MATH801 : Géométrie affine et euclidienne - Historique des versions

Raffalli : /* géométrie projective axiomatique (Ancien texte non convert cette année) */

2012-01-22T22:01:54Z

géométrie projective axiomatique (Ancien texte non convert cette année)

← Version précédente		Version du 22 janvier 2012 à 22:01
Ligne 146 :		Ligne 146 :


	=== géométrie projective axiomatique (Ancien texte non ~~convert~~ cette année) ===		=== géométrie projective axiomatique (Ancien texte non couvert cette année) ===

	La géométrie projective n'est pas au programme de ce cours. On ne fera donc aucun exercice, ni aucune démonstration en géométrie projective. Toutefois, pour se rappeler de tous les cas des théorèmes de Desargues et Pappus, plus tard pour classifier les coniques et surtout les quadriques, voir les choses de manière informelle dans le projectif est assez facile et permet de ''structurer le savoir'' et donc de retenir plus facilement les choses ...		La géométrie projective n'est pas au programme de ce cours. On ne fera donc aucun exercice, ni aucune démonstration en géométrie projective. Toutefois, pour se rappeler de tous les cas des théorèmes de Desargues et Pappus, plus tard pour classifier les coniques et surtout les quadriques, voir les choses de manière informelle dans le projectif est assez facile et permet de ''structurer le savoir'' et donc de retenir plus facilement les choses ...

Raffalli : /* Coordonnées projectives / foyers et directrices */

2012-01-22T22:01:39Z

Coordonnées projectives / foyers et directrices

← Version précédente		Version du 22 janvier 2012 à 22:01
Ligne 133 :		Ligne 133 :
	Passage projectif/affine, polynômes homogènes et non homogènes.		Passage projectif/affine, polynômes homogènes et non homogènes.

	=== Intersection plan/cône === ~~géométrie projective (axiomatique)~~		=== Intersection plan/cône ===

	Définition du cône (et du cylindre) et théorème de Dandelin.		Définition du cône (et du cylindre) et théorème de Dandelin.

Raffalli : /* Étude des coniques et quadriques */

2012-01-22T21:01:46Z

Étude des coniques et quadriques

← Version précédente		Version du 22 janvier 2012 à 21:01
Ligne 128 :		Ligne 128 :
	== Étude des coniques et quadriques ==		== Étude des coniques et quadriques ==

			=== Coordonnées projectives / foyers et directrices ===
⚫	=== Un ~~tout~~ ~~petit tour du coté de la~~ géométrie projective (axiomatique) ~~===~~

			Définition de l'espace projectif de dimension <math>n</math> comme l'ensemble des droites vectorielles de <math>{\mathbb R}^{n+1}</math>.
			Passage projectif/affine, polynômes homogènes et non homogènes.

		⚫	=== Intersection plan/cône === géométrie projective (axiomatique)

			Définition du cône (et du cylindre) et théorème de Dandelin.
			Construction géométrique des foyers et des directrices.

			=== Foyers et directrices / équations implicites ===

			Équations implicites des coniques à partir de la définition par foyers / directrices et réciproque.

			=== Équations paramétrées ===



			=== géométrie projective axiomatique (Ancien texte non convert cette année) ===

	La géométrie projective n'est pas au programme de ce cours. On ne fera donc aucun exercice, ni aucune démonstration en géométrie projective. Toutefois, pour se rappeler de tous les cas des théorèmes de Desargues et Pappus, plus tard pour classifier les coniques et surtout les quadriques, voir les choses de manière informelle dans le projectif est assez facile et permet de ''structurer le savoir'' et donc de retenir plus facilement les choses ...		La géométrie projective n'est pas au programme de ce cours. On ne fera donc aucun exercice, ni aucune démonstration en géométrie projective. Toutefois, pour se rappeler de tous les cas des théorèmes de Desargues et Pappus, plus tard pour classifier les coniques et surtout les quadriques, voir les choses de manière informelle dans le projectif est assez facile et permet de ''structurer le savoir'' et donc de retenir plus facilement les choses ...

Raffalli : /* Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine */

2012-01-22T20:29:56Z

Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine

← Version précédente		Version du 22 janvier 2012 à 20:29
Ligne 105 :		Ligne 105 :

	=== Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine ===		=== Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine ===

			(EN TD)

	==== Desargues ====		==== Desargues ====

Raffalli : /* Plan affine incident et parallélisme */

2012-01-09T13:42:39Z

Plan affine incident et parallélisme

← Version précédente		Version du 9 janvier 2012 à 13:42
Ligne 38 :		Ligne 38 :

	'''Exercice 1''': Faire la preuve.		'''Exercice 1''': Faire la preuve.

			'''Exercice 1b''': Montrer que l'on peut construire un parallélogramme (en fait trois) à partir de 3 points non alignés.

			'''Exercice 1c''': Déduire de l'existence de 3 points non alignés celle de trois droites non parallèles 2 à 2 et en déduire que toute droite possède au moins 2 points distincs.

	=== Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations ===		=== Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations ===

Raffalli : /* Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations */

2012-01-08T20:52:36Z

Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations

← Version précédente		Version du 8 janvier 2012 à 20:52
Ligne 92 :		Ligne 92 :
	'''Exercice 8''': Montrez que le théorème de Pappus affine est équivalent à la commutativité du corps.		'''Exercice 8''': Montrez que le théorème de Pappus affine est équivalent à la commutativité du corps.

	~~Soit~~ <math>D_1</math> et <math>D_2</math> deux droites, <math>A_i, B_i, C_i</math> trois points de <math>D_i</math>.		Pappus : soient <math>D_1</math> et <math>D_2</math> deux droites, <math>A_i, B_i, C_i</math> trois points de <math>D_i</math>.
	On considère les trois couples de droites suivants (un peu plus dur à retenir que pour Desargues, pensez au produit vectoriel):		On considère les trois couples de droites suivants (un peu plus dur à retenir que pour Desargues, pensez au produit vectoriel):
	* <math>(A_1, B_2), (B_1, A_2)</math>		* <math>(A_1, B_2), (B_1, A_2)</math>

Raffalli : /* Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine */

2012-01-08T20:51:48Z

Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine

← Version précédente		Version du 8 janvier 2012 à 20:51
Ligne 91 :		Ligne 91 :

	'''Exercice 8''': Montrez que le théorème de Pappus affine est équivalent à la commutativité du corps.		'''Exercice 8''': Montrez que le théorème de Pappus affine est équivalent à la commutativité du corps.

			Soit <math>D_1</math> et <math>D_2</math> deux droites, <math>A_i, B_i, C_i</math> trois points de <math>D_i</math>.
			On considère les trois couples de droites suivants (un peu plus dur à retenir que pour Desargues, pensez au produit vectoriel):
			* <math>(A_1, B_2), (B_1, A_2)</math>
			* <math>(A_1, C_2), (C_1, A_2)</math>
			* <math>(B_1, C_2), (C_1, B_2)</math>
			On a alors le même résultat que pour Desargues : si Pour deux des trois couples les droites sont parallèles alors il en est
			de même pour le troisième couple de droites.

	=== Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine ===		=== Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine ===

Raffalli : /* Énoncés des théorèmes/axiomes de Desargues et Pappus */

2012-01-08T20:50:19Z

Énoncés des théorèmes/axiomes de Desargues et Pappus

← Version précédente		Version du 8 janvier 2012 à 20:50
Ligne 162 :		Ligne 162 :
	On considère souvent (et plus haut) le théorème de Desargues affine qui s'en déduit trivialement.		On considère souvent (et plus haut) le théorème de Desargues affine qui s'en déduit trivialement.

	Théorème de Pappus (Grec 290-350)		Théorème de Pappus (Grec 290-350), le plus général.

	Soit <math>D_1</math> et <math>D_2</math> deux droites, <math>A_i, B_i, C_i</math> trois points de <math>D_i</math>.		Soit <math>D_1</math> et <math>D_2</math> deux droites, <math>A_i, B_i, C_i</math> trois points de <math>D_i</math>.
	On considère les trois couples de droites suivants (un peu plus dur à retenir que pour Desargues, pensez au produit vectoriel):		On considère les trois couples de droites suivants (un peu plus dur à retenir que pour Desargues, pensez au produit vectoriel):
	* (A_1, B_2), (B_1, A_2)		* <math>(A_1, B_2), (B_1, A_2)</math>
	* (A_1, C_2), (C_1, A_2)		* <math>(A_1, C_2), (C_1, A_2)</math>
	* (B_1, C_2), (C_1, B_2)		* <math>(B_1, C_2), (C_1, B_2)</math>
	On a alors le même résultat que pour Desargues:		On a alors le même résultat que pour Desargues:
	* Les deux droites de chacun des trois couples sont parallèles.		* Les deux droites de chacun des trois couples sont parallèles.

Raffalli : /* Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations */

2012-01-08T20:47:16Z

Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations

← Version précédente		Version du 8 janvier 2012 à 20:47
Ligne 42 :		Ligne 42 :

	Un plan affine de Desargues est un plan affine incident vérifiant		Un plan affine de Desargues est un plan affine incident vérifiant
	l'axiome de Désargues affine.		l'axiome de Désargues affine :

			Soit <math>D_1</math>, <math>D_2</math> et <math>D_3</math> 3 droites 2 à 2 parallèles ou concourantes en 1 points.
			Soit pour tout <math>i \in\{1;2;3\}</math>, <math>A_i</math> et <math>B_i</math> deux points de <math>D_i</math> alors si deux des trois couples de droites <math>(A_i,A_j), (B_i,B_j)</math> pour <math>1 \leq i < j \leq 3</math> sont parallèles, le troisième est aussi parallèle.

	Soit P un plan affine de Desargues. Le groupe des homothéties-translations de P est constitués des bijections de P dans P envoyant toute droite sur une droite qui lui est parallèle (les droites étant identifiés à leur point incidents).		Soit P un plan affine de Desargues. Le groupe des homothéties-translations de P est constitués des bijections de P dans P envoyant toute droite sur une droite qui lui est parallèle (les droites étant identifiés à leur point incidents).

Raffalli : /* Énoncés des théorèmes/axiomes de Desargues et Pappus */

2012-01-08T20:46:53Z

Énoncés des théorèmes/axiomes de Desargues et Pappus

← Version précédente		Version du 8 janvier 2012 à 20:46
Ligne 157 :		Ligne 157 :

	Il s'agit ici de l'expression du théorème de Desargues projectif traduit dans l'affine sans aucune perte de généralité.		Il s'agit ici de l'expression du théorème de Desargues projectif traduit dans l'affine sans aucune perte de généralité.
	On considère souvent (et plus ~~bas~~) le théorème de Desargues affine ~~suivant~~ qui s'en déduit trivialement:		On considère souvent (et plus haut) le théorème de Desargues affine qui s'en déduit trivialement.

	Soit <math>D_1</math>, <math>D_2</math> et <math>D_3</math> 3 droites 2 à 2 parallèles ou concourantes en 1 points.
	Soit pour tout <math>i \in\{1;2;3\}</math>, <math>A_i</math> et <math>B_i</math> deux points de <math>D_i</math> alors si deux des trois couples de droites <math>(A_i,A_j), (B_i,B_j)</math> pour <math>1 \leq i < j \leq 3</math> sont parallèles, le troisième est aussi parallèle.

	Théorème de Pappus (Grec 290-350)		Théorème de Pappus (Grec 290-350)

MATH801 : Géométrie affine et euclidienne - Historique des versions

Raffalli : /* géométrie projective axiomatique (Ancien texte non convert cette année) */

Raffalli : /* Coordonnées projectives / foyers et directrices */

Raffalli : /* Étude des coniques et quadriques */

Raffalli : /* Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine */

Raffalli : /* Plan affine incident et parallélisme */

Raffalli : /* Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations */

Raffalli : /* Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine */

Raffalli : /* Énoncés des théorèmes/axiomes de Desargues et Pappus */

Raffalli : /* Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations */

Raffalli : /* Énoncés des théorèmes/axiomes de Desargues et Pappus */

Raffalli : /* géométrie projective axiomatique (Ancien texte non convert cette année) */

Raffalli : /* Coordonnées projectives / foyers et directrices */

Raffalli : /* Étude des coniques et quadriques */

Raffalli : /* Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine */

Raffalli : /* Plan affine incident et parallélisme */

Raffalli : /* Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations */

Raffalli : /* Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine */

Raffalli : /* Énoncés des théorèmes/axiomes de Desargues et Pappus */

Raffalli : /* Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations */

Raffalli : /* Énoncés des théorèmes/axiomes de Desargues et Pappus */