Modélisation de la ruine du joueur

Modélisation de la ruine du joueur

Nous nous intéressons à l'étude des gains d'un joueur lors d'une soirée au casino, dans lequel le joueur joue à la roulette russe.

Le joueur commence avec une somme initiale comprise entre 0 et la somme souhaitée, le joueur s'arrête uniquement si :

  - il obtient la somme souhaitée 
  - le joueur est ruiné (la somme est égale à 0)

Pour cela le joueur va jouer à la roulette en misant à chaque fois 1 jeton qu'il peut doubler ou perdre.

Estimations numériques

Nous allons prendre pour base le document suivant : Ruine

Notre objectif est de trouver de :

- calculer la probabilité de victoire, soit d'atteindre la somme souhaitée, en partant de la somme de départ.
- calculer la durée de la partie, soit le joueur arrête de jouer, donc il atteint l'une des conditions d'arrêt.

On définit de manière générale p la probabilité de victoire d'une partie et q = (1-p)

Estimation de la probabilité de gagner

On veut trouver une formule qui permet de trouver la probabilité de victoire lors d'une soirée au casino selon les paramètres de départs, soit la somme de départ et la somme voulue et la probabilité de victoire.

On commence avec la loi de probabilité totale :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle P_k(A) = P_k(A|Y_1 = 1)P_k(Y_1 = 1) + P_k(A|Y_1 = -1)P_k(Y_1 = -1) = P_{k+1}(A)p + P_{k-1}(A)q }

Ce qui donne le système suivant :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \begin{cases} p_k = p \cdot p_{k+1} + q \cdot p_{k-1}, & \text{pour } 1 \leq k \leq a + b \\ p_0 = 0, \\ p_{a+b} = 1. \end{cases} }

On cherche l'équation quadratique :

On a l'équation :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p_k = p \cdot p_{k+1} + q \cdot p_{k-1} }

On remplace Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p_k } par Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x^{k} }  :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x^{k} = p \cdot x^{k+1} + q \cdot x^{k-1} }

On divise par Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x^{k-1} }  :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x = p \cdot x^{2} + q }

On résoult l'équation

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p \cdot x^{k+1} - x^{k} + q \cdot x^{k-1} = 0 }

Pour p = 1/2

Ca qui donne la solution unique : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x = 1 }

On en déduit les valeurs Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \alpha \text{ et } \beta }  : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \begin{cases} 0 = \alpha \\ 1 = \alpha + \beta \cdot (a+b) \\ \end{cases} \iff \begin{cases} \alpha = 0 \\ \beta = \frac{a}{a+b} \\ \end{cases} }

On a donc formule suivante : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p = \frac{a}{a+b} }

Pour les autres probabilités

Ce qui donne les solutions : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x_1 = 1 \text{ et } x_2 = \frac{q}{p} }

On a alors :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p_k = \alpha \cdot x_1^{k} + \beta \cdot x_2^{k} }
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \iff p_k = \alpha + \beta \cdot (\frac{q}{p})^{k} }

On en déduit les valeurs Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \alpha \text{ et } \beta }  : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \begin{cases} 0 = \alpha + \beta \\ 1 = \alpha + \beta \cdot (\frac{q}{p})^{k} \\ \end{cases} \iff \begin{cases} \alpha = - \beta \\ 1 = - \beta + \beta \cdot (\frac{q}{p})^{k} \\ \end{cases} \iff \begin{cases} \alpha = - \beta \\ 1 = \beta \left(-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b} \right) \\ \end{cases} \iff \begin{cases} \alpha = - \beta \\ \beta = \frac{1}{-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}} \\ \end{cases} }

On obtient : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \alpha = -\left(\frac{1}{-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}}\right) \text{ et } \beta = \frac{1}{-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}} }

D'où : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p_a = -\left(\frac{1}{-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}}\right) + \frac{\left( \frac{q}{p} \right)^{a}}{-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}} \iff p = \frac{\left( \frac{q}{p} \right)^{a} - 1}{\left( \frac{q}{p} \right)^{a+b} - 1} }

On a donc formule suivante : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p = \frac{\left( \frac{q}{p} \right)^{a} - 1}{\left( \frac{q}{p} \right)^{a+b} - 1} }

Estimation du temps moyen de jeu

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E_k(T) =E_k(T|Y_1 = 1)P(Y_1 = 1) + E_k(A|Y_1 = -1)P(Y_1 = -1) = (1 + E_{k+1}(T))p + (1 + E_{k-1}(T))q }

Ce qui donne l'équation :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \begin{cases} e_k = 1 + p \cdot e_{k+1} + q \cdot e_{k-1}, & \text{pour } 1 \leq k \leq a + b \\ e_0 = 0, \\ e_{a+b} = 0. \end{cases} }

On note, pour Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle k \geq 1 , d_k = e_k - e_{k-1} }

On a donc la relation de récurence : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle 0 = 1 + p \cdot d_{k+1} - q \cdot d_k }

Pour p = 1/2

On a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \frac{1}{2} \cdot d_{k+1} = \frac{1}{2} \cdot d_{k} - 1 }

donc, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle d_{k+1} = d_k - 2 }

d'où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle d_k = d_1 - 2 \left(k-1 \right) }

Alors pour Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n \geq 1 , e_n = \sum_{k=1}^{n} d_k = n \cdot d_1 - 2 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}k = n \cdot d_1 - 2 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = n(d_1 - (n - 1)) }

Or Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle e_{a+b} = 0 = (a+b)(d_1 + (a + b - 1)), \text{d'où } d_1 = a + b - 1 }

Donc Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E[T] = e_a = a(a + b - 1 - (a - 1)) = ab }

Pour les autres probabilités

On pose le réel l qui verifie Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle 0 = pl - ql } qui est donc Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle l = \frac{1}{q-p} }

La relation devient donc Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle 0 = p(d_{k+1} - l) - q(d_k - l) }

Par conséquent, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle d_{k+1} - l = \frac{q}{p}(d_k - l) , \text{et donc } d_k - l = \left( \frac{q}{p} \right) ^{k-1} (d_1 - l) }

Donc pour Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n \geq 1 } , on a :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle e_n = \sum_{k=1}^{n}d_k + e_0 = \sum_{k=1}^{n} \left( l + \left( \frac{q}{p} \right) ^{k-1} \cdot (d_1 - l) \right) = nl + (d_1 - l) \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\left( \frac{q}{p} \right) ^{k} = nl + (d_1 - l) \cdot \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right) ^{n}}{1 - \frac{q}{p}}}

Or Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle e_{a+b} = 0 = (a+b)l + (d_1 - l) \cdot \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right) ^{a+b}}{1 - \frac{q}{p}} \text{par conséquent :} \frac{d_1 - l}{1 - \frac{q}{p}} = -\frac{(a+b)l}{1 - \left( \frac{q}{p} \right) ^{a+b} }}

Donc Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E[T] = e_a = al - \left( 1 - \left( \frac{q}{p} \right)^{a} \right) \cdot \frac{(a+b)l}{1 - \left( \frac{q}{p} \right) ^{a+b}} = \frac{1}{q-p} \cdot \left( a - (a+b) \cdot \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right) ^{a} }{1 - \left( \frac{q}{p} \right) ^{a+b} } \right) = \frac{(a+b)p-a}{p-q} }

Simulation d'une partie

Afin de modéliser la ruine du joueur on peut utiliser ce programme python :

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