Lambda counting

Introduction

The question is: among programs, what is the probability of having a fixed property.

what kind of program : turing machines, cellular automata, combinatory logic, lambda calculus

what kind of properties : structural (for functional programs), behaviour (SN, weakly normalizable, ...

references to known results on : turing machines, cellular automata

we concentrate on combinatory logic, lambda calculus

Lambert function, Catalan and Motzkin numbers

Catalan numbers

• $C(n)$ : Catalan numbers

Usual equivalent: $C(n)\sim {\frac {4^{n}}{n^{3/2}{\sqrt {\pi }}}}$ which is obtained using Strirling formula. However, using stirling series: $n!={\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right)$, we get that for $n\geq 1$ we have ${\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}\leq n!\leq {\frac {7}{6}}{\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}$

Thus, using this and $\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{n}>e^{-1}$, we have:

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle C(n) = \frac{(2n)!}{(n+1)!n!} \geq \frac{36}{49\sqrt{\pi}} \frac{4^n}{(n+1)^\frac{3}{2}}} for all Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n\geq1} but also for Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n=0} .

Motzkin numbers

• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle M(n,k)}

Lambert W function

The Lambert function $W(x)$ is defined by the equation Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x = W(x) e ^ {W(x)} } which has a unique solution in Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{R}} .

For Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x \geq e} , we have Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \ln(x) - \ln(\ln(x)) \leq W(x) \leq \ln(x)} which implies that $W(x)\sim \ln(x)$ near Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle +\infty} . To prove this, it is enough to remark that

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (ln(x) - \ln(\ln(x))e^{\ln(x)-\ln(\ln(x))} = x - \frac{x \ln(\ln(x))}{x} \leq x \leq x \ln(x) = \ln(x) e^{\ln(x)} }

combinatory logic

results on combinatory logic

Generality on lambda calculus

what kind of distribution ?

we look only for densities,

for that we need size.

different size for variables: zero, one, binary with optimal size, binary with fixed size, debruijn indices in unary...

we concentrate on the simple one : variable of size zero (probably similar for size one ) more later for other size

generating functions

this does not work (by now) because radius of convergence 0

no known results for the number of terms of size n (denoted Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle L_n} )

our results

(the proof of result of section k needs the result of section (k-1))

Upper and lower bounds for Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle L_n}

For the lower bound, we will first count the number Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle LB(n,k)} of lambda-terms of size Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n} starting with $k$ lambdas and having no other lambda below. This means that the lower part of the term is a binary tree of size Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n-k} with Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle k} possibility for each leaf. Therefore we have:

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle LB(n,k) = C(n-k) k^{n-k}}

And therefore, for Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n > k} , using our lower bound for Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle C(n)} and Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n + 1 \geq n - k + 1} , we get:

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle LB(n,k) \geq K \frac{(4k)^{n-k}}{(n+1)^\frac{3}{2}}} with $K={\frac {36}{49{\sqrt {\pi }}}}$

Now, for $n$ fixed, we define $f(\alpha )=\left(4n\alpha \right)^{n(1-\alpha )}$ (so $LB(n,k)\geq {\frac {K}{(n+1)^{\frac {3}{2}}}}f\left({\frac {k}{n}}\right)$) and look for the maximum of this function. We have $f'(\alpha )=nf(\alpha )\left(-\ln(4n\alpha )+{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right)$. Thus, $f'(\alpha )\geq 0$ is equivalent to ${\frac {1}{\alpha }}e^{\frac {1}{\alpha }}\geq 4en$. The Lambert function begin increasing this means that $f'(\alpha )\geq 0$ is equivalent to $\alpha \leq {\frac {1}{W(4en)}}$. Therefore, $f(\alpha )$ reaches a maximum for $\alpha ={\frac {1}{W(4en)}}$.

This means that $(4k)^{n-k}$ reaches its maximum for $n$ fixed when $k$ is near to ${\frac {n}{W(4en)}}$ which is likely not to be an integer. However, there are at least $\left\lfloor {\frac {n\ln(\ln(4en))}{\ln ^{2}(4en)}}\right\rfloor$ integer between ${\frac {n}{W(4en)}}$ and ${\frac {n}{\ln(4en)}}$. Indeed, using our inequalities on Lambert W function, we have:

${\frac {n}{W(4en)}}-{\frac {n}{\ln(4en)}}={\frac {n(\ln(4en)-W(4en))}{W(4en)\ln(4en)}}\leq {\frac {n\ln(\ln(4en))}{\ln ^{2}(4en)}}$

Thus, we get the following lowerbound for $L_{n}$:

$L_{n}\geq \sum _{k=1}^{k=n}LB(n,k)\geq \sum _{k=\lceil {\frac {n}{W(4en)}}\rceil }^{k=\lfloor {\frac {n}{\ln(4en)}}\rfloor }K{\frac {(4k)^{n-k}}{(n+1)^{\frac {3}{2}}}}\geq K\left\lfloor {\frac {n\ln(\ln(4en))}{\ln ^{2}(4en)}}\right\rfloor {\frac {\left({\frac {4n}{\ln(4en)}}\right)^{n-{\frac {n}{\ln(4en)}}}}{(n+1)^{\frac {3}{2}}}}$

To simplify, using the fact that $\lim _{n\to +\infty }\left({\frac {\ln(n)}{\ln(4en)}}\right)^{n}=0$ and taking $n$ large enough, we have the following lowerbound:

$L_{n}\geq {\frac {1}{{\sqrt {n}}\ln ^{2}(n)}}\left({\frac {4n}{\ln(n)}}\right)^{n-{\frac {n}{\ln(n)}}}$

at least $o({\sqrt {n/\ln(n)}})$ lambdas in head position and number of lambdas in one path

Remark: (may be 4) can be done directly without 3))

every fixed closed term (including the identity !) does not appear in a random term (in fact we have much more than that)

comment : so different situation in combinatory logic and lambda calculus ; the coding uses a big size so need to count variables in a different way

Experiments

results of the experiments we have done

some experiments that have to be done : e.g. density of terms having Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \lambda x.y} or big Omega pattern ...

to be done

Upper and lower bounds for Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle L_n} with other size for variables especially one, binary with fixed size

Open questions and Future work

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