VISI201 CMI : visite de laboratoire

• Cours du semestre 2 du parcours CMI Informatique (licence INFO).

• Responsable pour 2023--2024: Jacques-Olivier Lachaud
• Responsable 2016--2023 : Jacques-Olivier Lachaud

Descriptif

L'objectif du module est de faire découvrir les laboratoires, le monde de la recherche et les enseignants-chercheurs et chercheurs, ainsi que la réflexion scientifique. Cela se fait de deux manières.

D'abord, une partie de ce module consiste à assister à des séminaires dédiés aux étudiants CMI Informatique et Mathématique (environ 5 par an). [Planning séminaires CMI]

Ces séminaires "grand public" portent sur des sujets variées en informatique et mathématiques.

Les étudiants choisissent ensuite d'approfondir un sujet proposé par les enseignants, ou un sujet motivé de leur choix (en accord avec le responsable du module). Ce travail se fait en interaction avec un tuteur académique (5-6 contacts au moins). Ce travail personnel tuteuré donne lieu à la rédaction d'une synthèse sur le sujet sous forme d'une page wiki/web, ainsi que d'un mini-exposé, et du code si le sujet s'y prête.

Sujets proposés (2024-2025)

Algorithmes de couplages parfaits et de mariages stables

Tuteur : Valentin Gledel

Résumé : Un graphe est un ensemble de sommets et un ensemble d’arêtes sur ces sommets. Un couplage dans un graphe est un ensemble d'arêtes C, tels que toute paire d'arête de C n'a aucun sommet en commun. Un couplage est dit parfait s'il touche tous les sommets du graphe.

Un graphe	Un couplage dans ce graphe	Un couplage parfait dans ce graphe

Les algorithmes d'Edmonds et de Hopcroft-Karp sont des algorithmes de recherche de couplage dans des graphes.

Si le graphe que dans lequel on cherche un couplage correspond à un graphe d'affectation avec des préférences, on se retrouve dans le cas du problème des mariages stables. C'est par exemple le cas de l'affectation des places dans l'enseignement supérieur où il faut affecter des étudiants dans les différents établissements de tels sorte à respecter les choix des étudiants et des établissements. L'algorithme de Gale et Shapley permet de résoudre efficacement ce problème.

Dans ce sujet, il est proposé de ce pencher sur ces différents problèmes et d'implémenter les algorithmes de résolutions présentés.

Objectifs :

1. comprendre le problème du mariage stable,
2. implémenter les algorithmes de Gale-Shapley,
3.  implémenter les algorithmes de Hopcroft-Karp,
4. comprendre la preuve de correction de l'algorithme de Hopcroft-Karp,
5. implémenter l'algorithme d'Edmonds.
6. éventuellement implémenter d'autres algorithmes liés aux couplages parfaits comme l'algorithme hongrois ou l'algorithme de Christofides.

Stéganographie "BPC"

Tuteur : Pierre Hyvernat

Résumé : la stéganographie consiste à dissimuler de l'information dans un message d'apparence anodine. On peut par exemple modifier légèrement les couleurs des pixels d'une image, on l'intensité des sons d'une fichier sonore de manière imperceptible par un humain. Les destinataires peuvent alors récupérer cette information caché en appliquant la méthode inverse.

La méthode la plus simple consiste à utiliser le bit de poids faible des couleurs RVB de chaque pixel d'une image. La différence visuelle est tellement petite qu'on ne peut pas la distinguer à l’œil nu. Par exemple, les deux couleurs suivantes sont différentes uniquement sur les bits de poids faible des composantes RVB.

#237fd1	#227ed0

Pour augmenter la quantité de données que l'on peut dissimuler, on peut utiliser les 2 bits de poids faible, ou les 3 bits de poids faible, etc. Plus on utilise de bits, plus les distorsions dans l'image deviennent visibles. Une manière plus intelligente est de ne remplacer des bits que dans les endroits "bruités" de l'image. Les distorsions deviennent alors plus difficiles à distinguer. C'est la stéganographie "complexité des plans de bits" (BPCS = "Bit Plane Complexity Steganography").

Dans l'exemple suivant, l'intégralité des 9605 lignes / 37860 mots / 239347 octets (avant compression) de la pièce "Cyrano de Bergerac" est dissimulée dans l'image de gauche.

image originale (320x240 pixels)	stéganographie LSB (avec les 3 bits de poids faible)	stéganographie BPC (paramètres 0,10,20,30,999,999,999,999)

Si vous regardez attentivement, les pixels du ciel ou de la surface de l'eau sont nettement plus modifiés dans l'image centrale que dans l'image de droite.

Objectifs :

1. implémenter (par exemple en Python) la stéganographie par bits de poids faible sur des images,
2. comprendre et implémenter la stéganographie par plans de complexité,
3. comparer les 2 approches sur des exemples
4. si le temps le permet, regarder les technique de "stéganalyse" qui permettent de détecter la présence d'informations dissimulées dans une image.

Référence :

1. Principle and applications of BPCS-Steganography
2. High capacity data hiding system using BPCS steganography

"tableau des suffixes" et transformée de Burrows-Wheeler

Tuteur : Pierre Hyvernat

Résumé : Le tableau des suffixes est une structure de données qui permet de répondre très rapidement à des requêtes du style "est-ce que la chaine p apparait dans la chaine S ?" La chaine p pourrait être une "petite" chaine de quelques milliers de caractères, alors que la chaine S pourrait être une "grosse" chaine de plusieurs milliard de caractères. Les biologistes utilisent des requêtes de ce genre lorsqu'ils recherchent des motifs p dans l'ADN S. Lorsque S ne change pas, l'arbre des suffixes permet de répondre à la requête précédente avec un nombre d'opérations beaucoup plus faible que la recherche naïve qui devrait regarder tous les caractères de S !

Cette structure de données est également reliée à la transformée de Burrows-Wheeler, à la base de l'algorithme de compression bzip.

Objectifs :

1. Le calcul naïf du tableau des suffixes se fait en quelques lignes de Python. Le premier objectif sera d'utiliser cette version pour expérimenter avec les algorithmes de recherche simples sur le tableaux des suffixes, et de comparer les temps d'exécution avec ceux des algorithmes standard.
2. Transformer un tableau de suffixes en transformée de Burrows-Wheeler est également l'affaire de quelques lignes de Python. Le second objectif sera donc de coder les quelques fonctionnalités manquantes pour compresser, et décompresser des chaines de caractères ; et de comparer ceci avec d'autres algorithmes existants.
3. le tableau des suffixes est plus petit que l'arbre des suffixes (variante un peu plus rapide, mais plus complexe), et la transformée de Burrows-Wheeler est encore plus petite. L'idée serait de comprendre d'où viennent ces différences et comment passer d'une structure à l'autre, et comment les améliorer.
4. ...

Référence :

1. les liens wikipédia (plutôt en anglais) cités ci dessus sont un bon début
2. Introduction to the Burrows-Wheeler Transform and FM Index
3. les vidéos de Ben Langmead sur le sujet
4. Dan Gusfield, Algorithms on Strings, Trees and Sequences

le problème du collectionneur

Tutrice : Céline Labart

Résumé : un collectionneur cherche à avoir toutes les vignettes d’une série représentant des joueurs de foot. Chaque vignette représente un joueur, il y a en tout N joueurs. Pour avoir une vignette, on doit acheter un paquet de céréales. Chaque paquet de céréales contient une vignette choisie de manière uniforme et indépendante au hasard parmi ces N possibilités. Combien faudra t il en moyenne acheter de paquets de céréales afin d'obtenir toute la série des N joueurs de foot?

Objectif :

1. Ecrire un programme qui simule l'expérience
2. en déduire une approximation le nombre moyen de paquets de céréales à acheter
3. Résoudre le problème théoriquement

Références : https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_du_collectionneur_de_vignettes

Archive des sujets réalisés

Projets 2023-2024

• Calcul approché de l'élément majoritaire, et autres algorithmes approchés par Teva PHILIPPE (tuteur: Pierre HYVERNAT)
• Surfaces polygonales et surfaces de subdivision par Vetea STOLL (tuteur: Jacques-Olivier LACHAUD)
• Calcul des valeurs de Grundy pour des jeux octaux par Mathieu BRUNOT (tuteur: Valentin GLEDEL)
• Cryptanalyse informatique de quelques systèmes de chiffrement "historiques" par Gabriel ESAT (tuteur: Pierre HYVERNAT)
• Implémentation d'une IA pour le jeu Puissance 4 à l'aide de l'algorithme alpha-beta par Chloé FAUCON (tuteur: Valentin GLEDEL)
• Modélisation de la ruine du joueur par Albert KULAS (tuteur: Céline LABART)
• Calibration de caméra et reconstruction 3D par Noah CUNEO (tuteur: Stéphane BREUILS)

Projets 2022-2023

• Programmation du robot NAO par Ronan MCMANUS (Tuteur : Christophe CARMAGNAC)
• Vision en relief, anaglyphes et auto-stéréogrammes à partir d'images RGB+profondeur par Lilian CUSUMANO (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)
• Tables de hachage et dictionnaires par Morgane FAREZ (Tuteur : Pierre HYVERNAT)
• Réductions de problèmes par Solène BELISSARD (Tuteur : Pierre HYVERNAT)
• Détection d’anomalies en « temps réel » via la plateforme de streaming d’évènements Kafka par Franz-Maximilien CERON (Tuteur : David TELISSON)
• Recherche de chemin en temps réel par A* par Cassandre KANT-ALIAGAS (Tuteur : Lucas CHARDONNET)
• Rendu rapide de scènes 3D par Cassiopée GOSSIN (Tuteur : Colin WEILL-DUFLOS)
• Détection de droites dans les images avec la transformée de Hough par Elliott MOIROUD (Tuteur : Stéphane BREUILS)
• Stratégies mixtes et programmation linéaire par Ilirian REXHEPI (Tuteur : Sébastien TAVENAS)
• Géométrie discrète, Convexité des polyominos, Combinatoire des mots par Lukas REY (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)

Projets 2021-2022

• Détection d’anomalies par Isolation Forest : application pour l’industrie 4.0 par Mila DESMET (Tuteur : David TELISSON)
• Machines de Turing par Emeline CHOLLET (Tuteur : François BOUSSION)
• Géométrie discrète, Convexité des polyominos, Combinatoire des mots par Joris DUBOIS (Tuteur: Jacques-Olivier LACHAUD)
• Origami, axiomes de Huzita/Justin et ReferenceFinder par Mathys AUBERT (Tuteur : Pierre HYVERNAT)
• Les "claviers" par Amélie HACQUE (Tuteur : Pierre HYVERNAT)
• Fractales de Newton et sensibilité aux conditions initiales par Paul SCHULTZ (Tuteur: Jacques-Olivier LACHAUD)
• Approximation numérique de calculs intégraux par Enzo MAUTI (Tuteur : Dionysos GRAPSAS)
• Instant Insanity par Numa Ciribino (Tuteur : Sébastien TAVENAS)
• Automates cellulaires par Mattéo LUQUE (Tuteur : Gérald CAVALLINI et Jacques-Olivier LACHAUD)
• Simulation de fluides par Maxime ROUSSEAU (Tuteur : Colin WEILL-DUFLOS)

Projets 2020-2021

• Transformée en distance discrète, diagramme de Voronoi discret, axe médian et squelette par Maxent BERNIER (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)
• Clustering par K-means, segmentation d'image par Paul AUBRY (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)
• Base de données orientées Graphe, similarité et modèles prédictifs par Luca Policastro (Tuteur : Gérald Cavallini)
• Ensemble de Mandelbrot et autres fractales par Andrien MONTMAYEUR (Tuteur : Pierre Hyvernat)
• Complexité pratique contre complexité théorique
• Etude du protocole gRPC par Alexandre Desbos (Tuteur : David Télisson)
• Valeurs de Sprague-Grundy pour le jeu de Wythoff par Nolann SANMARTI (Tuteur : Sébastien Tavenas)
• Modélisation de réseaux sociaux, base de données orientées graphe par Baptiste Griva (Tuteur : Gerald Cavallini)
• Modélisation de la ruine du joueur par Emilien Boitouzet (Tuteur : Céline Labart)

Projets 2019-2020

• Compression et transformée de Burrow-Wheeler par Simon LEONARD (Tuteur : Pierre HYVERNAT)
• Backtracking par Simon PICHENOT (Tuteur : Pierre HYVERNAT)
• Transfert de couleur (version 2) par Florian DUFAURE (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)
• Génération fractale de terrains par Hugo REY (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)
• Architectures Orientées Micro-Services par Romain NEGRO (David TELISSON)
• Apprentissage automatique par Evan L'HUISSIER (Tuteur : Tom HIRSCHOWITZ)
• Algorithmes probabilistes/déterministes pour tester la primalité d'un entier par Juliette NEYRAT (Tuteur : Sébastien TAVENAS)
• Base de données orientées Graphe et similarité par Romain PAJEAN (Gérald CAVALLINI)
• Modèles d'évolution de populations par Théo GUESDON (Tuteur : Jimmy GARNIER)

Projets 2018-2019

• Transport optimal par coupe 1D et transfert de couleurs entre images par Lucas CHARDONNET (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)
• Génération et résolution de labyrinthes II par Romain THEODET (Tuteur : François BOUSSION)
• Rest & Pub-Sub : protocole hybride pour l'IoT par Ewan RAKOTOANOSY (Tuteur : David TELISSON)
• La suite de Conway et la classification périodique des "éléments" par Yohann THEPAUT (Tuteur : Pierre HYVERNAT)
• Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel par Loïc DORNET (Tuteur : Tom HIRSCHOWITZ)
• Dilemme du prisonnier par Christophe CARMAGNAC (Tuteur : Gérald CAVALLINI)

Projets 2017-2018

• VISI201 Analyse syntaxique (Tristan Porteries, 2018) par Tristan PORTERIES (Tuteur : Pierre HYVERNAT)
• Segmentation d'image par détection de contours et algorithme "ligne de partage des eaux" par Nils RUET (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)
• Fouille de données textuelles à partir des "Exercices de style" de R. Queneau par Rémi BOUVIER (Tuteur : Laurent VUILLON)
• Transformées en distance, diagramme de Voronoi et applications en geometry processing par Robin WAGNER (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)
• Pavages de Penrose par Brunelle CORDIER-PIERRE-BES (Tuteur : Pierre HYVERNAT)

Projets 2016-2017

• Algorithme de rendu de scène 3D par Z-buffer par Raphaël TOURNAFOND (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)
• Traitement d'image par Ambroise DECOUTTERE (Tuteur : Jacques-Olivier LACHAUD)
• Nim et la théorie des jeux impartiaux par Luca CHAPELLE (Tuteur : Pierre HYVERNAT)
• Calculabilité et modèles de calcul par Thibaut CHAMINADE (Tuteur : Rodolphe LEPIGRE)
• Génération et résolution de labyrinthes par Candice ROBERT (Tuteur : Xavier PROVENCAL)

Archive des projets proposés

Sujets proposés 2023-2024

Calcul approché de l'élément majoritaire, et autres algorithmes approchés

Tuteur : Pierre Hyvernat

Résumé : en informatique, il est parfois préférable d'accepter un résultat "pas complètement correct", si cela permet d'être plus rapide. Un des premiers problèmes de ce genre est le problème du voyageur de commerce : aucune méthode efficace pour calculer le meilleur trajet n'est connue, mais sous certaines conditions, il existe une méthode efficace qui donne un résultat "pas trop éloigné de l'optimum".

Un autre exemple est celui de la recherche de l'élément majoritaire : c'est l'élément qui apparait le plus souvent dans une liste. Ici, il est facile d'écrire une fonction qui le calcule exactement, mais dans le cas du "big data" qui évolue constamment, la méthode naïve prend trop de temps, et trop de mémoire. En 2005, A. Metwally, D. Agrawal et A. El Abbadi on décrit une méthode approchée pour ce problème. Le programme correspondant est beaucoup plus rapide que la méthode naïve et n'a besoin que d'une quantité de mémoire bornée. Le résultat n'est pas toujours le bon, mais l'erreur faite est connue.

Ce qui est surprenant dans cette méthode est qu'elle semble fausse à première lecture !

Objectifs : comprendre la méthode générale en lisant l'article de A. Metwally, D. Agrawal et A. El Abbadi, et l'implémenter en Python (ou un autre langage). Pour valider la méthode, il serait intéressant de voir si cette méthode approchée peut être plus rapide qu'un générateur aléatoire adéquat de valeurs sur lequel on la brancherait.

Référence : Ahmed Metwally, Divyakant Agrawal et Amr El Abbadi, Efficient Computation of Frequent and Top-k Elements in Data Streams, https://www.cse.ust.hk/~raywong/comp5331/References/EfficientComputationOfFrequentAndTop-kElementsInDataStreams.pdf

Surfaces polygonales et surfaces de subdivision

Tuteur : Jacques-Olivier Lachaud

Résumé : Les surfaces polygonales, et notamment les surfaces triangulées ou quadrangulées, sont la brique de base des modèles géométriques 3D, utilisés par exemple dans tous les jeux vidéos 3D, les effets spéciaux pour les films, ou la conception et fabrication assistée par ordinateur. Parfois ces surfaces ont une géométrie un peu trop facettée. Les processus de subdivision de surface permettent de raffiner progressivement une surface polygonale (en subdivisant les faces et en replaçant les sommets) de manière à obtenir une surface de plus en plus lisse. D'ailleurs on peut montrer que la surface limite est bien est une surface lisse.

Surface polygonale	1 subdivision	2 subdivisions	3 subdivisions	4 subdivisions

Objectifs : Il s'agira de comprendre comment représenter une surface polygonale en mémoire (pour l'affichage on utilisera polyscope, une bibliothèque python), comment charger une surface à partir d'un format simple (wavefront OBJ). Ensuite on étudiera plus particulièrement les surfaces de subdivision dite Catmull-Clark, que l'on implémentera.

Référence :

• Catmull-Clark subdivision
• On utilisera Polyscope pour visualiser les surfaces en 3D avec python.
• Un tutorial pour créer/charger les surfaces polygonales en python et polyscope.
• Blender un logiciel open-source pour créer des modèles 3D et calculer des rendus par lancer de rayons.

Calcul des valeurs de Grundy pour des jeux octaux

Tuteur : Valentin Gledel

Résumé : Les jeux combinatoires impartiaux sont des jeux à deux joueurs, à informations parfaites (pas de hasard ni d'information cachée) et dans lesquels dans chaque position les joueurs disposent toujours du même ensemble de coups l'un que l'autre. Par exemple les échecs ne rentrent pas dans cette catégorie car si c'est aux blancs de jouer, ils ne peuvent bouger que les pièces blanches tandis que si c'est au noirs de jouer, ils ne peuvent jouer que les pièces noires. Les ensembles de coups possibles ne sont pas les mêmes. Dans l'étude de ces jeux, la question qu'on se pose est de savoir quel joueur gagnerait si les deux joueurs jouaient parfaitement. Un outil pratique dans la résolution de cette question est la notion de valeur de Grundy d'un jeu. En effet, si on connait la valeur de Grundy d'un jeu J1 et d'un jeu J2 alors on sait quel joueur gagne si on joue en même temps sur J1 et sur J2. Les jeux octaux forment une sous-classe des jeux combinatoires impartiaux qui contient des jeux proches du célèbre jeu de Nim et, en particulier, le "jeu de Fort Boyard" fait partie de cette catégorie. Dans ce sujet on se propose de calculer la valeur de Grundy pour des jeux octaux.

Objectifs : Comprendre ce qu'est la valeur de Grundy d'un jeu et calculer la valeur de Grundy de plusieurs jeux octaux. On pourra ensuite écrire un programme générique qui trouve la valeur de Grundy de jeux octaux sous forme générique, voire même prouver la périodicité des valeurs de Grundy de certains jeux.

Références :

• https://fr.wikipedia.org/wiki/Jeu_octal
• https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Sprague-Grundy

Cryptanalyse informatique de quelques systèmes de chiffrement "historiques"

Tuteur : Pierre Hyvernat

Résumé : pendant longtemps, "craquer" les systèmes de chiffrement ("codes secrets") se faisait essentiellement à la main, et les outils informatiques ont rendu la plupart des systèmes historiques obsolète. Pourtant, sauf dans quelques cas particuliers, l'ordinateur ne peut pas casser un code simplement en testant toutes les possibilités. Il faut trouver une méthode plus efficace.

L'objectif sera d'étudier et d'implémenter quelques uns de ces systèmes simples :

• chiffrement,
• déchiffrement,
• décryptage (càd déchiffrement sans utiliser la clé secrète).

Les systèmes de chiffrement considérés seront

• substitutions monoalphabétiques, décryptées en utilisant la méthode "aléatoire" du "hill-climbing",
• le "straddling checkerboard", décrypté par recherche exhaustive sur les positions des "blancs" dans la clé, et en le transformant en substitutions monoalphabétique,
• le code de Hill, décrypté en utilisant un mot probable, ou la conjonction d'une recherche exhaustive sur les lignes de la clé suivie des tests exhaustifs de toutes leurs permutations.

Suivant le temps et l'intérêt, on pourra soit regarder d'autres systèmes de chiffrement, soit essayer d'améliorer l'analyse du chiffre de Hill en combinant la seconde méthode avec la méthode du Hill-climbing.

Références :

• Parties 1 et 2 d'un TP de cryptographie

Implémentation d'une IA pour le jeu Puissance 4 à l'aide de l'algorithme alpha-beta

Tuteur : Valentin Gledel

Résumé : Le jeu Puissance 4 est un jeu bien connu dans lequel deux joueurs placent alternativement des jetons dans une grille 7 par 6. Le premier joueur qui réussit à aligner 4 jetons gagne la partie. La simplicité des règles du jeu et le nombre restreint de coups possibles à chaque moment de la partie font de ce jeu un bon candidat pour implémenter les algorithmes de jeux minimax et alpha-beta. Ces algorithmes effectuent une recherche jusqu'à une certaine profondeur dans l'arbre des coups possibles. Ils évaluent ensuite les positions à la profondeur choisie à partir d'une "mesure" choisie par le programmeur. Puis, ils choisissent un coup à jouer en fonction de la position donnant le meilleur résultat.

Objectif : Implémenter le jeu Puissance 4, trouver des mesures pour évaluer des positions de ce jeu, implémenter l'algorithme minimax et l'algorithme alpha-beta, comparer les résultats de ces algorithmes.

Références :

• https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_minimax
• https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89lagage_alpha-b%C3%AAta

Modélisation de la ruine du joueur

Tuteur : Céline Labart

Résumé : Nous nous intéressons à l'étude des gains d'un joueur à la roulette. Celui-ci arrive au casino avec une certaine somme en poche et joue à la roulette tant qu'il n'est pas ruiné ni que ses gains atteignent une somme qu'il s'est fixée. A chaque fois qu'il joue, le joueur gagne ou perd un euro avec une certaine probabilité.

Objectifs :

• Simulation d'une partie
• Calcul de la probabilité de gagner
• Calcul du temps moyen de jeu
• Estimation numérique de ces deux quantités à l'aide de la loi des grands nombres

Références :

• Lien pour commencer : Modélisation aléatoire

Planarité de graphes

Tuteur : Sébastien Tavenas

Résumé : Un graphe est dit planaire si on peut le "dessiner" dans le plan de façon à ce que les arêtes ne se croisent pas. Donné un graphe, est-il facile de tester s’il est planaire ? Pour commencer, il est facile de certifier qu’un graphe est planaire en donnant le "dessin" du graphe dans le plan. Mais comment montrer qu’un graphe n’est pas planaire ? Kuratowski a montré qu’un graphe n’est pas planaire si et seulement si il contient un mineur (ie, un sous-graphe) qui est K5 (le graphe complet avec 5 sommets) ou K3,3 (le graphe biparti complet avec chaque partie ayant 3 sommets). Ainsi, pour montrer qu’un graphe n’est pas planaire, il suffit de montrer une subdivision qui est K5 ou K3,3. Il semble alors possible de trouver un algorithme qui donné un graphe, soit retourne un "dessin" du graphe planaire dans le plan, soit trouve une subdivision K5 ou K3,3 garantissant que le graphe n’est pas planaire.

Objectif : Comprendre la notion de graphe planaire et le théorème de Kuratowski. Coder un programme de détection de planarité (plusieurs algorithmes linéaires existent pour ce problème).

Référence :

• Wikipédia - Graphe planaire

Calibration de caméra et reconstruction 3D

Tuteur : Stéphane Breuils

Résumé : Nous explorons dans ce projet la calibration de caméras à partir d’un ensemble de points de correspondance et son utilisation pour reconstruire des objets en 3D. L'idée est de pouvoir dimensionner précisément des éléments photographiés.

Objectifs :

• Comprendre la modélisation d'une caméra (paramètres intrinsèques, extrinsèques)
• Etudier des méthodes de rectification épipôlaires consistant à transformer des images avec des homographies.
• Effectuer des calibrations de caméras et discuter des méthodes d'estimation de la profondeur.

Références :

• La bibliothèque OpenCV : https://docs.opencv.org/4.9.0/
• Tutoriel calibration : https://docs.opencv.org/4.x/d9/db7/tutorial_py_table_of_contents_calib3d.html
• Hartley, R., & Zisserman, A. (2003). Multiple view geometry in computer vision. Cambridge university press.

Sujets proposés 2022-2023

• Programmation du robot Nao
• Vision en relief, anaglyphes à partir d'images RGB+profondeur
• Vision en relief, auto-stéréogrammes à partir d'une image de profondeur
• Tables de hachage et dictionnaires
• Réductions de problèmes
• Détection d’anomalies en « temps réel » via la plateforme de streaming d’évènements Kafka
• Recherche de chemin en temps réel par A*
• Rendu rapide de scènes 3D
• Détection de droites dans les images avec la transformée de Hough
• Stratégies mixtes et programmation linéaire

Programmation du robot Nao

• Tuteur : Christophe Carmagnac
• Résumé : Nao est un robot programmable. Il dispose d'une API qui permet de le controler à distance. Il possède divers capteurs qui remontent des données en temps réel. Nao est donc une base intéressante pour faire des projets axés sur la robotique sans avoir à se soucier des contraintes électroniques. Dans ce projet, on cherchera à créer des programmes permettant à Nao d'analyser et d'intéragir avec son environnement.
• Objectifs :
  1. Implémenter un algorithme permettant à Nao de se déplacer
  2. Reconnaître différents objets tels qu'une tasse de café en utilisant Python
  3. Faire en sorte que Nao prenne un objet
  4. Créer un programme permettant de déplacer un objet de manière autonome
• Liens pour démarrer
  • Présentation de Nao
  • Documentation de l'API de Nao (seulement disponible en http)

Vision en relief, anaglyphes à partir d'images RGB+profondeur

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: La vision en relief nécessite de construire 2 images d'une scène 3D, une pour l'oeil gauche, l'autre pour l'oeil droit. A moins d'avoir des dispositifs particuliers, le procédé le plus simple pour construire et visualiser une image en relief est l'anaglyphe, c'est-à-dire construire une seule image mélangeant les 2 vues, la vue gauche en rouge, la vue droite en cyan, et d'utiliser de simples lunettes colorées rouge-cyan. Nous allons construire de tels anaglyphes, mais à partir d'images couleurs (RGB) qui ont aussi une profondeur par pixel. Ces images sont devenues très courantes avec la Kinect de la Xbox. On verra que l'on peut ainsi donner une impression de relief, mais que ces images ont aussi des défauts.
• Objectifs:
  1. Comprendre le procédé anaglyphe et la différence de point de vue entre nos deux yeux
  2. Lire les images RGB+Z et fabriquer une image anaglyphe (on utilisera OpenCV avec python)
  3. Faire la même chose en flux video.
  4. Corriger l'entrée en profondeur pour améliorer le rendu.
• Liens pour démarrer
  • Anaglyphe sur wikipedia
  • Datasets RGB+Z (films)
  • Dataset RGB+Z (formes plus simples)

RGB	Profondeur	Anaglyphe

Vision en relief, auto-stéréogrammes à partir d'une image de profondeur

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: La vision en relief nécessite de construire 2 images d'une scène 3D, une pour l'oeil gauche, l'autre pour l'oeil droit. Nous proposons ici d'étudier une technique qui permet d'avoir une vision en relief à partir d'une seule image ! Le procédé, appelé (auto-)stéréogramme encode l'image pour l'oeil gauche et l'image pour l'oeil droit dans la même image. L'idée est d'utiliser une image qui se répète par bandes verticales régulièrement (genre tous les 60 pixels). Ensuite, c'est l'observateur qui, en faisant converger ses yeux au-delà de l'écran, ne fait pas voir les mêmes bandes à ses yeux. En modifiant légèrement les motifs de répétition, nos 2 yeux ne voient pas la même chose et nous voyons la scène en relief !
• Objectifs:
  1. Comprendre le procédé stéréogramme
  2. Mettre au point l'algorithme de calcul d'une telle image à partir d'un motif (donné ou généré) et d'une image de profondeur.
  3. On pourra utiliser OpenCV avec python
  4. On peut même faire la même chose avec un flux video d'images de profondeur.
• Liens pour démarrer
  • Auto-stéréogramme sur wikipedia

Profondeur	Stéréogramme 1	Stéréogramme 2	On voit ci-dessous le procédé qui consiste en des décalages de motifs. Malheureusement sous cette forme, notre cerveau a beaucoup de peine à le reconstruire

Tables de hachage et dictionnaires

• tuteur : Pierre Hyvernat

• Résumé : les ordinateur peuvent facilement représenter un tableau de n cases par une zone de n cases mémoires consécutives. Le plus simple pour représenter un dictionnaire (comme un Python) est d'utiliser un tableau où chaque case contient à la fois la clé et la valeur. Ceci est particulièrement inefficace car savoir si une clé est valide (càd apparait dans le dictionnaire) est lent.

• Objectifs :
  1. regarder comment implémenter les tables de hachage. Cette structure permet de représenter les dictionnaire de manière plus efficace,
  2. comprendre comment fonctionnent quelques fonctions de hachage. Ces fonctions permettent de transformer chaque clé en indice de case d'un tableau standard. Les clés deviennent donc des nombres entiers, et il alors possible de faire des recherche par dichotomie pour accélérer la recherche.
  3. regarder différentes manières de gérer les collisions, car même avec une fois la fonction de hachage bien choisie, 2 clés différentes peuvent donner le même indice.

• liens utiles :
  • tables de hachage sur Wikipedia (plus complet, mais en anglais)
  • des explications sur les tables de hachage et les dictionnaires en python

Réductions de problèmes

• Tuteur : Pierre Hyvernat

• Résumé : en complexité algorithmique, le concept de "réduction de problème" est fondamentale. L'idée est simplement de transformer un type de problèmes que l'on souhaite résoudre en un problème que l'on sait résoudre. Le problème "couverture exacte" est le suivant : étant donné un tableau à 2 dimensions de booléens, on cherche une liste de lignes pour mettre exactement une valeur "vraie" sur chaque colonne. Malgré son apparence abstraite, de nombreux problèmes peuvent être transformés en une instance de "couverture exacte" :
  • les sudokus
  • le recouvrement d'une région par des polyominos
  • le problème des n reines ("comment placer n reines sur un échiquier n*n" sans qu'elles ne s'attaquent)
  • le casse-tête dominosa

• Objectifs :
  1. comprendre un peu le problème "couverture exacte"
  2. programmer quelques réductions (en python) qui permettront d'utiliser un solveur pour la couverture exacte afin de résoudre d'autres problèmes.

• Liens utiles
  • couverture exacte sur Wikipedia

Détection d’anomalies en « temps réel » via la plateforme de streaming d’évènements Kafka

• Tuteur : David Télisson
• Résumé : Depuis une dizaine d’années, l’avènement de l’Internet des Objets (IoT) a fait apparaitre de nouvelles problématiques en matière de détection d’anomalies dans un flux de données « temps réel ». En effet, les capteurs disséminés peuvent transmettre des données erronées : dérive de sonde, problème d’alimentation, malveillance, etc. La plupart de ces anomalies sont détectées a posteriori en analysant les données stockées en base. Idéalement, il faudrait détecter ces anomalies dès qu’elles se produisent, avant même d’être insérées en base de données.
• Objectifs :
  1. Déployer une maquette simple (arduino + capteurs) qui alimente une plateforme de streaming d’événements Kafka et simuler des anomalies (ex : approcher une source de chaleur d'un capteur de température).
  2. Implémenter l'algorithme isolation forest en Python (librairie Scikit-Learn) dans un consommateur Kafka pour de détecter une donnée anormale en « temps réel »
• Liens utiles
  • https://kafka.apache.org/documentation/
  • https://kafka-python.readthedocs.io/en/master/
  • https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.ensemble.IsolationForest.html

Recherche de chemin en temps réel par A*

• Tuteur : Lucas Chardonnet
• Résumé : Il existe plusieurs méthodes de recherche de chemin entre un point d'arrivé et un point de départ, qui se basent sur des données représentées par graphe. L'algorithme A* (A étoile ou A star en anglais) permet de trouver un chemin parmi les plus courts entre ces deux points, en temps réel. On propose ici d'implémenter et de visualiser cet algorithme.
• Objectifs:
  1. Créer une structure de données pour représenter un graphe.
  2. Implémenter l'algorithme A* en utilisant cette structure.
  3. Visualiser l'algorithme au travers d'une interface graphique.
• Liens utiles :
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/Algorithme_A*

Rendu rapide de scènes 3D

• Tuteur: Colin Weill-Duflos
• Résumé : On cherche à implémenter des méthodes permettant de faire du rendu de scène 3D. On se base sur la rastérisation de triangles, qui est la méthode employée pour faire du rendu en temps réel (par exemple jeux vidéos). D'autres méthodes existent comme le path tracing, plutôt utilisé dans le rendu différé (pour un film d'animation par exemple). Une implémentation de rastérisation de triangles et de z-buffer (technique de gestion de la profondeur) a déjà été réalisée une année précédente, permettant donc d'afficher des triangles en rendant compte de la profondeur. On cherche à la poursuivre pour afficher une scène illuminée.
• Objectifs:
  1. comprendre les travaux réalisés autour de la rastérisation et du z-buffer
  2. rajouter une lumière et modifier l'affichage des triangles pour prendre en compte l'illumination
  3. utiliser des textures pour le calcul des couleurs
  4. rajouter des calculs d'ombres à l'aide de shadow maps
• Pour aller plus loin:
  1. Afficher des modèles 3D
  2. Utiliser une pipeline graphique (type OpenGL) pour faire ces calculs
  3. Contrôles de la caméra
• Liens:
  • [Travaux réalisés](https://www.lama.univ-savoie.fr/mediawiki/index.php/Algorithme_de_rendu_de_sc%C3%A8ne_3D_par_Z-buffer)
  • [Modèle d'illumination](https://fr.wikipedia.org/wiki/Ombrage_de_Phong)

Détection de droites dans les images avec la transformée de Hough

• Tuteur : Stéphane Breuils
• Résumé : La détection de droites est un sujet vaste en traitement d’images et vision par ordinateur. Le problème est de détecter des droites dans une image. Ces droites font en général plus d’un pixel de large, et sont parfois coupées par d’autres objets de l’image. Ce projet consiste à traiter le problème de la détection de lignes avec une implantation de la transformée de Hough, introduite par Paul Hough.
• Objectifs:
  1. Comprendre et implémenter la transformée de Hough,
  2. Montrer son intérêt et ses limites sur différentes images,
  3. Appliquer le même principe que Hough pour la détection de cercles et d'ellipses.
• Lien pour démarrer
  • [Hough](https://fr.wikipedia.org/wiki/Transform%C3%A9e_de_Hough)

Stratégies mixtes et programmation linéaire

• Tuteur : Sébastien Tavenas
• Résumé : Considérons le jeu à deux joueurs suivant. Chacun des deux joueurs écrivent un nombre entier entre 1 et 10 sur une feuille. Puis ils comparent les deux nombres. Si les deux joueurs ont écrit le même nombre, rien ne se passe. Si les deux nombres se suivent, le joueur ayant inscrit le plus petit donne 5 jetons à l'autre. Dans tous les autres cas, c'est le joueur ayant inscrit le plus grand nombre qui donne 1 jeton à l'autre joueur. Pour la même raison que pour le jeu Pierre-Feuille-Ciseau, jouer tout le temps le même coup ne semble pas optimal. Des stratégies optimales pour ces jeux sont appelées mixtes. En fait, trouver la stratégie optimale d'un tel jeu (plus précisément, d'un jeu à somme nulle) revient à résoudre un problème de programmation linéaire associé.
• Objectifs:
  1. Comprendre les notions de stratégie mixte, de programmation linéaire et leur lien,
  2. En utilisant une librairie de programmation linéaire, écrire un programme qui calcule les stratégies optimales de différents jeux,
  3. Comprendre (et essayer d'implémenter) la méthode du simplexe.
• Lien pour démarrer
  • [Stratégies mixtes](https://en.wikipedia.org/wiki/Strategy_(game_theory)#Mixed_strategy)
  • [Programmation linéaire] (https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_programming)

Sujets proposés 2021-2022

• Détection d’anomalies par Isolation Forest : application pour l’industrie 4.0
• Machines de Turing
• Géométrie discrète, Convexité des polyominos, Combinatoire des mots
• Origami, axiomes de Huzita/Justin et ReferenceFinder
• Les "claviers"
• Fractales de Newton et sensibilité aux conditions initiales
• Approximation numérique de calculs intégraux
• Instant Insanity
• Automates cellulaires
• Simulation de fluides

Détection d’anomalies par Isolation Forest : application pour l’industrie 4.0

• Tuteur : David Télisson
• Résumé : Cette 4ième ère de l’industrie se définit comme la convergence du monde numérique virtuel avec les produits et objets du monde réel. Ainsi, l’Internet of Things (IoT) se diffuse progressivement dans toutes les strates de l’industrie en intégrant des capteurs et des services qui se connectent à d’autres équipements pour échanger des données. Ce déploiement massif d’objets entraine la collecte puis le traitement de données plus ou moins sensibles selon le contexte. Pour diverses raisons (pannes de capteurs, erreurs de paramétrages, évolution de l’environnement,…) un certain nombre de données peuvent être erronées et entrainer des conséquences sur l’usage. Des méthodes d'apprentissage automatique, permettent la détection d'anomalies. Ainsi l’algorithme non supervisé « Isolation Forest » permet de détecter des anomalies dans un jeu de données en isolant les données atypiques (celles qui sont trop différentes de la plupart des autres données). Cet algorithme calcule, pour chaque donnée du jeu, un score qui reflète à quel point la donnée en question est atypique.
• Objectifs du projet :
  1. Etudier et comprendre l’algorithme « Isolation Forest »
  2. Tester les lib dédiées du framework Scikit-learn sur un jeu de données type
• Quelques liens :
  • Isolation Forest Presentation: https://www.youtube.com/watch?v=cRzeotaFDwk
  • Scikit-learn: https://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.ensemble.IsolationForest.html
  • Dataset : https://www.kaggle.com/nphantawee/pump-sensor-data

Machines de Turing

• Tuteur: François Boussion
• Résumé : Une machine de Turing est un modèle de calcul, qui représente de manière abstraite le fonctionnement des ordinateurs. Toutes les fonctions calculables (ie. tous les algorithmes qui terminent) peuvent être simulées par une machine de Turing. L'objectif est de comprendre ce modèle théorique, et de l'implémenter dans le langage de son choix.
• Objectifs :
  1. comprendre les machines de Turing
  2. coder (dans le langage de son choix) une machine de Turing, réalisant une opération basique (ajouter 1, soustraire 1, multiplier par 2...)
  3. coder une machine de Turing universelle
• Liens pour débuter :
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/Machine_de_Turing
  • http://zanotti.univ-tln.fr/turing/

Géométrie discrète, Convexité des polyominos, Combinatoire des mots

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: Les régions d'intérêt ou formes dans les images ont une géométrie particulière. Leur contour est un chemin avec seulement 4 directions possibles, car les points du chemin n'ont que des coordonnées entières. Comment faire pour retrouver des éléments de la géométrie Euclidienne classique dans ce cas ? Par exemple, quid de l'aire du périmètre, de la convexité, des tangentes, des points d'inflexion ? Comment reconnaître que la forme est un rectangle tourné de 30 degrés ? Nous verrons comment nous pouvons aborder ce problème au travers d'un outil commun, appelé mot de Christoffel. Il conduit à des algorithmes simples et rapides pour analyser la géométrie des contours dans les images.
• Objectifs:
  1. Comprendre les difficultés d'appliquer la géométrie classique sur les formes définies dans les images
  2. Comprendre les mots de Christoffel, ses différentes définitions combinatoires et géométriques, la pente d'un tel mot, et lien avec les fractions continues
  3. Déterminer la convexité d'un contour en utilisant les mots de Christoffel.
  4. Si le temps le permet, savoir calculer un mot de contour à partir d'une image noir et blanc
  5. Coder tout ça pour faire un peu d'analyse d'image, genre identifier combien de côtés à un polygone rasterisé dans une image.
• Liens pour démarrer
  • [Petit topo Mot de Christoffel et convexité]
  • [Plus avancé (partie droites et applications)]

Triangle digital	Pentagone digital	Forme non convexe	Diverses définitions de polyominos convexes	Mots de Christoffel

Origami, axiomes de Huzita/Justin et ReferenceFinder

• Tuteur : Pierre Hyvernat
• Résumé : la trisection (exacte) d'un angle quelconque n'est pas possible en utilisant uniquement un compas et une règle (non graduée). Si cet angle est tracé sur une feuille de papier, il existe pourtant une séquence de plis pour le découper en 3 angles égaux ! En étant volontairement provocateur, on peut donc dire que l'origami (pliage depapier) est plus puissant que la géométrie (utilisation du compas et de la règle) !
• Objectifs : comprendre comment on modélise les plis autorisés (axiomes de Justin/Huzita) et visualiser les (approximation des) points constructibles par un petit nombre de plits. On pourra pour ceci utiliser la base de données générée par le programme ReferenceFinder. Idéalement, il faudrait ensuite développer un programme qui reconstruit une telle base de données.
• Références :
  1. Jacques Justin, Résolution par le pliage de l'équation du troisième degré et applications géométriques https://publimath.univ-irem.fr/numerisation/ST/IST86008/IST86008.pdf
  2. George Martin, *Geometric Constructions* (partie 10)
  3. Jean-Paul Delahaye, les mathématiques de l'origami https://www.cristal.univ-lille.fr/~jdelahay/pls/255.pdf
  4. Robert Lang, ReferenceFinder https://www.langorigami.com/article/referencefinder/
  5. Roger Alperin et Robert Lang, One- Two- and Multi-Fold Origami Axioms https://langorigami.com/wp-content/uploads/2015/09/o4_multifold_axioms.pdf

Les "claviers"

• Tuteur : Pierre Hyvernat
• Résumé : chaque touche d'un clavier affiche un caractère. On peut alors écrire tous les mots possibles en appuyant successivement sur les touches pertinentes. Sur un clavier cassé (par exemple, parce qu'il a reçu du café), les touches n'ont plus forcément le comportement attendu : la première touche peut inscrire "ktjh", le seconde "uta", etc. Il n'est alors plus forcément possible d'écrire tous les mots possibles, mais il est facile de comprendre ce que l'on peut faire. Lorsque le comportement de ces touches peut inclure des déplacement (gauche / droite) et la touche "backspace", la situation peut devenir infernale ! Quatre jeunes étudiants en thèse ont récemment développé cette théorie.
• Objectifs : l'objectif est de se familiariser avec les notions de théorie des langages et de regarder les premiers résultats de cette théorie, les astuces mises en œuvre pour étudier les langages engendrés et les questions ouvertes. L'implémentation de petits programmes pour faciliter l'étude de ces langages n'est pas obligatoire, mais forcément recommandé !
• Références :
  1. Yoan Géran, Bastien Laboureix, Corto Mascle, Valentin D. Richard, Keyboards as a New Model of Computation Keyboards as a New Model of Computation https://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2021/14489/pdf/LIPIcs-MFCS-2021-49.pdf (ou la version longue : https://arxiv.org/abs/2102.10182)
  2. diapos d'un exposé donné au LAMA en décembre 2021

Fractales de Newton et sensibilité aux conditions initiales

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: De modèles en apparence simples peuvent naître des comportements complexes. On parle souvent de Chaos ou d'effet papillon. Nous allons ici étudier un algorithme simple et itératif pour trouver des solutions à l'équation f(z)=0 (où z est un nombre complexe). Comme en général f a plusieurs solutions, cet algorithme qui part d'une position z0 va arriver (s'il arrive) sur une des solutions. Or cet algorithme est sensible aux conditions initiales (pas trop surprenant), mais cette sensibilité est très curieuse et parfois une variation infinitésimale amène sur n'importe quelle solution ! L'image ci-dessous montre cette sensibilité aux conditions initiales, en mettant la couleur de la solution trouvée au point de départ (rappelons que z0 est un nombre complexe, donc un point du plan).
• Objectifs:
  1. Comprendre l'algorithme de Newton de recherche de solutions à f(z)=0
  2. Implémenter cet algorithme et afficher pour chaque pixel d'un domaine choisi la solution trouvée (avec une couleur) pour faire de jolies images
  3. Si le temps le permet, on verra comment aussi faire des images 3D !
• Liens pour démarrer
  • [Fractale de Newton (Wikipedia)]
  • [Images des mathématiques: fractales de Newton]

Approximation numérique de calculs intégraux

• Tuteur : Dionysios Grapsas
• Résumé : L’utilisation de l’ordinateur comme une supercalculette est le moyen que nous disposons aujourd’hui pour calculer les solutions des problèmes “compliqués” de la mécanique, dont les solutions exactes ne sont pas connues (aéronautique, météorologie, éléctromagnétisme, …). Le calcul intégral permet de s’initier à cet approche, de se rendre compte de sa puissance (résolution rapide de problèmes difficiles / impossible à calculer manuellement), de ses limitations (les solutions ne sont jamais “exactes”), ainsi que l’importance de tous les choix qu’on fait pendant la construction et l’implémentation des méthodes numériques aux résultats finaux.
• Objectifs :
  1. Implémenter des méthodes de calcul intégral déterministes (méthodes de quadrature) et probabilistes (Monte-Carlo)
  2. Comparer leurs résultats et leur efficacité sur plusieurs cas de figure
  3. Calcul intégral en plusieurs dimensions

Instant Insanity

• Tuteur : Sébastien Tavenas
• Résumé : Instant Insanity est un puzzle qui a été vendu sous différents noms. Le but est, étant donnés 4 cubes dont les faces sont coloriées (par exemple, en rouge, jaune, vert et bleu), on veut empiler les 4 cubes de telle sorte à ce que chaque "côté" de la colonne contienne les 4 couleurs. Par exemple, vous pouvez essayer avec ces 4 patrons de cubes :

Ce puzzle peut facilement être généralisé à n cubes et n couleurs. On cherche à écrire un algorithme qui, si c'est possible trouve un bon empilement. Toutefois, ce jeu a été un des premiers puzzles à avoir été montré NP-complet (par Robertson et Munro en 1978).

• Objectifs :
  1. Comprendre ce qu'est un problème NP-complet
  2. Comprendre pourquoi ce puzzle est NP-complet
  3. Coder une heuristique ou utiliser un SAT-solveur
  4. Chercher si d'autres puzzles sont aussi NP-complets
• Références pour commencer :
  1. [Page wikipedia du jeu]
  2. [Page wikipedia sur la NP-complétude]

Automates cellulaires

• Tuteur : Gérald Cavallini
• Résumé : La théorie des automates cellulaires est relativement simple, une série de règles permet de modifier l’état spatial et temporel d’une cellule en fonction de son voisinage. Cette théorie se décline en de nombreux cas d’étude, automate circulaire cyclique, 2D, 3D … En théorie, les automates cellulaires permettent aussi de réaliser toutes sortes de calculs.Le jeu de la vie imaginé par John Horton Conway en 1970 est un automate cellulaire.
• Objectifs : Le but de ce sujet est d’expliquer si possible au moyen de programmes simples :
  1. la classification des automates cellulaires
  2. les automates cellulaires remarquables
  3. l’équivalence avec les machines de Turing
  4. la notion d’universalité
  5. les caractéristiques du jeu de la vie
• Liens pour démarrer
  • https://mathworld.wolfram.com/CellularAutomaton.html
  • https://www.techno-science.net/glossaire-definition/Automate-cellulaire-page-6.html
  • https://lig-membres.imag.fr/prost/L3_INFO_MCAL_MT/projet.html

Simulation de fluides

• Tuteur: Colin Weill-Duflos
• Résumé : Lorsque l'on veut afficher de l'eau sur un écran, on veut généralement représenter son mouvement sans qu'un animateur n'ait à préciser à la main le déplacement de chaque polygone représentant la surface de l'eau. Pour cela, on emploie des modélisation physiques du fluide pour simuler son comportement, puis on effectue un rendu du fluide ainsi modélisé. Les modèles physiques employés pour simuler un fluide sont complexes (voir les équations de Navier-Stokes) et font apparaître des phénomènes comme des vortex, des vagues... Il faut donc des méthodes de simulation fines capturant la complexité de ces phénomènes.
• Objectifs :
  1. implémenter un simulateur physique de fluide suivant la méthode "SPH" pour des scènes simples
  2. implémenter une méthode pour afficher le fluide ainsi simulé.
• Références
  • Video demo : https://www.youtube.com/watch?v=3de4YLqlMFQ
  • http://www.cs.columbia.edu/~batty/teaching/COMS6998/SPH_overview.pdf
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Smoothed-particle_hydrodynamics

Sujets proposés 2020-2021

• Transformée en distance discrète, diagramme de Voronoi discret, axe médian et squelette
• Clustering par K-means, segmentation d'image
• Base de données orientées Graphe, similarité et modèles prédictifs
• Algorithmes d'approximation numérique de la mesure de Mahler
• Ensemble de Mandelbrot et autres fractales
• Complexité pratique contre complexité théorique
• Etude du protocole gRPC
• Valeurs de Sprague-Grundy pour le jeu de Wythoff
• Modèle mathématique SIR pour décrire la propagation d'une épidémie
• Modélisation de réseaux sociaux, base de données orientées graphe
• Modélisation de la ruine du joueur

Transformée en distance discrète, diagramme de Voronoi discret, axe médian et squelette

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: La transformée en distance permet de situer l'éloignement de tout point du plan ou de l'espace à un ensemble donné. C'est un outil de base dans beaucoup d'algorithmes de traitement d'image ou de données 3D. Pour les images, on peut l'utiliser pour filtrer des objets, comparer deux objets, extraire son squelette, mettre en correspondance deux objets. Dans le cas de nuage de points 3D acquis par laser, on peut utiliser cet outil pour reconstruire une surface approchant ces points. Dans ce travail, on se concentrera sur la transformée en distance dans le cas des images 2D (appelé cas discret). Les objets traités seront des ensembles de pixels, par exemple des caractères écrits si on fait de l'analyse de texte scanné. On s'intéressera aux algorithmes spécifiques à ce contexte, ainsi qu'à quelques applications.
• Objectifs:
  1. Comprendre ce qu'est une distance, une transformée en distance, et un diagramme de Voronoi. Comprendre ce qu'est la stabilité d'une fonction.
  2. Identifier le lien avec l'axe médian et les squelettes
  3. Coder un algorithme de calcul de la transformée en distance et du diagramme de Voronoi dans le cas des images 2D, ainsi que l'extraction de l'axe médian discret.
  4. Si le temps le permet, on s'intéressera aussi à l'extraction d'un squelette "topologique", qui contient l'axe médian discret.

• Liens pour démarrer
  • [Diagramme de Voronoi Wikipedia]
  • [Squelette Wikipedia]
  • [Transformées discrètes en distance DGtal]

Pixels en entrée	Transformée en distance	Diagramme de Voronoi	Squelette topologique

Base de données orientées Graphe, similarité et modèles prédictifs

• Tuteur : Gérald Cavallini
• Résumé : Avec l’avènement du BigDatas, dans bien des cas le choix d’un produit, d’un média, d’un voyage ... ne peut plus être direct. Il s’appuie sur des systèmes de recommandations. L’importance financière de ces systèmes est énorme Amazon estime à 30% les ventes supplémentaires dues à son système de recommandation. Ces systèmes s’appuient sur des calculs statistiques et des algorithmes de recherche de similarité. Ces algorithmes expriment la distance entre des objets, ce qui permet par exemple d’identifier des utilisateurs(consommateurs, électeur ...) similaire et de recommander leurs choix.
• Objectifs :
  1. Mettre en œuvre différents algorithmes de recherche de similarité ( similarité de Jaquard, similarité cosinus...) dans une base de donnée orientées Graphe Neo4j.
  2. Proposer un système de recommandation de film à partir de la base MovieLens (Notation de films par des utilisateurs).
  3. Proposer un une validation du modèle prédictif.
• Liens pour commencer
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/Indice_et_distance_de_Jaccard
  • https://www.machinelearningplus.com/nlp/cosine-similarity/
  • https://neo4j.com/
  • https://movielens.org/

Clustering par K-means, segmentation d'image

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: Le partitionnement de données (ou data clustering) est l'opération visant à découper un ensemble de données en des groupes disjoints, tel que chaque groupe est le plus homogène possible. C'est un procédé à la base de nombreux algorithmes d'analyse de données, et reste encore une tâche difficile, avec de nombreuses définitions possibles. Nous nous intéresserons ici à une méthode standard, relativement simple à mettre en oeuvre, et qui permet de découper un ensemble de données en K groupes, où K est donné. on l'appelle K-means ou algorithme des K-moyennes. Elle opère sur des données où nous pouvons calculer une distance entre toute paire de données. On appliquera cet algorithme aux images couleurs. On verra qu'on peut l'utiliser pour réduire considérablement le nombre de couleurs d'une image tout en la préservant au maximum. On verra aussi, en modifiant la distance, comment utiliser cet algorithme pour faire de la segmentation d'image, c'est-à-dire décomposer une image en ses régions homogènes afin d'identifier les objets d'intérêt.
• Objectifs:
  1. Comprendre l'algorithme des k-moyennes et comment l'appliquer à l'analyse d'images couleurs
  2. Implémenter cet algorithme avec Python/numpy
  3. Tester les distances entre couleurs, et les distances couleur+géométrie
  4. Montrer son intérêt sur différentes images, ainsi que ses limites
• Liens pour démarrer
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/K-moyennes

Image en entrée	Clustering K=256	Clustering K=10	Spatial clustering K=10, c=0.5

Algorithmes d'approximation numérique de la mesure de Mahler

• Tuteur : Denys DUTYKH (CR CNRS, Denys.Dutykh@univ-smb.fr)
• Résumé : Le LAboratoire de MAthématiques (LAMA UMR 5127) de l'USMB se distingue par la grande diversité des recherches menées au sein de cette unité ainsi que par des synergies, parfois surprenantes et inattendues, qui existent entre ses membres. Le présent projet s'inscrit parfaitement dans cette optique. Notamment, nous avons une chance au LAMA d'avoir parmi nous un expert international sur la conjecture de Lehmer et qui se trouve involontairement à l'origine du sujet décrit ci-dessous. Plus précisément, la conjecture de Lehmer porte sur certaines propriétés de l'ensemble de toutes les mesures de Mahler des polynômes univariés à coefficients entiers. La résolution de cette conjecture ne figure pas parmi les objectifs premiers de ce stage même si une telle finalité serait très bien vue par l'encadrant. Dans le premier temps nous allons plutôt étudier et comparer les différentes approches numériques qui existent pour le calcul de la mesure de Mahler d'un polynôme (éventuellement de très grand degré) donné. Si le temps le permet, nous pouvons nous intéresser aussi au calcul de la mesure de Mahler pour des polynômes multivariés bien que cette tâche ait un niveau de difficulté bien supérieur. En cas de difficultés imprévues, nous pourrons ponctuellement consulter l'expert local sur la question qui est toujours très généreux pour partager ses connaissances pointues sur le sujet. Enfin, un certain goût mathématique et une passion (même si elle est dormante) pour la théorie des nombres sont absolument nécessaires pour savourer pleinement le travail sur la mesure de Mahler.
• Liens pour démarrer
  1. https://mathworld.wolfram.com/LehmersMahlerMeasureProblem.html
  2. https://en.wikipedia.org/wiki/Mahler_measure

Ensemble de Mandelbrot et autres fractales

• Tuteur : Pierre Hyvernat

• Résumé : l'ensemble de Mandelbrot est un sous-ensemble des points du plan avec une structure extrêmement complexe. Comme de nombreuses fractales, cet ensemble donne naissance à des visuels surprenants tels que
  
  La couleur d'un point c du plan dépend uniquement de la vitesse à laquelle l'itération de la fonction z -> z*z + c diverge et il est donc facile d'écrire un programme qui dessine (une approximation de) l'ensemble de Mandelbrot. Écrire un programme efficace est un peu plus complexe, et ce encore plus dans des langages comme Python !

• Objectifs :
  1. écrire une version "naïve" du programme en Python pur,
  2. écrire une seconde version du programme en utilisant des bibliothèques de calcul comme numpy afin de comparer les vitesse d'execution,
  3. appliquer certaines optimisation et étudier lors impact sur le temps de calcul,
  4. à des niveaux de zoom extremes, la précision des nombres flottants n'est plus suffisante. Il peut être intéressant de tester un calcul beaucoup plus lent, mais avec une précision supérieure,
  5. étendre ces programmes pour dessiner les ensembles de julia correspondant à un point du plan.

• Quelques liens
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set
  • https://en.wikipedia.org/wiki/Plotting_algorithms_for_the_Mandelbrot_set
  • https://www.math.univ-toulouse.fr/~cheritat/wiki-draw/index.php/Mandelbrot_set

Complexité pratique contre complexité théorique

• Tuteur : Pierre Hyvernat

• Résumé : la complexité théorique d'un algorithme est une estimation du nombre d'opérations élémentaires nécessaires pour que l'algorithme termine, en fonction de ses arguments. On ne peut pas donner de réponse exacte, et cette complexité prend typiquement la forme : "le nombre d'opérations élémentaires pour trouver le minimum d'un tableau (avec l'algorithme standard) est proportionnel à la taille du tableau". La complexité pratique d'un programme est simplement le temps qu'il met sur certains arguments. Par exemple "mon programme du tri bulle prend 4 secondes sur un tableau de taille 10000".
  Normalement, une meilleur complexité théorique se traduit par une meilleur complexité pratique, mais ce n'est pas toujours le cas. Nous allons implémenter et comparer plusieurs programmes et étudier la différence entre ces deux notions de complexité. Python sera le langage initial, mais suivant l'étudiant, d'autres langages plus bas niveau pourront être utilisés.

• Objectif :
  1. comprendre la définition de complexité théorique
  2. implémenter des algorithmes pour le même problème et comparer les complexités pratiques et théoriques, comme par exemple
     • multiplication naive / méthode de Karatsuba / méthode de Toom-Cook
     • recherche de la mediane naive / méthode quickselect / méthode linéaire
     • tri par insertion / tri rapide / tri fusion
  3. expliquer d'où peuvent venir les différences constatées, et chercher comment améliorer la complexité "pratique" des programmes correspondants.

• quelques liens :
  • multiplication de Karatsuba : http://gersoo.free.fr/Download/docs/kar.pdf
  • recherche de la médiane linéaire : https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9diane_des_m%C3%A9dianes
  • algorithme quickselect : https://fr.wikipedia.org/wiki/Quickselect

Etude du protocole gRPC

• Tuteur : David Télisson
• Résumé : « gRPC est un framework RPC (Remote procedure call) open source initialement développé par Google. Il utilise le protocole HTTP/2 pour le transport, Protocol Buffers comme langage de description d'interface (IDL : interface description language), et offre des fonctionnalités telles que l'authentification, la transmission bidirectionnelle et le contrôle de flux, par le blocage ou non des communications par annulation ou délais d'attente. Il permet la construction de liaisons client/serveur multiplateforme pour de nombreux langages » [source wikipedia]
• Objectifs du projet :
  1. Etudier et comprendre ce protocole
  2. Comparer avec les protocoles RPC historiques : XML-RPC ou JSON-RPC
  3. Implémentez un PoC (preuve de concept) simple qui montre le fonctionnement du protocole entre deux applications développées dans des langages différents (Python et JavaScript).
• Liens pour démarrer :
  • https://opensource.google/projects/grpc
  • https://grpc.io/docs/languages/python/quickstart/
  • https://grpc.io/docs/languages/node/quickstart/

Valeurs de Sprague-Grundy pour le jeu de Wythoff

• Tuteur : Sébastien Tavenas
• Résumé : Le jeu de Wythoff est un jeu à deux joueurs nécessitant deux piles de pièces. Chacun à leur tour, les joueurs retirent des pièces d’une des deux piles ou des deux piles en même temps. Il y a toutefois une contrainte : si le joueur choisit de retirer des pièces des deux piles en même temps, alors il doit retirer le même nombre de pièces dans chacune des deux piles. Le joueur ramassant la dernière pièce est déclaré vainqueur. Une description équivalente du jeu est la suivante. Une dame d’échecs est placée quelque part sur une un grand échiquier. À tour de roles, chaque joueur déplace la reine vers l’angle bas-gauche du plateau : soit vers le bas, soit en diagonal (bas-gauche), soit vers la gauche du nombre de cases désiré. Le joueur mettant la dame dans la case à l’angle de l’échiquier est déclaré vainqueur. Ce jeu est une variation du célèbre jeu de Nim. Comme ce dernier on connait aujourd’hui l’ensemble des positions perdantes et gagnantes. Toutefois ce jeu devient vite plus compliqué que le jeu de Nim  : la stratégie optimale est basée sur les suites de Beatty et l'on ne connait pas d'algorithme pour calculer les valeurs de Sprague-Grundy pour ce jeu en temps polynomial.
• Objectifs du projet :
  1. Etudier et comprendre les stratégies pour le jeu de Wythoff
  2. Implémenter un algorithme jouant parfaitement
  3. Implémenter un algorithme calculant les valeurs de Sprague-Grundy des positions (sans trop se soucier de son efficacité)
  4. Si le temps le permet, on pourra s'intéresser à la périodicité additive des valeurs de Sprague-Grundy dans les position de ce jeu.
• Quelques liens :
  • Présentation du jeu de Wythoff : https://fr.wikipedia.org/wiki/Jeu_de_Wythoff
  • À propos des valeurs de Sprague-Grundy : https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Sprague-Grundy
  • L'introduction de cet article est une bonne entrée en matière sur les valeurs de Sprague-Grundy de ce jeu : http://library.msri.org/books/Book56/files/43nivasch.pdf
  • Preuve de la périodicité additive des valeurs de Sprague-Grundy : A simple FSM-based proof of the additive periodicity of the Sprague–Grundy function of Wythoff’s game

Modèle mathématique SIR pour décrire la propagation d'une épidémie

• Tuteur : Jimmy Garnier
• Résumé : Pour les États et pour les organisations internationales, connaître l’évolution d’une épidémie humaine (grippe H1N1, virus Ebola, coronavirus), animale ou végétale est primordial. Un des outils de gestion est la modélisation mathématiques. Il convient dès à présent de préciser que les modèles mathématiques sont des modèles simplifiés, ayant des limites dont il faut être conscient. Dans ce travail, on s'intéressera au modèle SIR qui est un exemple de modèle à compartiments, c’est à dire que l’on divise la population en plusieurs catégories. Pour une population donnée, on étudie la taille de trois sous-populations au cours du temps t :
  • S(t) représente les personnes saines (susceptible en anglais) au temps t,
  • I(t) les personnes infectées (infected), et
  • R(t) les personnes guéries (recovered);
  • N=S(t)+I(t)+R(t) représente alors la population constante totale au cours du temps.
• Objectif:
  1. Écrire mathématiquement ce modèle d'équations différentielles ordinaires (ODE). Comprendre et intérpréter chaque terme et paramètre du modèles.
  2. Analyser mathématiquement ce modèle (existence et unicité des solutions), taux de reproduction et théorème du seuil.
  3. Implémenter ce modèle en python à l'aide des librairies mathématiques (numpy, odeint).
  4. Représenter graphiquement les résultats du modèle.
• Liens pour démarrer
  • Introduction aux modèle SIR
  • Analyse mathématiques des ODE J D Murray, Mathematical Biology, Springer
  • Résolution numérique d'ODE Python

Modélisation de réseaux sociaux, base de données orientées graphe

• Tuteur : Gérald Cavallini
• Résumé : Les réseaux sociaux sont devenus des cas d'études extrêmement importants dans de nombreux domaines, communication, médecine ... Ce sont des graphes qui présentent des caractéristiques particulières : coéfficient d'agglomération (clustering), longeur moyen des chemins. Des algorithmes existent pour générer ces graphes et obtenir des modéles proches des réseaux sociaux réels. Un type particulier de réseau social et le réseau « petit

monde » ou chaque individu est relié à un autre par un nombre maximum de relations faible.

• Objectifs :
  • implémenter ces algorithmes dans un langage de programmation et créer un réseaux social au moyen de la base de données orientée graphe Neo4j.
• Liens pour démarrer
  1. Théorie des graphes
  2. Comment fonctionne l’effet « petit monde » ?
  3. Réseaux de type petit monde
  4. Un modèle de génération de graphes “ petit monde ”imitant les réseaux sociaux

Modélisation de la ruine du joueur

• Tuteur : Céline Labart
• Résumé : nous nous intéressons à l'étude des gains d'un joueur à la roulette. Celui-ci arrive au casino avec une certaine somme en poche et joue à la roulette tant qu'il n'est pas ruiné ni que ses gains atteignent une somme qu'il s'est fixée. A chaque fois qu'il joue, le joueur gagne ou perd un euro avec une certaine probabilité.
• Objectifs :
  1. Simulation d'une partie
  2. Calcul de la probabilité de gagner
  3. Calcul du temps moyen de jeu
  4. Estimation numérique de ces deux quantités à l'aide de la loi des grands nombres
• Lien pour commencer :
  1. Modélisation aléatoire

Sujets proposés 2019-2020

• Compression et transformée de Burrow-Wheeler
• Backtracking
• Transfert de couleur (version 2)
• Génération fractale de terrains
• Architectures Orientées Micro-Services
• Apprentissage automatique
• Algorithmes probabilistes/déterministes pour tester la primalité d'un entier
• Base de données orientées Graphe, similarité et modèles prédictifs

Compression et transformée de Burrow-Wheeler (lien : Transformée Burrows Wheeler)

• Tuteur : Pierre Hyvernat
• Résumé : La transformée de Burrow-Wheeler est l'étape clé de l'algorithme de compression bzip2. C'est une transformation de texte (suite d'octet) qui ne modifie pas la taille, mais ajoute suffisamment de motifs redondants pour améliorer un autre algorithme de compression (algorithme de Huffman dans le cas de bzip2)
• Objectif : L'objectif est de comprendre le fonctionnement de cette transformation (et de son inverse) et d'implémenter une version naïve de l'algorithme de compression / décompression et de tester sur quelques exemples. Les améliorations de l'algorithme seront ensuite abordées.
• Liens : Burrows, Michael; Wheeler, David J. (1994), A block sorting lossless data compression algorithm, Technical Report 124, Digital Equipment Corporation [PDF]

Backtracking (lien : VISI201 Backtracking (PICHENOT Simon))

• Tuteur : Pierre Hyvernat
• Résumé et objectif : La notion de "backtracking" est fondamentale en algorithmique : il s'agit essentiellement de tester des solutions partielles à un problème, en revenant en arrière dès qu'une incohérence est découverte. Le point de départ sera le fascicule 4.5b de D. Knuth "Introduction to backtracking" et permettra de se familiariser avec les concepts, la terminology et des exemples, qu'il faudra implémenter. Une suite possible sera la notion de réduction de problèmes et l'algorithme-X qui permet de "factoriser" de nombreux problèmes de backtracking en un seul algorithme.
• Liens : D. Knuth, "the art of computer programming introduction to backtracking" [PS]

Transfert de couleur (version 2)

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: Le transfert de couleurs de l'image Y vers l'image X consiste à repeindre "au mieux" l'image X avec la palette de couleurs de l'image Y. L'image repeinte X' a alors les mêmes couleurs que l'image Y (mais les pixels ne sont pas répartis pareils). Voir l'exemple de transfert ci-dessous. Il existe plusieurs techniques de transfert de couleurs, mais nous étudierons une technique basée sur le transport optimal. Comme c'est un problème assez difficile dans le cas général, nous étudierons une variante dite par coupe 1D, qui simplifiera considérablement le problème de transport.

Transfert de couleur

Input	Output

• Objectifs:
  1. Comprendre la version 1 fait par [Lucas Chardonnet], comprendre les qualités et limites de l'approche (sur quelle type d'image ça marche assez bien par exemple)
  2. Adapter l'algorithme pour qu'il puisse traiter des images de tailles différentes
  3. Réécrire le code en utilisant la bibliothèque python NUMPY pour accélérer les calculs
  4. Changer les espaces de couleurs utilisés: RGB ne convient pas très bien pour mesurer le coût du transport. Transformer le code pour qu'il puisse utiliser plutôt l'espace [L*a*b*] mieux adapté pour calculer des distances entre couleurs.
• Liens:
  • la page de [Lucas Chardonnet]
  • [Transfert de couleur Wikipedia]
  • [Habilitation de N. Papadakis] (regardez les images plutôt).

Génération fractale de terrains

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: La génération procédurale de terrain est très utilisée en modélisation 3D et dans les jeux vidéos, afin de générer rapidement des paysages pseudo-réalistes que l'on étoffera ensuite de façon plus manuelle. On propose d'étudier et d'implémenter un algorithme classique, dit "algorithme Diamant-Carré". Cet algorithme récursif permet de générer une carte d'élévation. Selon les paramètres données, le résultat peut ressembler aux cartes d'altitude de haute montagne ou des collines plus douces.

Génération fractale de terrain par algorithme diamand carré

Elévations générées	Colorisation	Visualisation 3D

• Objectifs:
  1. Comprendre et implémenter l'algorithme Diamant-Carré
  2. Comprendre comment paramétrer cet algorithme pour qu'il génère des montagnes bien abrupte à haute altitude ou des collines à basse altitude.
  3. Fabriquer une image de couleur/texture qui va associer des couleurs aux altitudes générées (e.g. forcer du bleu sous l'altitude zero, ajouter de la neige, des lacs, de la forêt)
  4. Générer un fichier 3D (par exemple OBJ) à partir de ces deux images (l'image des hauteurs et l'image des couleurs) pour pouvoir faire de beau rendu 3D (sous blender par exemple)
• Liens:
  • La page [Wikipedia] de l'algorithme
  • La page [Wikipedia] du format OBJ

Architectures Orientées Micro-Services

• Tuteur : David Télisson
• Résumé : Les architectures des applications logicielles distribuées de grandes envergures ont évolué à partir du début des années 2000, d’une application molithique déployée sur un serveur d’application (JEE, TomCat, etc.) vers des solutions fortement répartis déployées sous formes de services. On parle alors d’architectures orientées services qui se traduisent par le développement et le déploiement de services logiciels interrogeables via des protocoles dédiés (par exemple SOAP) et des API (REST). Cette tendance, corrélée aux nouvelles méthodes de management des projets informatiques (méthodes agiles, intégration continue, DevOps1), s’est accentué ces dernières années et a fait émergé un « nouveau » paradigme : le micro-service. Plusieurs aspects caractérisent un micro-service :
  • fonctionnalité unique
  • flexibilité technologie
  • équipe de développement réduite
  • déploiement ciblé
  • support de la montée en charge (scalabilité)
  • tests facilités et intégrés au processus de développement (TDD2)
• Objectifs du projet :
  1. Etudier et comprendre les concepts liés aux micro-services (API, conteneurisation, framework, etc.)
  2. Implémentez un PoC (proof of concept) qui démontre qu’une application peut se construire dynamiquement par agrégation de micro-services développés avec des langages différents (Python, JS et Java), déployés sur des plateformes différentes (Django, Node et Glassfish) et disponibles sous formes de conteneurs dans le cloud (Azure)
  3. Livrable attendu : un tutoriel « à la OpenClassRooms »
• Liens pour démarrer :
  • https://mbaron.developpez.com/cours/microservices/introduction-generalites
  • https://openclassrooms.com/fr/courses/4668056-construisez-des-microservices

Apprentissage automatique

• Tuteur : Tom Hirschowitz
• Résumé : L'apprentissage automatique est un ensemble de techniques algorithmiques visant à écrire des programmes qui améliorent leurs performances au cours du temps. Le sujet consiste en une initiation à cette idée par l'exemple, à base de ressources telles que https://colah.github.io/posts/2015-08-Backprop et http://neuralnetworksanddeeplearning.com .

Algorithmes probabilistes/déterministes pour tester la primalité d'un entier

• Tuteur : Sébastien Tavenas
• Pouvoir tester si un entier est un nombre premier semble être une brique de base si l'on souhaite faire de l'arithmétique sur un ordinateur. Le crible d'Érathostène enseigné dans les petites classes se montre beaucoup trop lent en pratique. L'algorithme probabiliste utilisé le plus rapide est le test de Fermat. Or, si on regarde les algorithmes des librairies "génériques", on peut s'apercevoir que la fonction 'mpz_probab_prime_p' de la librairie 'gmp' sur c++ utilise un test probabiliste de Miller-Rabin, la fonction 'isPrime' de la classe 'Prime' dans java utilise aussi un test de Miller-Rabin mais qui est déterminisé, alors que la fonction 'isprime' de la librairie 'sympy' dans python effectue un test de Miller-Rabin si l'entier est plus petit que 2^64 et un test BPSW fort si l'entier est plus grand. Ainsi, une fonction déjà implémentée de test de primalité peut se tromper ou non, être instantanée ou moins. Que dire alors de l'algorithme polynomial déterministe et toujours correct proposé par AKS?
• Objectifs :
  1. Comprendre quelques tests de primalité et comment l'aléatoire est utilisé dans ces algorithmes
  2. Comprendre la notion de nombre pseudopremier qui explique, entre autre, quand il vaut mieux utiliser le test de Fermat ou celui de Miller-Rabin
  3. Programmer quelques uns des ces tests et les comparer
  4. Essayer de dérandomiser ces tests à l'aide de hitting-sets précalculés

• Liens pour commencer
  • [Tests de primalité]

Base de données orientées Graphe, similarité et modèles prédictifs

• Tuteur : Gérald Cavallini
• Résumé : Avec l’avènement du BigDatas, dans bien des cas le choix d’un produit, d’un média, d’un voyage ... ne peut plus être direct. Il s’appuie sur des systèmes de recommandations. L’importance financière de ces systèmes est énorme Amazon estime à 30% les ventes supplémentaires dues à son système de recommandation. Ces systèmes s’appuient sur des calculs statistiques et des algorithmes de recherche de similarité. Ces algorithmes expriment la distance entre des objets, ce qui permet par exemple d’identifier des utilisateurs(consommateurs, électeur ...) similaire et de recommander leurs choix.
• Objectifs :
  1. Mettre en œuvre différents algorithmes de recherche de similarité ( similarité de Jaquard, similarité cosinus...) dans une base de donnée orientées Graphe Neo4j.
  2. Proposer un système de recommandation de film à partir de la base MovieLens (Notation de films par des utilisateurs).
  3. Proposer un une validation du modèle prédictif.
• Liens pour commencer
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/Indice_et_distance_de_Jaccard
  • https://www.machinelearningplus.com/nlp/cosine-similarity/
  • https://neo4j.com/
  • https://movielens.org/

Sujets proposés 2018-2019

• Transport optimal par coupe 1D et transfert de couleurs entre images
• Génération et résolution de labyrinthes II
• REST + Pub/Sub : protocole hybride pour l’IoT
• La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"
• Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel
• Algorithmes probabilistes/déterministes pour tester la primalité d'un entier
• Dilemme du prisonnier

Transport optimal par coupe 1D et transfert de couleurs entre images

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: Le transfert de couleurs de l'image Y vers l'image X consiste à repeindre "au mieux" l'image X avec la palette de couleurs de l'image Y. L'image repeinte X' a alors les mêmes couleurs que l'image Y (mais les pixels ne sont pas répartis pareils). Voir l'exemple de transfert ci-dessous. Il existe plusieurs techniques de transfert de couleurs, mais nous étudierons une technique basée sur le transport optimal. Comme c'est un problème assez difficile dans le cas général, nous verrons une variante dite par coupe 1D, qui simplifiera considérablement le problème de transport.

• Objectifs:
  1. comprendre ce qu'est une image niveaux couleur, et ce qu'on appelle le transfert de couleurs.
  2. comprendre le principe du transport optimal (discret).
  3. comprendre et décrire le principe du transport optimal par coupe 1D, et comment se fait le calcul du meilleur transport dans ce cas.
  4. Coder un programme de transfert de couleur, qui prend deux images couleurs et réalise le transfert de couleurs.
  5. On pourra ensuite réfléchir à quelques améliorations simples (espace couleur YUV, grouper les pixels).
• Liens pour démarrer
  • Le vrai "Transport Optimal" est vite très mathématique (ce sont des mesures qui sont transportées), mais on peut l'aborder beaucoup plus simplement dans le cas discret (un nombre fini de valeurs) comme une simple assignation entre deux ensembles.
  • [Transfert de couleur Wikipedia]
  • [Habilitation de N. Papadakis] (regardez les images plutôt).

Génération et résolution de labyrinthes II

• Tuteur: François Boussion
• Résumé: On veut générer des labyrinthes aussi grands et complexes que possible, avec des murs dans une grille carré voire d'autres domaines. Comment faire pour qu'il y ait toujours un chemin de l'entrée à la sortie ? Comment faire pour qu'il n'y ait qu'un chemin ? Ensuite, comment trouver la sortie quand on est perdu dans le labyrinthe.
• Objectifs:
  1. Comprendre comment représenter un labyrinthe avec une structure de données simple
  2. Voir le lien avec la théorie des graphes et voir que le problème se résout de la même façon pour des grilles carrées, hexagonales ou autres.
  3. Comprendre l'algorithme d'arbre couvrant minimum
  4. Comprendre le principe du parcours en profondeur et de la récursivité
• Pour aller plus loin
  1. coder la génération d'un labyrinthe et sa visualisation
  2. introduire des poids pour varier le labyrinthe
  3. comment faire un labyrinthe sur grille hexagonale avec des tableaux.
• Liens pour démarrer
  • [Wikipedia]
  • [Version anglaise plus complète]

REST + Pub/Sub : protocole hybride pour l’IoT

• Tuteur: David Télisson
• Résumé: L’avènement de l’Internet des Objets (IoT) depuis une dizaine d’années a fait apparaitre des problématiques propres aux protocoles de communications liées à ces objets. En effet, l’échange de données dans ce contexte nécessite de tenir compte (au moins) des paramètres suivant :
  1. Autonomie énergétique souvent limitée
  2. Faible puissance des processeurs et taille réduite de la mémoire
  3. Disponibilité « aléatoire » de l’accès aux réseaux de communication

De nombreux protocoles cohabitent et la littérature du domaine foisonne d’exemples autour des réseaux dédiées (LORA, Sigfox, etc.) et des protocoles applicatifs (OPC-UA, MQTT, CoaP, XMPP) mais force est de constater que dans la réalité, ces solutions ne répondent pas toujours aux besoins des concepteurs qui leurs préfèrent encore le protocole HTTP. Celui-ci offre l’avantage d’implémenter un protocole applicatif (REST) en même temps qu’un protocole de transport de haut niveau (TCP/IP) permettant de passer les pare-feu. Cependant, la version actuel d’HTTP ne répond pas vraiment aux critères énoncés précédemment. Depuis quelques années émerge donc l’idée d’enrichir HTTP pour créer un protocole hybride qui mêlerait les avantages de REST avec ceux proposés par les mécanismes de type Publish/Subscribe (MQTT, AMQP, JMS, etc.). En attendant cette éventuelle évolution, peut-on envisager de mettre en place un mécanisme de type Pub/Sub avec le protocole Websocket au-dessus d’HTTP ?

• Objectifs:
  1. Etudier et faire une synthèse des deux approches : REST et Pub/Sub
  2. Implémentez un PoC (proof of concept) d’une solution hybride qui met en œuvre un mécanisme de Pub/Sub sur Websocket. .
  3. Présenter un protocole de test pour valider ou invalider cette solution

• Liens pour démarrer :
  • https://nsrc.org/workshops/2018/apricot/iot/presentations/mqttvsrest_v4.pdf
  • http://www.tigli.fr/lib/exe/fetch.php?media=cours:tutorial_mqtt_mit_2015_2016.pdf
  • https://openclassrooms.com/fr/courses/3449001-utilisez-des-api-rest-dans-vos-projets-web
  • http://www.lirmm.fr/~tibermacin/ens/ws/expose.pdf

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

• Tuteur : Pierre Hyvernat
• La suite de Conway est la suite suivante : 1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; ... Chaque terme est obtenu en "lisant" le terme précédent.
  • "1" : un "1" -> 11
  • "11" : deux "1" -> 21
  • "21" : un "2", un "1" -> 1211
  • "1211" : un "1", un "2", deux "1" -> 111221
  • etc.

Cette suite possède des propriétés étonantes données par le théorème "chimique", le théorème "arithmétique" et le théorème "cosmologique".

• Objectifs :
  1. comprendre les énoncés de ces théorèmes, et l'idée de la preuve du premier.
  2. programmer la suite de Conway pour retrouver la classification des "atomes"
  3. écrire un programme pour calculer expérimentalement une approximation de la constante "lambda" ainsi que des fréquences respectives des différents atomes.
  4. écrire un programme pour calculer la suite de Robinson, une variante plus simple de la suite de Conway

• Liens pour commencer
  • [suite de Conway]
  • [suite de Robinson]

Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel

• Tuteur: Tom Hirschowitz
• Résumé: [Coq] est un logiciel de mathématiques sur ordinateur, grâce auquel des programmes élaborés ont pu être certifiés ces dernières années.
• Objectifs:
  1. prendre en main le logiciel [Coq] de démonstration sur ordinateur,
  2. programmer certaines démonstrations basiques en Coq,
  3. suivre le début du cours [Software Foundations],
• Pour aller plus loin : Software Foundations est un cours assez long et très bien fait, il y aura suffisamment à faire. Eventuellement, selon l'intérêt de l'étudiant, étude des fondements mathématiques de Coq.
• Liens pour démarrer
  • [Software Foundations]
  • [Coq]

Algorithmes probabilistes/déterministes pour tester la primalité d'un entier

• Tuteur : Sébastien Tavenas
• Pouvoir tester si un entier est un nombre premier semble être une brique de base si l'on souhaite faire de l'arithmétique sur un ordinateur. Le crible d'Érathostène enseigné dans les petites classes se montre beaucoup trop lent en pratique. L'algorithme probabiliste utilisé le plus rapide est le test de Fermat. Or, si on regarde les algorithmes des librairies "génériques", on peut s'apercevoir que la fonction 'mpz_probab_prime_p' de la librairie 'gmp' sur c++ utilise un test probabiliste de Miller-Rabin, la fonction 'isPrime' de la classe 'Prime' dans java utilise aussi un test de Miller-Rabin mais qui est déterminisé, alors que la fonction 'isprime' de la librairie 'sympy' dans python effectue un test de Miller-Rabin si l'entier est plus petit que 2^64 et un test BPSW fort si l'entier est plus grand. Ainsi, une fonction déjà implémentée de test de primalité peut se tromper ou non, être instantanée ou moins. Que dire alors de l'algorithme polynomial déterministe et toujours correct proposé par AKS?
• Objectifs :
  1. Comprendre quelques tests de primalité et comment l'aléatoire est utilisé dans ces algorithmes
  2. Comprendre la notion de nombre pseudopremier qui explique, entre autre, quand il vaut mieux utiliser le test de Fermat ou celui de Miller-Rabin
  3. Programmer quelques uns des ces tests et les comparer
  4. Essayer de dérandomiser ces tests à l'aide de hitting-sets précalculés

• Liens pour commencer
  • [Tests de primalité]

Dilemme du prisonnier

• Tuteur: Gerald Cavallini
• Résumé: Le dilemme du prisonnier caractérise en théorie des jeux une situation où deux joueurs auraient

intérêt à coopérer, mais où, en l’absence de communication entre les deux joueurs, chacun choisira de trahir l'autre si le jeu n'est joué qu'une fois.

On peut informatiquement modéliser ce dilemme à l’aide de matrices de gains et conserver la mémoire des choix de l’adversaire. Ce modèle appliqué à un grand nombre d’individus peut être utilisé pour comprendre l’émergence de stratégies stables dans l’économie, l’écologie, l’évolution des espèces ...

On peut visualiser spatialement les interactions entre individus en les représentants par des pixels et en leurs associant une couleur en fonction de leurs stratégies.

• Objectifs
  1. Comprendre le dilemme du prisonnier
  2. Comprendre la notion de stratégie
  3. Penser un modèle spatiale pour « opposer » des individus qui appliquent des stratégies différentes
  4. Développer une interface pour visualiser dans le temps l’évolution d’une population d’individus adoptants des stratégies différentes.

• Lien :
  1. Dilemme du prisonnier Wikipedia
  2. Site spécifique

Sujets proposés 2017-2018

• Segmentation d'image par détection de contours et algorithme "ligne de partage des eaux"
• Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel
• Fouille de données textuelles à partir des "Exercices de style" de R. Queneau
• Transformées en distance, diagramme de Voronoi et applications en geometry processing
• Pavages de Penrose

Segmentation d'image par détection de contours et algorithme "ligne de partage des eaux"

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: La segmentation d'image vise à identifier les régions d'intérêt dans une image. Typiquement, une région d'intérêt est une zone de l'image plutôt homogène (les pixels ont des valeurs proches) et le contour entre deux régions d'intérêt est tracé là où les valeurs subissent de fortes variations. La méthode de segmentation proposée ici suit ce principe en enchaînant deux calculs: (1) un premier traitement calcule une image "gradient" et fabrique une image dont les valeurs élevées correspondent à des zones de fortes variations, (2) le deuxième algorithme voit cette image comme un relief 3D et identifie ses bassins hydrographiques. Cette identification des lignes de partage des eaux permet de découper l'image en ses zones d'intérêt.
• Objectifs:
  1. comprendre ce qu'est une image niveaux de gris ou couleur, ce qu'est le gradient d'une image et ce qu'on appelle segmentation d'image.
  2. décrire un algorithme de calcul du gradient d'une image, e.g. le filtre de Sobel, voire les convolutions par dérivées de Gaussienne.
  3. décrire le principe de ligne de partage des eaux ("watershed" en anglais), ses différentes définitions équivalentes, et les différents types d'algorithmes pour la calculer.
  4. Coder un programme de segmentation d'image, qui prend une image (niveaux de gris) en entrée, calcule son gradient, et extrait les bassins de sa ligne de partage des eaux.
• Liens pour démarrer
  • [Watershed Wikipedia]
  • Luc Vincent and Pierre Soille. Watersheds in digital spaces: an efficient algorithm based on immersion simulations. In IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 13, Num. 6 (1991), pages 583–598 [PDF]

Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel

• Tuteur: Tom Hirschowitz
• Résumé: [Coq] est un logiciel de mathématiques sur ordinateur, grâce auquel des programmes élaborés ont pu être certifiés ces dernières années.
• Objectifs:
  1. prendre en main le logiciel [Coq] de démonstration sur ordinateur,
  2. programmer certaines démonstrations basiques en Coq,
  3. suivre le début du cours [Software Foundations],
• Pour aller plus loin : Software Foundations est un cours assez long et très bien fait, il y aura suffisamment à faire. Eventuellement, selon l'intérêt de l'étudiant, étude des fondements mathématiques de Coq.
• Liens pour démarrer
  • [Software Foundations]
  • [Coq]

Fouille de données textuelles à partir des "Exercices de style" de R. Queneau

• Tuteur: Laurent Vuillon
• Résumé: L'idée de ce projet est de se familiariser avec les techniques de fouille de données textuelles à partir des "Exercices de style" de R. Queneau (https://fr.wikipedia.org/wiki/Exercices_de_style). On cherchera à comprendre la structure du vocabulaire du corpus de textes, à utiliser les techniques de TF/IDF pour extraire les mots significatifs du corpus puis à tester les techniques de LDA (Allocation de Dirichlet latente) pour extraire automatiquement les thématiques du corpus afin de construire des regroupements par thème. On pourra également proposer des visualisations des résultats afin de rendre accessible visuellement l'analyse de données produite sur le corpus de documents.
• Objectifs: Introduction à la fouille de données au travers d'un cas pratique
• Pour aller plus loin
  • http://blogperso.univ-rennes1.fr/stephane.tuffery/
  • http://www.editionstechnip.com/en/catalogue-detail/1005/data-mining-et-statistique-decisionnelle.html
• Liens pour démarrer
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/Exploration_de_donn%C3%A9es
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/TF-IDF
  • "Recherche d'information : applications, modèles et algorithmes; Data mining, décisionnel et big data" de Amini et Gaussier aux éditions Eyrolles.

Transformées en distance, diagramme de Voronoi et applications en geometry processing

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: Les nuages de points constituent une source de données géométriques importantes (cf LIDAR scanner, 3D scanner) et qui permet de construire des modèles géométriques 3D d'objets réels. La difficulté est de transformer ces nuages de points en des surfaces (souvent des surfaces triangulées, c'est-à-dire des triangles collés entre eux). Un outil essentiel dans ce processus est la transformée en distance, le diagramme de Voronoi (et son dual la triangulation de Delaunay). A partir de ces outils, des algorithmes existent pour reconstruire les surfaces, estimer la géométrie du nuage de point (sa normale par exemple), etc.
• Objectifs:
  1. Comprendre ce qu'est une distance, une transformée en distance, et un diagramme de Voronoi. Comprendre ce qu'est la stabilité d'une fonction.
  2. Identifier les propriétés des diagrammes de Voronoi, de leur dual la triangulation de Delaunay, et comprendre leurs variantes comme les diagrammes de puissance
  3. Identifier le lien avec l'axe médian et les squelettes
  4. Décrire les principaux algorithmes de calcul des transformées en distance et du diagramme de Voronoi, pour des nuages de point quelconques ou pour des nuages de points à coordonnées entières.
  5. Présenter un algorithme de reconstruction de surface utilisant le diagramme de Voronoi
  6. Coder un algorithme de calcul du diagramme de Voronoi et, si le temps le permet, un algorithme de reconstruction de surface.

• Liens pour démarrer
  • [Diagramme de Voronoi Wikipedia]
  • [Transformée en distance Wikipedia]
  • [Squelette Wikipedia]
  • [Transformées discrètes en distance DGtal]

Pavages de Penrose

• Tuteur : Pierre Hyvernat
• Résumé : le "cerf-volant" et la "fléchette" de Penrose sont deux tuiles qui permettent de recouvrir le plan, mais uniquement de manière non-périodique. Autrement dit, les pavages correspondants ne sont pas obtenus en répétant un même motif de manière régulière. A cause de ceci, il n'est pas évident de générer un tel pavage.

• Objectifs
  1. comprendre les notion de pavage périodique, non périodique et apériodique,
  2. comprendre la méthode "inflation / déflation" pour générer des pavages de Penrose des différents types,
  3. comprendre le lien entre les 2 (ou 3) types de pavage de Penrose
  4. écrire un programme permettant de générer de tels pavages : avec la méthode "inflation / déflation" et avec la méthode "grille de de Bruijn"
  5. utiliser ces méthodes pour générer d'autres types de pavages apériodique.

• Liens pour démarrer
  • [pavage de Penrose (wikipedia]
  • [Penrose Tiling (Marting Gardner, en anglais)]

Algorithmes d'analyse syntaxique

• Tuteur : Pierre Hyvernat

• Résumé : le code source d'un programme, d'un fichier de configuration d'un serveur de base de données ou le code d'une page web sont des données textuelles et structurées. Il est possible de définir exactement quelles données sont correctes, et quelle est leur signification. (Cela est beaucoup plus difficile pour des textes en langue naturelle par exemple.) En ce sens, il est possible de lire, d'interpréter ces données à l'aide d'un programme. On parle d'analyseur syntaxique ou de parseur. Il existe de nombreux outils pour faire ça automatiquement, mais il est parfois important (et toujours intéressant) de comprendre les mécanismes correspondant. C'est ce que ce stage propose de faire.

• Objectifs :
  1. étudier la formalisation du problème à travers la notion de langage et les premiers étages de la hiérachie de Chomsky (langages réguliers et grammaires hors contexte).
  2. comprendre le lien entre les langages et les automates (automates finis / automates à pile)
  3. implémenter un parseur "from scratch" et le tester sur des petits exemples simples, "à la main", soit en calculant "à la volée" la sémantique d'un langage, soit en produisant des "arbres de syntaxe abstraits", qui pourront être analysés par la suite,
  4. comprendre les restrictions souvent imposées sur les grammaires afin d'améliorer l'efficacité du parseur (LL*(k), LR, etc.)
  5. à partir de là, de nombreuses pistes sont ouvertes :
     • essayer d'écrire un petit outils qui puisse lire une grammaire, et générer un parseur pour cette grammaire,
     • comparer l'approche "automate" avec l'approche "combinateurs" et "parseur récursifs"
     • améliorer l'efficacité des parseurs produits
     • ajouter des fonctionnalités,
     • ...

• Liens pour démarrer :
  • [page wikipedia "parsing"]
  • [page wikipedia "recursive descent parser"]
  • Le livre référence sur le parsing est probablement "Compilers: Principles, Techniques, and Tools" de Aho, Sethi et Ullman (le "dragon book")
  • [exemples de notes cours de compilation]

Sujets proposés 2016-2017

Algorithme de rendu de scène 3D par Z-buffer

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: Le Z-buffer est un algorithme classique de rendu de scène 3D. C'est celui (avec quelques variantes) qui est implémenté dans nos cartes graphiques 3D et qui permet de visualiser des scènes extrêmement complexes en temps réel (typiquement 24 image/s).
• Objectifs:
  1. décrire le principe de la projection 3D vers 2D
  2. décrire la rastérisation des triangles sur une image en pixel
  3. expliquer le principe du Z-buffer qui permet de gérer le fait que certains objets sont cachés par d'autres
  4. expliquer comment les couleurs sont calculées par pixel
  5. indiquer les qualités et limitations de l'algorithme
• Pour aller plus loin
  1. mettre du code démo (WebGL) avec quelques explications sur le pipeline graphique OpenGL
  2. expliquer comment on peut utiliser cet algorithme pour calculer des ombres (shadow map)
• Liens pour démarrer
  • [Wikipedia]
  • [Scratch a pixel]

Traitement d'image

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud
• Résumé: Le traitement d'image rassemble tous les algorithmes utilisés pour transformer les images, les améliorer, éliminer certaines perturbations, augmenter ou diminuer le contraste, changer les couleurs vers d'autres couleurs, éliminer le flou ou les yeux rouges, faire du cartooning pour un rendu moins photo-réaliste, etc.
• Objectifs:
  1. identifier les grandes familles de traitement: restauration, égalisation, élimination du flou de déplacement, segmentation, etc
  2. identifier les grandes familles de techniques: filtrage spatial, filtrage fréquentiel, optimisation, etc
  3. comprendre les points communs et différences entre le traitement des images noir et blanc et le traitement des images couleurs.
  4. choisir un ou deux algorithmes de traitement et les expliquer en détails
• Pour aller plus loin
  1. Coder un algorithme de traitement d'image simple (e.g, un filtrage médian, ou un algo qui transporte les couleurs d'une photo vers une autre photo)

• Liens pour démarrer
  • [Wikipedia]
  • [Image Processing on line] (permet de tester en ligne des algorithmes sur vos images)

Nim et la théorie des jeux impartiaux

• Tuteur: Pierre Hyvernat

• Étudiant : Luca Chapelle

• Le jeu de Nim (aussi appelé jeu des allumettes) est l'un des premiers jeux ayant été analysé mathématiquement (par Charles Bouton en 1901). Les stratégies gagnantes peuvent être calculées en utilisant le développement en base 2 des nombres, et l'opération d'"addition de Nim" (XOR). La théorie de ce type de jeux (jeux "impartiaux") est assez simple, mais de nombreuses instances de jeux sont encore non résolues.
• Objectifs:
  1. comprendre la théorie du jeu de Nim (et la programmer)
  2. comprendre le théorème de Sprague Grundy qui montre que tout jeu impartial est équivalent à un jeu de nim
  3. regarder quelques autres exemples de tels jeux : jeu de Nim déguisés, ou jeux véritablement différents
  4. programmer une version naịve de recherche de stratégie basée sur le théorème de Sprague-Grundy pour quelques jeux

• Liens pour commencer
  • jeu de Nim
  • théorème de Sprague Grundy
  • jeu de Grundy

La suite de Conway et la classification périodique des "éléments"

• Tuteur : Pierre Hyvernat
• La suite de Conway est la suite suivante : 1 ; 11 ; 21 ; 1211 ; 111221 ; ... Chaque terme est obtenu en "lisant" le terme précédent.
  • "1" : un "1" -> 11
  • "11" : deux "1" -> 21
  • "21" : un "2", un "1" -> 1211
  • "1211" : un "1", un "2", deux "1" -> 111221
  • etc.

Cette suite possède des propriétés étonantes données par le théorème "chimique", le théorème "arithmétique" et le théorème "cosmologique".

• Objectifs :
  1. comprendre les énoncés de ces théorèmes, et l'idée de la preuve du premier.
  2. programmer la suite de Conway pour retrouver la classification des "atomes"
  3. écrire un programme pour calculer expérimentalement une approximation de la constante "lambda" ainsi que des fréquences respectives des différents atomes.
  4. écrire un programme pour calculer la suite de Robinson, une variante plus simple de la suite de Conway

• Liens pour commencer
  • [suite de Conway]
  • [suite de Robinson]

Initiation à la démonstration sur ordinateur et certification de logiciel

• Tuteur: Tom Hirschowitz
• Résumé: [Coq] est un logiciel de mathématiques sur ordinateur, grâce auquel des programmes élaborés ont pu être certifiés ces dernières années.
• Objectifs:
  1. prendre en main le logiciel [Coq] de démonstration sur ordinateur,
  2. programmer certaines démonstrations basiques en Coq,
  3. suivre le début du cours [Software Foundations],
• Pour aller plus loin : Software Foundations est un cours assez long et très bien fait, il y aura suffisamment à faire. Eventuellement, selon l'intérêt de l'étudiant, étude des fondements mathématiques de Coq.
• Liens pour démarrer
  • [Software Foundations]
  • [Coq]

Calculabilité et modèles de calcul

• Tuteur: Rodolphe Lepigre
• Résumé: Une fonction f sur l'ensemble des entiers naturels est dite calculable s'il existe une procedure effective (ou un algorithme) qui permet, étant donné un entier n, de calculer f(n) en temps fini. Il existe divers modèles de calcul qui permettent de représenter toutes les fonctions calculables : machines de Turing, λ-calcul, automates cellulaires, ...
• Objectifs:
  1. comprendre la notion de fonction calculable,
  2. comparer l'ensemble des fonctions à l'ensemble des fonctions calculables,
  3. regarder et comparer quelque modèles de calcul,
  4. programmer un modèle de calcul et comprendre les limitations pratiques.

• Liens pour commencer:
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/Calculabilité
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/Machine_de_Turing
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/Lambda-calcul
  • https://fr.wikipedia.org/wiki/Jeu_de_la_vie

Génération et résolution de labyrinthes

• Tuteur: Jacques-Olivier Lachaud Xavier Provençal
• Résumé: On veut générer des labyrinthes aussi grands et complexes que possible, avec des murs dans une grille carré voire d'autres domaines. Comment faire pour qu'il y ait toujours un chemin de l'entrée à la sortie ? Comment faire pour qu'il n'y ait qu'un chemin ? Ensuite, comment trouver la sortie quand on est perdu dans le labyrinthe.
• Objectifs:
  1. Comprendre comment représenter avec une structure de données un labyrinthe
  2. Voir le lien avec la théorie des graphes et voir que le problème se résout de la même façon pour des grilles carrées, hexagonales ou autres.
  3. Comprendre l'algorithme d'arbre couvrant minimum
  4. Comprendre le principe du parcours en profondeur et de la récursivité
• Pour aller plus loin
  1. coder la génération d'un labyrinthe et sa visualisation
• Liens pour démarrer
  • [Wikipedia]
  • [Version anglaise plus complète]

Pavages par polyomino

• Tuteur: Xavier Provençal
• Résumé : On s'intéresse aux pavages du plan par des tuiles formées de petits carrés collés les uns aux autres, appelé "polyominos". Étant donné une tuile, peut-on paver le plan ? Si oui, avec quelles opérations (translation et/ou rotations et/ou réflexions) Une fois un pavage réalisé, on observe ses propriétés. Quelles symétries ? Le pavage est-il identique du point de vue de chacune des tuiles ? Si ce n'est pas le cas, en combien de classes peut-on diviser ces tuiles ?

On s'intéressera aussi à des propriétés connexes. Au lieu de paver tout le plan, on peut essayer de paver une région finie donnée. Plus localement, peut-on encercler complètement une tuile avec des copies d'elle-même, sans former de trous ? Si oui, peut-on faire de même avec la proto-tuile formée par la tuile de départ et toutes ses copies ? Si oui, combien de fois peut-on répéter l'opération ?

• Objectifs :
  1. Comprendre les différentes classes de pavages (isohédral, k-isohédral, anisohédral).
  2. Pour chacun des sept types de pavages "isohédraux", comprendre le lien entre les symétries du pavages et la caractérisation des tuiles qui le réalisent.
  3. Pour un pavage k-isohédral, identifier les "classes d'équivalences" et le "domaine fondamental".
• Pour aller plus loin :
  1. Coder la génération de tuiles capables de paver le plan en fonction pour une classe de pavages donnée.
  2. Étudier et implémenter certains algorithmes pour le pavages d'un domaine fini.
• Liens pour démarrer
  • [Polyomino]
  • [Polyomino (en)]
  • [Pavages]