Approximation numérique de calculs intégraux

Les calculs intégraux sont de nos jours beaucoup utilisés pour la création et la modification de modélisation d'éléments, ou permettre l'analyse de fonctions. Ces calculs sont parfois compliqués et nécessitent parfois beaucoup de travail. Pour nous aider, il nous est possible d'utiliser des machines qui peuvent réaliser ces calculs à notre place.

Pour cela, il nous faut construire des méthodes de calculs qui nous permettrons de réaliser ces calculs. Nous traiterons ici de 2 types de méthodes: les méthodes de quadratures de Gauss et les méthodes probabilistes.

Les méthodes de quadratures

Explication

Les méthodes de Quadrature de Gauss permet de remplacer le calcul d'une intégrale par la somme pondérée prise en certains points du domaine d'intégration.

Selon les fonctions qui sont entrées en paramètre, ainsi que le degré de précision que nous souhaitons obtenir, il existe différentes méthodes pour permettre les calculs d'intégrations.

Liste de différentes méthodes étudiée

Nous étudierons ici plusieurs méthodes:

- la méthode des rectangles
- la méthode du point du milieu
- la méthode des trapèzes
- la méthode de Simpson

Méthode des rectangles

La méthode des rectangle consiste à créer une suite d'intervalles régulier. Nous utiliserons le point le plus petit de chaque intervalle pour créer un rectangle de longueur f(minimum Intervalle) et de largeur la taille de l'intervalle. Selon les méthodes de quadratures, la somme de l'aire de tous ces carrés permet d'approximer la valeur de l'intégrale de la fonction f.

Méthode du point du milieu

La méthode du point du milieu consiste à créer une suite d'intervalles régulier. Nous utiliserons le point le plus petit de chaque intervalle pour créer un rectangle de longueur f((maximum Intervalle + minimum Intervalle)/2) et de largeur la taille de l'intervalle. Selon les méthodes de quadratures, la somme de l'aire de tous ces carrés permet d'approximer la valeur de l'intégrale de la fonction f.

Méthode des trapèzes

La méthode du point du milieu consiste à créer une suite d'intervalles régulier. Nous utiliserons le point le plus petit de chaque intervalle pour créer un trapèze dont l'une des longueur est égale à f((maximum Intervalle), l'autre côté égal à f(minimum Intervalle) et de hauteur la taille de l'intervalle. Selon les méthodes de quadratures, la somme de l'aire de tous ces trapèzes permet d'approximer la valeur de l'intégrale de la fonction f.

Méthode de Simpson

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Différence entre les méthodes

La plus grande différence entre toutes les méthodes est la précision des différentes méthodes atteintes avec un nombre d'intervalles donné.

Chacune de ces méthodes permet une précision différentes pour le calcul des intégrales: le nombre d'intervalle nécessaire pour obtenir un résultat de même précision est donc différent selon les méthodes.

Par exemple, la méthode de Simpson nécessitera un nombre d'intervalle plus petit que la méthode des rectangles pour que le résultat soit suffisamment précis.

Les programmes de calculs

Le programme général

Avant le calcul de notre intégrale, nous devons indiquer à notre fonction la taille des intervalles que nous allons calculer.

Pour cela, nous utilisons la bibliothèque numpy de Python, qui nous permet de créer des liste de nombres espacé d'une certaine valeur, toujours identique, et dépendant du nombre d'éléments dans la liste.

voici les lignes de codes qui permettent cela:

Le programme de calcul des différentes intégrales selon un nombre d'intervalle donné suit une procédure qui est toujours la même, malgré la méthode utilisée qui est différente.

Voici le programme de calcul après optimisation:

Cette procédure fonctionne ainsi:

- on calcule une liste contenant l'aire de tous les intervalles créé par une méthode donnée pour une fonction donnée - on additionne tous les éléments de cette liste - on renvoie le résultat de cette fonction

L'écriture des méthodes

Chacune des méthodes que nous souhaitons utiliser sont ensuite implémenté dans le code.

Voici une liste des différentes méthodes que nous avons pu réaliser:

Méthode de Simpson

Pour terminer, nous pouvons recréer les différentes fonctions utilisable telles que sinus, cosinus ou exponentielle.