Modélisation de la ruine du joueur

Modélisation de la ruine du joueur

Nous nous intéressons à l'étude des gains d'un joueur lors d'une soirée au casino, dans lequel le joueur joue à la roulette russe.

Le joueur commence avec une somme initiale comprise entre 0 et la somme souhaitée, le joueur s'arrête uniquement si :

  - il obtient la somme souhaitée 
  - le joueur est ruiné (la somme est égale à 0)

Pour cela le joueur va jouer à la roulette en misant à chaque fois 1 jeton qu'il peut doubler ou perdre.

Estimations numériques

Nous allons prendre pour base le document suivant : Ruine

Notre objectif est de trouver de :

- calculer la probabilité de victoire, soit d'atteindre la somme souhaitée, en partant de la somme de départ.
- calculer la durée de la partie, soit le joueur arrête de jouer, donc il atteint l'une des conditions d'arrêt.

On définit de manière générale p la probabilité de victoire d'une partie et q = (1-p)

Estimation de la probabilité de gagner

On veut trouver une formule qui permet de trouver la probabilité de victoire lors d'une soirée au casino selon les paramètres de départs, soit la somme de départ et la somme voulue et la probabilité de victoire.

On commence avec la loi de probabilité totale :

$P_{k}(A)=P_{k}(A|Y_{1}=1)P_{k}(Y_{1}=1)+P_{k}(A|Y_{1}=-1)P_{k}(Y_{1}=-1)=P_{k+1}(A)p+P_{k-1}(A)q$

Ce qui donne le système suivant :

${\begin{cases}p_{k}=p\cdot p_{k+1}+q\cdot p_{k-1},&{\text{pour }}1\leq k\leq a+b\\p_{0}=0,\\p_{a+b}=1.\end{cases}}$

On cherche l'équation quadratique :

On a l'équation :
$p_{k}=p\cdot p_{k+1}+q\cdot p_{k-1}$

On remplace $p_{k}$ par $x^{k}$ :
$x^{k}=p\cdot x^{k+1}+q\cdot x^{k-1}$

On divise par $x^{k-1}$ :
$x=p\cdot x^{2}+q$

On résoult l'équation

$p\cdot x^{k+1}-x^{k}+q\cdot x^{k-1}=0$

Pour p = 1/2

Ca qui donne la solution unique : $x=1$

On en déduit les valeurs $\alpha {\text{ et }}\beta$ : ${\begin{cases}0=\alpha \\1=\alpha +\beta \cdot (a+b)\\\end{cases}}\iff {\begin{cases}\alpha =0\\\beta ={\frac {a}{a+b}}\\\end{cases}}$

On a donc formule suivante : $p={\frac {a}{a+b}}$

Pour les autres probabilités

Ce qui donne les solutions : $x_{1}=1{\text{ et }}x_{2}={\frac {q}{p}}$

On a alors :

$p_{k}=\alpha \cdot x_{1}^{k}+\beta \cdot x_{2}^{k}$
$\iff p_{k}=\alpha +\beta \cdot ({\frac {q}{p}})^{k}$

On en déduit les valeurs $\alpha {\text{ et }}\beta$ : ${\begin{cases}0=\alpha +\beta \\1=\alpha +\beta \cdot ({\frac {q}{p}})^{k}\\\end{cases}}\iff {\begin{cases}\alpha =-\beta \\1=-\beta +\beta \cdot ({\frac {q}{p}})^{k}\\\end{cases}}\iff {\begin{cases}\alpha =-\beta \\1=\beta \left(-1+\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}\right)\\\end{cases}}\iff {\begin{cases}\alpha =-\beta \\\beta ={\frac {1}{-1+\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}}}\\\end{cases}}$

On obtient : $\alpha =-\left({\frac {1}{-1+\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}}}\right){\text{ et }}\beta ={\frac {1}{-1+\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}}}$

D'où : $p_{a}=-\left({\frac {1}{-1+\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}}}\right)+{\frac {\left({\frac {q}{p}}\right)^{a}}{-1+\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}}}\iff p={\frac {\left({\frac {q}{p}}\right)^{a}-1}{\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}-1}}$

On a donc formule suivante : $p={\frac {\left({\frac {q}{p}}\right)^{a}-1}{\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}-1}}$

Estimation du temps moyen de jeu

$E_{k}(T)=E_{k}(T|Y_{1}=1)P(Y_{1}=1)+E_{k}(A|Y_{1}=-1)P(Y_{1}=-1)=(1+E_{k+1}(T))p+(1+E_{k-1}(T))q$

Ce qui donne l'équation :

${\begin{cases}e_{k}=1+p\cdot e_{k+1}+q\cdot e_{k-1},&{\text{pour }}1\leq k\leq a+b\\e_{0}=0,\\e_{a+b}=0.\end{cases}}$

On note, pour $k\geq 1,d_{k}=e_{k}-e_{k-1}$

On a donc la relation de récurence : $0=1+p\cdot d_{k+1}-q\cdot d_{k}$

Pour p = 1/2

On a ${\frac {1}{2}}\cdot d_{k+1}={\frac {1}{2}}\cdot d_{k}-1$

donc, $d_{k+1}=d_{k}-2$

d'où $d_{k}=d_{1}-2\left(k-1\right)$

Alors pour $n\geq 1,e_{n}=\sum _{k=1}^{n}d_{k}=n\cdot d_{1}-2\cdot \sum _{k=0}^{n-1}k=n\cdot d_{1}-2\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}=n(d_{1}-(n-1))$

Or $e_{a+b}=0=(a+b)(d_{1}+(a+b-1)),{\text{d'où }}d_{1}=a+b-1$

Donc $E[T]=e_{a}=a(a+b-1-(a-1))=ab$

Pour les autres probabilités

On pose le réel l qui verifie $0=pl-ql$ qui est donc $l={\frac {1}{q-p}}$

La relation devient donc $0=p(d_{k+1}-l)-q(d_{k}-l)$

Par conséquent, $d_{k+1}-l={\frac {q}{p}}(d_{k}-l),{\text{et donc }}d_{k}-l=\left({\frac {q}{p}}\right)^{k-1}(d_{1}-l)$

Donc pour $n\geq 1$, on a :

$e_{n}=\sum _{k=1}^{n}d_{k}+e_{0}=\sum _{k=1}^{n}\left(l+\left({\frac {q}{p}}\right)^{k-1}\cdot (d_{1}-l)\right)=nl+(d_{1}-l)\cdot \sum _{k=0}^{n-1}\left({\frac {q}{p}}\right)^{k}=nl+(d_{1}-l)\cdot {\frac {1-\left({\frac {q}{p}}\right)^{n}}{1-{\frac {q}{p}}}}$

Or $e_{a+b}=0=(a+b)l+(d_{1}-l)\cdot {\frac {1-\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}}{1-{\frac {q}{p}}}}{\text{par conséquent :}}{\frac {d_{1}-l}{1-{\frac {q}{p}}}}=-{\frac {(a+b)l}{1-\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}}}$

Donc $E[T]=e_{a}=al-\left(1-\left({\frac {q}{p}}\right)^{a}\right)\cdot {\frac {(a+b)l}{1-\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}}}={\frac {1}{q-p}}\cdot \left(a-(a+b)\cdot {\frac {1-\left({\frac {q}{p}}\right)^{a}}{1-\left({\frac {q}{p}}\right)^{a+b}}}\right)={\frac {(a+b)p-a}{p-q}}$

Simulation d'une partie

Afin de modéliser la ruine du joueur on peut utiliser ce programme python :

On commence par initialiser nos valeurs que l'on va utiliser :

from random import random
from matplotlib import pyplot as plt 

PROBABILITE = (18/37) #18/37 Pour la roulette
SOMME_DEPART = 10
GAIN_FIN = 5

#Faire varier Nombre de Parties 

NOMBRE_PARTIES = 1000

On commence par simuler une soirée au casino :

def simule_soiree(initial:int = SOMME_DEPART, fin:int= GAIN_FIN, prob:int= PROBABILITE) -> tuple:
    """ Simule une soirée au casino """
    
    tab = [initial]
    somme = initial 
    
    while somme > 0 and somme < initial + fin:
        aleatoire = random()
        if aleatoire <= prob:
            somme += 1
        else:
            somme -= 1
        tab = tab + [somme]
        
    if somme == initial + fin:
        res = True
    else:
        res = False
        
    return (tab, res)

On peut afficher le résultat d'une soirée :

 

# Permet d'afficher une partie jouée.

def affiche_graphe() -> None:
    """ Affiche le graphe d'une soirée au casino """

    y = simule_soiree()[0]
    x = [[i] for i in range(len(y))]
    plt.title("Graphe d'une soirée au casino") 
    plt.xlabel("Instant I") 
    plt.ylabel("Somme instant I") 
    plt.plot(x,y) 
    plt.show()
    
affiche_graphe()

On peut implémenter nos estimations numériques :

 

R = (1-PROBABILITE) / (PROBABILITE)

def calcule_proba_victoire_theorique() -> float:
    """Renvoie la probabilité de victoire théorique"""
    
    if PROBABILITE == 0.5:
        res = (SOMME_DEPART) / (SOMME_DEPART + GAIN_FIN)
        
    else:
        numerateur = R**(SOMME_DEPART) - 1
        denumerateur = (R**(SOMME_DEPART + GAIN_FIN) - 1)
        res = numerateur / denumerateur
    
    return res

def calcule_duree_partie_theorique() -> float:
    """Renvoie la durée theorique d'une partie"""
    
    if PROBABILITE == 0.5:
        res = SOMME_DEPART * GAIN_FIN
        
    else:
        numerateur = (SOMME_DEPART + GAIN_FIN) * (1 - R**SOMME_DEPART)
        denumerateur = 1 - R**(SOMME_DEPART + GAIN_FIN)
        
        res = (1 / (2 * PROBABILITE - 1)) * ((numerateur / denumerateur) - SOMME_DEPART)
    
    return res

On va utiliser la méthode de comptage pour observer nos simulations :

def calcule_nombre_victoire(tab_parties = SIMULATION_N_SOIREE) -> int:
    """ Renvoie le nombre de victoires dans les soirées simulées"""
    compteur = 0
    
    for res_partie in tab_parties:
        if res_partie[1] == True:
            compteur = compteur + 1
    
    return compteur

def calcule_proba_victoire(tab_parties = SIMULATION_N_SOIREE) -> float:
    """Renvoie la probabilité de victoire sur M soirées"""
    
    nb_victoires = calcule_nombre_victoire(tab_parties)
    res = nb_victoires/len(tab_parties)
    
    return res


def calcule_duree_moyenne():
    """ Renvoie la durée moyenne sur M soirées simulées"""
    somme = 0
    for partie in SIMULATION_N_SOIREE:
        duree_partie = len(partie[0])
        somme += duree_partie
    res = somme / NOMBRE_PARTIES
    return res

On peut maintenant comparer nos résultats :

 

Voici les valeurs theoriques : 

   La probabilité de victoire : 0.5812626435530369
   La probabilité de defaite : 0.4187373564469631
   Durée partie moyenne theorique : 1334.2610407391421

Voici les valeurs avec nos resultats : 

   La probabilité de victoire : 0.592
   La probabilité de defaite : 0.408
   Durée partie moyenne : 1358.222