MATH206 : Probabilités et Statistiques - Historique des versions

Quentinscott le 30 mai 2011 à 10:07

2011-05-30T10:07:14Z

← Version précédente		Version du 30 mai 2011 à 10:07
Ligne 259 :		Ligne 259 :

	==Intervalle de confiance==		==Intervalle de confiance==

			[http://cvresumewritingservices.org/ Resumes]

Raffalli le 10 février 2009 à 12:53

2009-02-10T12:53:06Z

← Version précédente		Version du 10 février 2009 à 12:53
Ligne 2 :		Ligne 2 :
	[http://www.lama.univ-savoie.fr/~raffalli/pdfs/TD1-MATH206.pdf 1]		[http://www.lama.univ-savoie.fr/~raffalli/pdfs/TD1-MATH206.pdf 1]
	[http://www.lama.univ-savoie.fr/~raffalli/pdfs/TD2-MATH206.pdf 2]		[http://www.lama.univ-savoie.fr/~raffalli/pdfs/TD2-MATH206.pdf 2]
			[http://www.lama.univ-savoie.fr/~raffalli/pdfs/TD3-MATH206.pdf 3]

	==Introduction==		==Introduction==

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

2009-01-27T14:03:57Z

Estimateur ponctuel

← Version précédente		Version du 27 janvier 2009 à 14:03
Ligne 125 :		Ligne 125 :
	&= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n X_{a_i}^2 - \frac{1}{n^2} \sum_{1 \leq i, j \leq n} X_{a_i}X_{a_j} \\		&= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n X_{a_i}^2 - \frac{1}{n^2} \sum_{1 \leq i, j \leq n} X_{a_i}X_{a_j} \\
	&= \frac{n-1}{n^2} \sum_{i = 1}^n X_{a_i}^2 - \frac{1}{n^2} \sum_{1 \leq i \neq j \leq n} X_{a_i}X_{a_j}		&= \frac{n-1}{n^2} \sum_{i = 1}^n X_{a_i}^2 - \frac{1}{n^2} \sum_{1 \leq i \neq j \leq n} X_{a_i}X_{a_j}
	\end{align}</math> ~~D'où~~		\end{align}</math>
			D'où
	<math>\begin{align} E(A \mapsto \hat{V}(X))		<math>\begin{align} E(A \mapsto \hat{V}(X))
	&=\frac{n-1}{n^2} \sum_{i = 1}^n E(A \mapsto X_{a_i}^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{1 \leq i \neq j \leq n} E(A \mapsto X_{a_i}X_{a_j}) \\		&=\frac{n-1}{n^2} \sum_{i = 1}^n E(A \mapsto X_{a_i}^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{1 \leq i \neq j \leq n} E(A \mapsto X_{a_i}X_{a_j}) \\

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

2009-01-27T14:02:48Z

Estimateur ponctuel

← Version précédente		Version du 27 janvier 2009 à 14:02
Ligne 123 :		Ligne 123 :
	<math>n</math>. Là encore, la notation <math>\hat{V}(X)</math> ne fait pas appraître le fait que cette quantité dépend de <math>A</math>. On a		<math>n</math>. Là encore, la notation <math>\hat{V}(X)</math> ne fait pas appraître le fait que cette quantité dépend de <math>A</math>. On a
	<math>\begin{align}\hat{V}(X) &= \hat{E}(X^2) - \hat{E}(X)^2 \\		<math>\begin{align}\hat{V}(X) &= \hat{E}(X^2) - \hat{E}(X)^2 \\
	&= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n X_{a_i}^2 - \frac{1}{n^2} \~~sum~~{1 \leq i, j \leq n} X_{a_i}X_{a_j} \\		&= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n X_{a_i}^2 - \frac{1}{n^2} \sum_{1 \leq i, j \leq n} X_{a_i}X_{a_j} \\
	&= \frac{n-1}{n^2} \sum_{i = 1}^n X_{a_i}^2 - \frac{1}{n^2} \~~sum~~{1 \leq i \neq j \leq n} X_{a_i}X_{a_j}		&= \frac{n-1}{n^2} \sum_{i = 1}^n X_{a_i}^2 - \frac{1}{n^2} \sum_{1 \leq i \neq j \leq n} X_{a_i}X_{a_j}
	\end{align}</math> D'où		\end{align}</math> D'où
	<math>\begin{align} E(A \mapsto \hat{V}(X))		<math>\begin{align} E(A \mapsto \hat{V}(X))

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

2009-01-27T14:02:11Z

Estimateur ponctuel

← Version précédente		Version du 27 janvier 2009 à 14:02
Ligne 105 :		Ligne 105 :
	<math>\displaystyle \frac{N-1}{N} \frac{n}{n-1}\hat{V}(X)</math> dans le cas de tirage sans remise (qui vaut bien <math>\sigma^2</math> lorque n = N).		<math>\displaystyle \frac{N-1}{N} \frac{n}{n-1}\hat{V}(X)</math> dans le cas de tirage sans remise (qui vaut bien <math>\sigma^2</math> lorque n = N).
	<u>Démonstration :</u>		<u>Démonstration :</u>
	'' Calcul préalable : '' Soit X une variable aléatoire sur Ω, On définit <math>(i,j) \mapsto X_i X_j</math> la variable aléatoire sur		'' Calcul préalable : '' Soit X une variable aléatoire sur Ω, On définit <math>Y = (i,j) \mapsto X_i X_j</math> la variable aléatoire sur
	<math>\Omega \times \Omega</math> (avec remise) ou sur <math>\Omega \times \Omega \setminus \{(i,i) \mid i \in \Omega\}</math> (sans remise).		<math>\Omega \times \Omega</math> (avec remise) ou sur <math>\Omega \times \Omega \setminus \{(i,i) \mid i \in \Omega\}</math> (sans remise).
	* avec remise :		* avec remise :
	<math>\begin{align} E(~~(i,j) \mapsto X_i X_j~~) &= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i,j \in \Omega} X_iX_j \right) \\		<math>\begin{align} E(Y) &= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i,j \in \Omega} X_iX_j \right) \\
	&= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i \in \Omega} X_i \sum_{j \in \Omega} X_j \right) \\		&= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i \in \Omega} X_i \sum_{j \in \Omega} X_j \right) \\
	&=E(X)^2		&=E(X)^2
	\end{align} </math>		\end{align} </math>
	* sans remise :		* sans remise :
	<math>\begin{align} E(~~(i,j) \mapsto X_i X_j~~)		<math>\begin{align} E(Y)
	&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega ; i \neq j }X_iX_j}{N^2 - N} \\		&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega ; i \neq j }X_iX_j}{N^2 - N} \\
	&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega}X_iX_j - \sum_{i \in \Omega}X_i^2}{N(N-1)} \\		&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega}X_iX_j - \sum_{i \in \Omega}X_i^2}{N(N-1)} \\
Ligne 122 :		Ligne 122 :
	On a V(X) variance de la population et <math>\hat{V}(X)</math> la variance d'un échantillon <math>A = \{a_1,\dots,a_n\}</math> de taille		On a V(X) variance de la population et <math>\hat{V}(X)</math> la variance d'un échantillon <math>A = \{a_1,\dots,a_n\}</math> de taille
	<math>n</math>. Là encore, la notation <math>\hat{V}(X)</math> ne fait pas appraître le fait que cette quantité dépend de <math>A</math>. On a		<math>n</math>. Là encore, la notation <math>\hat{V}(X)</math> ne fait pas appraître le fait que cette quantité dépend de <math>A</math>. On a
	<math>\begin{align}\hat{V}(X) &=\~~frac~~{~~\sum_{i=1~~}^~~n \left( X_{a_i}~~ - \~~frac~~{~~\sum_{i=1~~}~~^n X_{a_i}}{n} \right~~) ^2~~}{n}~~ \\		<math>\begin{align}\hat{V}(X) &= \hat{E}(X^2) - \hat{E}(X)^2 \\
	&= \frac{n-1}{n} \sum_{i = 1}^n (X_{a_i}^2) - \frac{\~~sum_~~{1 \leq i ~~\neq~~ j \leq n} X_{a_i}X_{a_j}~~}{n^2}~~		&= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n X_{a_i}^2 - \frac{1}{n^2} \sum{1 \leq i, j \leq n} X_{a_i}X_{a_j} \\
			&= \frac{n-1}{n^2} \sum_{i = 1}^n X_{a_i}^2 - \frac{1}{n^2} \sum{1 \leq i \neq j \leq n} X_{a_i}X_{a_j}
	\end{align}</math> D'où		\end{align}</math> D'où
			<math>\begin{align} E(A \mapsto \hat{V}(X))
⚫	<math> E(A \mapsto \hat{V}(X))=\frac{n-1}{n~~^2} \sum_{i \in A~~} E(~~X_i~~^2) - \frac{1}{~~n^2~~} \~~sum_~~{~~i \neq j \in A}~~ E(~~X_iX_j~~)= \frac{n-1}{n} ~~E(X^2) -~~ \frac{n-1}~~{n} E~~(~~X_1X_2~~)</math>
	** avec remise : <math> E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n~~} (E(X~~^2) - E(X)^2)= \frac{n-1}{n} V(X) ~~</math>~~		&=\frac{n-1}{n^2} \sum_{i = 1}^n E(A \mapsto X_{a_i}^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{1 \leq i \neq j \leq n} E(A \mapsto X_{a_i}X_{a_j}) \\
	** sans remise : <math> E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - ~~E(X)^2 \frac{N}{N-1} + \frac{E(X^2)}{N-1})=~~ \frac{n-1}{n} ~~\frac{N}{N-1}V~~(X) ~~</math>~~		&=\frac{n-1}{n} E(X^2) - \frac{n-1}{n} E(Y)
			\end{align}</math>
			Pour finir, on utilise le résultat du calcul préalable.
			* avec remise : <math> E(A \mapsto \hat{V}(X))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2)= \frac{n-1}{n} V(X) </math>
		⚫	* sans remise : <math> E(A \mapsto \hat{V}(X))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2 \frac{N}{N-1} + \frac{E(X^2)}{N-1})= \frac{n-1}{n} \frac{N}{N-1}V(X) </math>

	On prend donc en général, pour estimateur sans biais de V(X) sur un échantillon <math>A \subset \Omega</math> la valeur appelée variance empirique de Y :		On prend donc en général, pour estimateur sans biais de V(X) sur un échantillon <math>A \subset \Omega</math> la valeur appelée variance empirique de Y :

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

2009-01-27T13:52:28Z

Estimateur ponctuel

← Version précédente		Version du 27 janvier 2009 à 13:52
Ligne 119 :		Ligne 119 :
	&= E(X)^2 \frac{N}{N-1} - \frac{E(X^2)}{N-1}		&= E(X)^2 \frac{N}{N-1} - \frac{E(X^2)}{N-1}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	'' Fin de la démonstration '' Soit Ω une population de taille N, soit X une variable aléatoire sur Ω, on s'intéresse aux échantillons de taille n.		'' Fin de la démonstration :'' Soit Ω une population de taille N, soit X une variable aléatoire sur Ω, on s'intéresse aux échantillons de taille n.
	On a V(X) variance de la population et <math>\hat{V}(X)</math> la variance d'un échantillon <math>A = \{a_1,\dots,a_n\}</math> de taille		On a V(X) variance de la population et <math>\hat{V}(X)</math> la variance d'un échantillon <math>A = \{a_1,\dots,a_n\}</math> de taille
	<math>n</math>. Là encore, la notation <math>\hat{V}(X)</math> ne fait pas appraître le fait que cette quantité dépend de <math>A</math>. On a		<math>n</math>. Là encore, la notation <math>\hat{V}(X)</math> ne fait pas appraître le fait que cette quantité dépend de <math>A</math>. On a

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

2009-01-27T13:41:57Z

Estimateur ponctuel

← Version précédente		Version du 27 janvier 2009 à 13:41
Ligne 119 :		Ligne 119 :
	&= E(X)^2 \frac{N}{N-1} - \frac{E(X^2)}{N-1}		&= E(X)^2 \frac{N}{N-1} - \frac{E(X^2)}{N-1}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	'' Fin de la démonstration '' Soit Ω une population de taille N, soit X une variable aléatoire sur Ω, on s'intéresse aux échantillons de taille n.		'' Fin de la démonstration '' Soit Ω une population de taille N, soit X une variable aléatoire sur Ω, on s'intéresse aux échantillons de taille n.
	On a V(X) variance de la population et <math>\hat{V}(X)</math> la variance d'un échantillon <math>A = \{a_1,\dots,a_n}</math> de taille ~~<math>n</math>.~~		On a V(X) variance de la population et <math>\hat{V}(X)</math> la variance d'un échantillon <math>A = \{a_1,\dots,a_n\}</math> de taille
			<math>n</math>. Là encore, la notation <math>\hat{V}(X)</math> ne fait pas appraître le fait que cette quantité dépend de <math>A</math>. On a
	<math> \hat{V}(X)=\frac{\sum_{i=1}^n \left( X_{a_i} - \frac{\sum_{i \in A}X_i}{n} \right) ^2}{n}= \frac{n-1}{n} \sum_{i \in A} (X_i^2) - \frac{\sum_{i \neq j \in A} X_iX_j}{n^2}</math> D'où
	<math> ~~E(A~~ \~~mapsto~~ \hat{V}(X))=\frac{~~n-1}{n^2}~~ \sum_{i \in A} ~~E(X_i^2)~~ - \frac{~~1}{n^2}~~ \sum_{i ~~\neq j \in A~~} ~~E(X_iX_j)= \frac~~{~~n-1~~}{n} ~~E(X~~^2~~) - \frac{n-1~~}{n} ~~E(X_1X_2)</math>~~		<math>\begin{align}\hat{V}(X) &=\frac{\sum_{i=1}^n \left( X_{a_i} - \frac{\sum_{i=1}^n X_{a_i}}{n} \right) ^2}{n} \\
			&= \frac{n-1}{n} \sum_{i = 1}^n (X_{a_i}^2) - \frac{\sum_{1 \leq i \neq j \leq n} X_{a_i}X_{a_j}}{n^2}
			\end{align}</math> D'où
			<math> E(A \mapsto \hat{V}(X))=\frac{n-1}{n^2} \sum_{i \in A} E(X_i^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{i \neq j \in A} E(X_iX_j)= \frac{n-1}{n} E(X^2) - \frac{n-1}{n} E(X_1X_2)</math>
	** avec remise : <math> E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2)= \frac{n-1}{n} V(X) </math>		** avec remise : <math> E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2)= \frac{n-1}{n} V(X) </math>
	** sans remise : <math> E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2 \frac{N}{N-1} + \frac{E(X^2)}{N-1})= \frac{n-1}{n} \frac{N}{N-1}V(X) </math>		** sans remise : <math> E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2 \frac{N}{N-1} + \frac{E(X^2)}{N-1})= \frac{n-1}{n} \frac{N}{N-1}V(X) </math>

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

2009-01-27T13:38:14Z

Estimateur ponctuel

← Version précédente		Version du 27 janvier 2009 à 13:38
Ligne 104 :		Ligne 104 :

	<math>\displaystyle \frac{N-1}{N} \frac{n}{n-1}\hat{V}(X)</math> dans le cas de tirage sans remise (qui vaut bien <math>\sigma^2</math> lorque n = N).		<math>\displaystyle \frac{N-1}{N} \frac{n}{n-1}\hat{V}(X)</math> dans le cas de tirage sans remise (qui vaut bien <math>\sigma^2</math> lorque n = N).
	<u>Démonstration :</u>		<u>Démonstration :</u>
	'' Calcul préalable : '' Soit X une variable aléatoire sur Ω, On définit <math>(i,j) \mapsto X_i X_j</math> la variable aléatoire sur		'' Calcul préalable : '' Soit X une variable aléatoire sur Ω, On définit <math>(i,j) \mapsto X_i X_j</math> la variable aléatoire sur
	<math>\Omega \times \Omega</math> (avec remise) ou sur <math>\Omega \times \Omega \setminus \{(i,i) \mid i \in \Omega\}</math> (sans remise).		<math>\Omega \times \Omega</math> (avec remise) ou sur <math>\Omega \times \Omega \setminus \{(i,i) \mid i \in \Omega\}</math> (sans remise).
	* avec remise :		* avec remise :
	<math>\begin{align} E((i,j) \mapsto X_i X_j) &= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i,j \in \Omega} X_iX_j \right) \\		<math>\begin{align} E((i,j) \mapsto X_i X_j) &= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i,j \in \Omega} X_iX_j \right) \\
	&= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i \in \Omega} X_i \sum_{j \in \Omega} X_j \right) \\		&= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i \in \Omega} X_i \sum_{j \in \Omega} X_j \right) \\
	&=E(X)^2		&=E(X)^2
	\end{align} </math>		\end{align} </math>
	* sans remise :		* sans remise :
	<math>\begin{align} E((i,j) \mapsto X_i X_j)		<math>\begin{align} E((i,j) \mapsto X_i X_j)
	&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega ; i \neq j }X_iX_j}{N^2 - N} \\		&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega ; i \neq j }X_iX_j}{N^2 - N} \\
	&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega}X_iX_j - \sum_{i \in \Omega}X_i^2}{N(N-1)} \\		&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega}X_iX_j - \sum_{i \in \Omega}X_i^2}{N(N-1)} \\
Ligne 119 :		Ligne 119 :
	&= E(X)^2 \frac{N}{N-1} - \frac{E(X^2)}{N-1}		&= E(X)^2 \frac{N}{N-1} - \frac{E(X^2)}{N-1}
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
			'' Fin de la démonstration '' Soit Ω une population de taille N, soit X une variable aléatoire sur Ω, on s'intéresse aux échantillons de taille n.

	~~Soit~~ ~~Ω~~ ~~une~~ ~~population~~ de ~~taille~~ N, ~~soit~~ X ~~une~~ ~~variable~~ ~~aléatoire~~ ~~sur~~ ~~Ω,~~ on ~~s'intéresse aux échantillons~~ de taille n.		On a V(X) variance de la population et <math>\hat{V}(X)</math> la variance d'un échantillon <math>A = \{a_1,\dots,a_n}</math> de taille <math>n</math>.
		⚫	<math> \hat{V}(X)=\frac{\sum_{i=1}^n \left( X_{a_i} - \frac{\sum_{i \in A}X_i}{n} \right) ^2}{n}= \frac{n-1}{n} \sum_{i \in A} (X_i^2) - \frac{\sum_{i \neq j \in A} X_iX_j}{n^2}</math> D'où
	On a V(x) variance de la population et <math>\sigma^2</math> la variance d'un échantillon A de taille n.
	<math> ~~\sigma^2~~ (A~~)=\frac{\sum_{i~~ \~~in A}~~ \~~left( X_i- \frac~~{~~\sum_{i \in A~~}~~X_i}{n} \right~~) ~~^2}{n}~~= \frac{n-1}{n} \sum_{i \in A} (X_i^2) - \frac{\sum_{i \neq j \in A} X_iX_j}{n^2}</math> ~~D'où~~		<math> E(A \mapsto \hat{V}(X))=\frac{n-1}{n^2} \sum_{i \in A} E(X_i^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{i \neq j \in A} E(X_iX_j)= \frac{n-1}{n} E(X^2) - \frac{n-1}{n} E(X_1X_2)</math>
⚫	<math> E(\~~sigma~~^2(A))=\frac{n-1}{n^2} \sum_{i \in A} E(X_i^2) - \frac{~~1}{n^2}~~ \sum_{i \neq j \in A} E(X_iX_j~~)= \frac{n-1~~}{n~~} E(X~~^2~~) - \frac{n-1~~}~~{n} E(X_1X_2)~~</math>
	** avec remise : <math> E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2)= \frac{n-1}{n} V(X) </math>		** avec remise : <math> E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2)= \frac{n-1}{n} V(X) </math>
	** sans remise : <math> E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2 \frac{N}{N-1} + \frac{E(X^2)}{N-1})= \frac{n-1}{n} \frac{N}{N-1}V(X) </math>		** sans remise : <math> E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2 \frac{N}{N-1} + \frac{E(X^2)}{N-1})= \frac{n-1}{n} \frac{N}{N-1}V(X) </math>

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

2009-01-27T13:34:14Z

Estimateur ponctuel

← Version précédente		Version du 27 janvier 2009 à 13:34
Ligne 107 :		Ligne 107 :
	'' Calcul préalable : '' Soit X une variable aléatoire sur Ω, On définit <math>(i,j) \mapsto X_i X_j</math> la variable aléatoire sur		'' Calcul préalable : '' Soit X une variable aléatoire sur Ω, On définit <math>(i,j) \mapsto X_i X_j</math> la variable aléatoire sur
	<math>\Omega \times \Omega</math> (avec remise) ou sur <math>\Omega \times \Omega \setminus \{(i,i) \mid i \in \Omega\}</math> (sans remise).		<math>\Omega \times \Omega</math> (avec remise) ou sur <math>\Omega \times \Omega \setminus \{(i,i) \mid i \in \Omega\}</math> (sans remise).
			* avec remise :

	** avec remise : <math>\begin{align} E((i,j) \mapsto X_i X_j) &= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i,j \in \Omega} X_iX_j \right) \\		<math>\begin{align} E((i,j) \mapsto X_i X_j) &= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i,j \in \Omega} X_iX_j \right) \\
	&= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i \in \Omega} X_i \sum_{j \in \Omega} X_j \right) \\		&= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i \in \Omega} X_i \sum_{j \in \Omega} X_j \right) \\
	&=E(X)^2		&=E(X)^2
	\end{align} </math>		\end{align} </math>
	** sans remise : ~~<math>\begin{align} E((i,j) \mapsto X_i X_j)~~		* sans remise :
			<math>\begin{align} E((i,j) \mapsto X_i X_j)
	&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega ; i \neq j }X_iX_j}{N^2 - N} \\		&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega ; i \neq j }X_iX_j}{N^2 - N} \\
	&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega}X_iX_j - \sum_{i \in \Omega}X_i^2}{N(N-1)} \\		&=\frac{\sum_{i,j \in \Omega}X_iX_j - \sum_{i \in \Omega}X_i^2}{N(N-1)} \\

Raffalli le 27 janvier 2009 à 12:13

2009-01-27T12:13:21Z

← Version précédente		Version du 27 janvier 2009 à 12:13
Ligne 1 :		Ligne 1 :
	Feuilles de TD :		Feuilles de TD :
	[http://www.lama.univ-savoie.fr/~raffalli/pdfs/TD1-MATH206.pdf 1]		[http://www.lama.univ-savoie.fr/~raffalli/pdfs/TD1-MATH206.pdf 1]
			[http://www.lama.univ-savoie.fr/~raffalli/pdfs/TD2-MATH206.pdf 2]


	==Introduction==		==Introduction==

MATH206 : Probabilités et Statistiques - Historique des versions

Quentinscott le 30 mai 2011 à 10:07

Raffalli le 10 février 2009 à 12:53

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli le 27 janvier 2009 à 12:13

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */

Raffalli : /* Estimateur ponctuel */