN P(n).
			# Si P est une propriété sur lN, si ∀n∈lN, si ((∀k<n P(k))⇒P(n)), alors ∀n∈lN P(n).
			* ''' Preuve '''
	* ''' Principe '''		* ''' Principe '''
	* ''' Récurrence généralisée '''		* ''' Récurrence généralisée '''

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

2008-04-05T12:57:22Z

FTA ou théorème de d'Alembert

← Version précédente		Version du 5 avril 2008 à 12:57
Ligne 239 :		Ligne 239 :
	::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :		::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :
	::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or <math>\|ab\|=\|a\| \|b\|\,</math>, d'où :		::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or <math>\|ab\|=\|a\| \|b\|\,</math>, d'où :
	::: <math> f(z)= \mid z^n \mid \mid a_n + (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z}) \mid </math> or <math>\|a+b\| ~~≥~~ \|\|a\|-\|b\|\|\,</math>, d'où :		::: <math> f(z)= \mid z^n \mid \mid a_n + (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z}) \mid </math> or <math>\|a+b\| \geq \|\|a\|-\|b\|\|\,</math>, d'où :
	::: <math> f(z) \geq \mid z^n \mid \mid \mid a_n \mid - \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid \mid </math>		::: <math> f(z) \geq \mid z^n \mid \mid \mid a_n \mid - \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid \mid </math>
	::: Cherchons R tel que si lzl>R alors <math> \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid <\mid \frac{a_n}{2} \mid</math> :		::: Cherchons R tel que si lzl>R alors <math> \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid <\mid \frac{a_n}{2} \mid</math> :

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

2008-04-05T12:57:05Z

FTA ou théorème de d'Alembert

← Version précédente		Version du 5 avril 2008 à 12:57
Ligne 239 :		Ligne 239 :
	::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :		::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :
	::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or <math>\|ab\|=\|a\| \|b\|\,</math>, d'où :		::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or <math>\|ab\|=\|a\| \|b\|\,</math>, d'où :
	::: <math> f(z)= \mid z^n \mid \mid a_n + (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z}) \mid </math> or la+bl ≥ ~~llal~~-~~lbll~~, d'où :		::: <math> f(z)= \mid z^n \mid \mid a_n + (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z}) \mid </math> or <math>\|a+b\| ≥ \|\|a\|-\|b\|\|\,</math>, d'où :
	::: <math> f(z) \geq \mid z^n \mid \mid \mid a_n \mid - \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid \mid </math>		::: <math> f(z) \geq \mid z^n \mid \mid \mid a_n \mid - \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid \mid </math>
	::: Cherchons R tel que si lzl>R alors <math> \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid <\mid \frac{a_n}{2} \mid</math> :		::: Cherchons R tel que si lzl>R alors <math> \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid <\mid \frac{a_n}{2} \mid</math> :

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

2008-04-05T12:56:25Z

FTA ou théorème de d'Alembert

← Version précédente		Version du 5 avril 2008 à 12:56
Ligne 239 :		Ligne 239 :
	::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :		::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :
	::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or <math>\|ab\|=\|a\| \|b\|\,</math>, d'où :		::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or <math>\|ab\|=\|a\| \|b\|\,</math>, d'où :
	<math> f(z)= \mid z^n \mid \mid a_n + (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z}) \mid </math> or la+bl ≥ llal-lbll, d'où :		::: <math> f(z)= \mid z^n \mid \mid a_n + (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z}) \mid </math> or la+bl ≥ llal-lbll, d'où :
	<math> f(z) \geq \mid z^n \mid \mid \mid a_n \mid - \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid \mid </math>		::: <math> f(z) \geq \mid z^n \mid \mid \mid a_n \mid - \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid \mid </math>
	::: Cherchons R tel que si lzl>R alors <math> \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid <\mid \frac{a_n}{2} \mid</math> :		::: Cherchons R tel que si lzl>R alors <math> \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid <\mid \frac{a_n}{2} \mid</math> :
	:::: <math> \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid \geq \mid \frac{a_0}{z^n} \mid + \mid \frac{a_1}{z^{n-1}} \mid +\dots + \mid \frac{a_{n-1}}{z} \mid </math>		:::: <math> \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid \geq \mid \frac{a_0}{z^n} \mid + \mid \frac{a_1}{z^{n-1}} \mid +\dots + \mid \frac{a_{n-1}}{z} \mid </math>

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

2008-04-05T12:56:00Z

FTA ou théorème de d'Alembert

← Version précédente		Version du 5 avril 2008 à 12:56
Ligne 239 :		Ligne 239 :
	::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :		::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :
	::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or <math>\|ab\|=\|a\| \|b\|\,</math>, d'où :		::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or <math>\|ab\|=\|a\| \|b\|\,</math>, d'où :

	<math> f(z)= \mid z^n \mid \mid a_n + (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z}) \mid </math> or la+bl ≥ llal-lbll, d'où :		<math> f(z)= \mid z^n \mid \mid a_n + (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z}) \mid </math> or la+bl ≥ llal-lbll, d'où :

	<math> f(z) \geq \mid z^n \mid \mid \mid a_n \mid - \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid \mid </math>		<math> f(z) \geq \mid z^n \mid \mid \mid a_n \mid - \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid \mid </math>
	::: Cherchons R tel que si lzl>R alors <math> \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid <\mid \frac{a_n}{2} \mid</math> :		::: Cherchons R tel que si lzl>R alors <math> \mid \frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} \mid <\mid \frac{a_n}{2} \mid</math> :

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

2008-04-05T12:55:41Z

FTA ou théorème de d'Alembert

← Version précédente		Version du 5 avril 2008 à 12:55
Ligne 238 :		Ligne 238 :
	: Soient <math> z=a_0+a_1z+ \dots +a_nz^n\,</math> un polynôme à coefficients dans <math>\mathbb{C}[z]</math>. Définissons <math>f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> par <math> f(z)=\|P(z)\|\,</math>. On va montrer que P admet une racine dans <math>\mathbb{C}</math>.		: Soient <math> z=a_0+a_1z+ \dots +a_nz^n\,</math> un polynôme à coefficients dans <math>\mathbb{C}[z]</math>. Définissons <math>f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> par <math> f(z)=\|P(z)\|\,</math>. On va montrer que P admet une racine dans <math>\mathbb{C}</math>.
	::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :		::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :
	::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or ~~labl~~=~~lallbl~~, d'où :		::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or <math>\|ab\|=\|a\| \|b\|\,</math>, d'où :

	<math> f(z)= \mid z^n \mid \mid a_n + (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z}) \mid </math> or la+bl ≥ llal-lbll, d'où :		<math> f(z)= \mid z^n \mid \mid a_n + (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z}) \mid </math> or la+bl ≥ llal-lbll, d'où :

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

2008-04-05T12:54:02Z

FTA ou théorème de d'Alembert

← Version précédente		Version du 5 avril 2008 à 12:54
Ligne 236 :		Ligne 236 :
	* ''' Enoncé ''': '' Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans <math>\mathbb{C}</math> possède au moins un racine dans <math>\mathbb{C}</math>. ''		* ''' Enoncé ''': '' Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans <math>\mathbb{C}</math> possède au moins un racine dans <math>\mathbb{C}</math>. ''
	* ''' Preuve ''' :		* ''' Preuve ''' :
	: Soient <math> z=a_0+a_1z+ \dots +a_nz^n\,</math> un polynôme à coefficients dans <math>\mathbb{C}[z]</math>. Définissons <math>f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> par <math> f(z)=\|P(z)\|</math>. On va montrer que P admet une racine dans <math>\mathbb{C}</math>.		: Soient <math> z=a_0+a_1z+ \dots +a_nz^n\,</math> un polynôme à coefficients dans <math>\mathbb{C}[z]</math>. Définissons <math>f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> par <math> f(z)=\|P(z)\|\,</math>. On va montrer que P admet une racine dans <math>\mathbb{C}</math>.
	::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :		::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :
	::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or labl=lallbl, d'où :		::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or labl=lallbl, d'où :

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

2008-04-05T12:53:33Z

FTA ou théorème de d'Alembert

← Version précédente		Version du 5 avril 2008 à 12:53
Ligne 234 :		Ligne 234 :

	===FTA ou théorème de d'Alembert===		===FTA ou théorème de d'Alembert===
	* ''' Enoncé ''': '' Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans <math>\mathbb{C}</math> a au moins un racine dans <math>\mathbb{C}</math>. ''		* ''' Enoncé ''': '' Tout polynôme de degré supérieur ou égal à 1 à coefficients dans <math>\mathbb{C}</math> possède au moins un racine dans <math>\mathbb{C}</math>. ''
	* ''' Preuve ''' :		* ''' Preuve ''' :
	: Soient <math> z=a_0+a_1z+ \dots +a_nz^n\,</math> un polynôme à coefficients dans <math>\mathbb{C}[z]</math>. Définissons <math>f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> par <math>f(z)=\|P(z)\|</math>. On va montrer que P admet une racine dans <math>\mathbb{C}</math>.		: Soient <math> z=a_0+a_1z+ \dots +a_nz^n\,</math> un polynôme à coefficients dans <math>\mathbb{C}[z]</math>. Définissons <math>f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}</math> par <math> f(z)=\|P(z)\|</math>. On va montrer que P admet une racine dans <math>\mathbb{C}</math>.
	::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :		::* Montrons que <math> \lim_{\mid z \mid \longmapsto \infty} f(z)=\infty </math> :
	::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or labl=lallbl, d'où :		::: On a <math> f(z)=\mid z^n (\frac{a_0}{z^n} +\frac{a_1}{z^{n-1}} +\dots + \frac{a_{n-1}}{z} + a_n) \mid </math>, or labl=lallbl, d'où :

MATH203 : Introduction à l'algèbre - Historique des versions

Wiki-lama : /* Que sont les mathématiques */

Wiki-lama : /* Que sont les mathématiques */

Rodlepigre : /* Récurrence */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Wiki-lama : /* Que sont les mathématiques */

Wiki-lama : /* Que sont les mathématiques */

Rodlepigre : /* Récurrence */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */

Raffalli : /* FTA ou théorème de d'Alembert */