Reseau inverse

Syntaxe

Formules : $A:=X(t_{1},\dots ,t_{n})\mid \neg A\mid A\vee B\mid A\wedge B\mid \forall xA\mid \exists xA$

On quotiente les formules pas les lois de De Morgan.

Clauses (à démontrer) : $\Gamma :=1\mid A.\Gamma$ (le point est une conjonction commutative et associative avec élément neutre)

Séquents : $\Delta :=0\mid \Gamma ,\Delta$ (la virgule est une dicjonction commutative et associative)

Règles logiques

${\frac {\vdash A.B.\Gamma ,\Delta }{\vdash A\wedge B.\Gamma ,\Delta }}\wedge _{i}$

${\frac {\vdash A.\Gamma ,B.\Gamma ,\Delta }{\vdash A\vee B.\Gamma ,\Delta }}\vee _{i}$

${\frac {\vdash A.\Gamma ,\Delta }{\vdash \forall xA.\Gamma ,\Delta }}\forall _{i}\;\;\;(x{\hbox{ non libre dans la conclusion}})$

${\frac {\vdash A[x:=t].\Gamma ,\Delta }{\vdash \exists xA.\Gamma ,\Delta }}\exists _{i}$

${\frac {}{\vdash 1}}{\hbox{axiom}}$

${\frac {\vdash \Gamma .\Gamma ',\Delta }{\vdash A.\Gamma ,\neg A.\Gamma ',\Delta }}{\hbox{resolution}}$

${\frac {\vdash A.\Gamma ,\neg A.\Gamma ,\Delta }{\vdash \Gamma ,\Delta }}{\hbox{reversed resolution}}\;\;\;{\hbox{(inutile, fait echouer la propriete de la sous-formule)}}$

${\frac {\vdash \Delta }{\vdash A.\neg A.\Gamma ,\Delta }}{\hbox{tautology elimination}}\;\;\;{\hbox{(inutile)}}$

${\frac {\vdash A.\neg A,\Delta }{\Delta }}{\hbox{reversed tautology elimination}}\;\;\;{\hbox{(inutile, fait echouer la propriete de la sous-formule)}}$

Règles structurelles

${\frac {\vdash A.\Gamma ,\Delta }{\vdash \Gamma ,\Delta }}\nu \;\;\;{\hbox{(inutile, affaiblissement, pas la propriete de la sous-formule)}}$

${\frac {\vdash A.\Gamma ,\Delta }{\vdash A.A.\Gamma ,\Delta }}\;\;\;{\hbox{(contraction)}}$

${\frac {\vdash A.A.\Gamma ,\Delta }{\vdash A.\Gamma ,\Delta }}\;\;\;{\hbox{(inutile)}}$

${\frac {\vdash \Gamma ,\Gamma ,\Delta }{\vdash \Gamma ,\Delta }}\;\;\;{\hbox{(reutilisation de clauses)}}$

${\frac {\vdash \Gamma ,\Delta }{\vdash \Gamma .\Gamma ',\Gamma ,\Delta }}\;\;\;{\hbox{(inutile, subsumption, tres efficace en recherche de preuve)}}$

${\frac {\vdash \Delta }{\vdash \Gamma ,\Delta }}\;\;\;{\hbox{(affaiblissement bis)}}$

${\frac {\vdash \Gamma ,\Delta \;\;\;\Gamma ',\Delta }{\vdash \Gamma .\Gamma ',\Delta }}{\hbox{Splitting}}\;\;\;{\hbox{(inutile, tres efficace en recherche de preuve)}}$

Tentative de Calcul

Formules : $A:=X(t_{1},\dots ,t_{n})\mid \neg A\mid A+B\mid A\wedge B\mid A\times B\mid A\vee B\mid \forall xA\mid \exists xA$

Clauses (à démontrer) : $\Gamma :=1\mid A^{x}.\Gamma$ (le point est une conjonction commutative et associative avec élément neutre)

Séquents : $\Delta :=0\mid \Gamma ,\Delta$ (la virgule est une dicjonction commutative et associative)

Contraintes : pour tout séquent $\Delta$ et nom de canal $x$, il existe au plus une formule $A$ telque $A^{x}$ ou $\neg A^{x}$. Pour imposer cette contrainte, on tilse des contextes de typage des canaux: $\gamma :=x_{1}:A_{1},\dots ,x_{n}:A_{n}$.

Definition : $\Delta \otimes \Delta '$ : $(\Gamma _{1},\ldots ,\Gamma _{n})\otimes (\Gamma '_{1},\ldots ,\Gamma '_{p})=\Gamma _{1}.\Gamma '_{1},\Gamma _{1}.\Gamma '_{2},\ldots ,\Gamma _{n}.\Gamma '_{p}$

Logical rules

${\frac {}{z:A\times B,x:A,y:B,\gamma \vdash !z\leftarrow (x,y):(A\times B)^{z},\neg A^{x},\neg B^{y}}}\times _{i}$

${\frac {x:A,y:B,\gamma \vdash t:\Delta }{z:A\vee B,\gamma \vdash ?z\rightarrow (x,y).t:\Delta [A^{x}:=(A\vee B)^{z},B^{y}:=(A\vee B)^{z}]}}\vee _{i}$

${\frac {}{z:A+B,x:A,\gamma \vdash !z\leftarrow L(x):(A+B)^{z},\neg A^{x}}}+_{i}^{L}$

${\frac {}{z:A+B,y:B,\gamma \vdash !z\leftarrow R(y):(A+B)^{z},\neg B^{y}}}+_{i}^{R}$

${\frac {x:A,\gamma \vdash t:\Delta \;\;\;\;\;y:B,\gamma \vdash u:\Delta '}{z:A\wedge B,\gamma \vdash ?z\rightarrow (x.t+y.u):\Delta [A^{x}:=(A\wedge B)^{z}]\otimes \Delta [B^{y}:=(A\wedge B)^{z}]}}\wedge _{i}$

${\frac {x:A,\gamma \vdash t:\Delta }{z:\forall x,A,\gamma \vdash ?z\rightarrow (x,\alpha ).t:\Delta [A^{x}:=(\forall \alpha A)^{z}]}}\forall _{i}\;\;\;(\alpha {\hbox{ non libre dans la conclusion}})$

${\frac {}{z:\exists xA,x:A[x:=t],\gamma \vdash \exists xA^{z},\neg A[x:=t]^{x}}}\exists _{i}$

${\frac {}{\gamma \vdash \emptyset :1}}{\hbox{axiom}}$

${\frac {\gamma \vdash t:\Gamma .\Gamma ',\Delta }{\gamma \vdash t:A^{x}.\Gamma ,\neg A^{x}.\Gamma ',\Delta }}{\hbox{resolution}}$

${\frac {\gamma \vdash t:\Delta \;\;\;\;\;\gamma \vdash u:\Delta '}{\gamma \vdash t\mid u:\Delta \otimes \Delta '}}{\hbox{splitting}}$

${\frac {x:A,\gamma \vdash t:\Delta }{\gamma \vdash \nu x.t:\Delta }}\nu \;\;\;x{\hbox{ not in }}\Delta$

Simplification (structural) rules

${\frac {\gamma \vdash t:\Delta }{\vdash t:A^{x}.\neg A^{x}.\Gamma ,\Delta }}{\hbox{tautology elimination}}$

${\frac {\gamma \vdash t:A^{x}.\neg A^{x}.\Gamma ,\Delta }{\gamma \vdash t:\Delta }}{\hbox{reversed tautology elimination}}$

${\frac {\gamma \vdash t:A^{x}.\Gamma ,\Delta }{\vdash t:\Gamma ,\Delta }}{\hbox{coweakening}}$

${\frac {\gamma \vdash t:A^{x}.\Gamma ,\Delta }{\vdash t:A^{x}.A^{x}.\Gamma ,\Delta }}{\hbox{reversed cocontraction}}$

${\frac {\gamma \vdash t:A^{x}.A^{x}.\Gamma ,\Delta }{\gamma \vdash t:A^{x}.\Gamma ,\Delta }}{\hbox{cocontraction}}$

${\frac {\gamma \vdash t:\Gamma ,\Gamma ,\Delta }{\gamma t:\vdash \Gamma ,\Delta }}{\hbox{contraction}}$

${\frac {\gamma \vdash t:\Gamma ,\Delta }{\gamma \vdash t:\Gamma .\Gamma ',\Gamma ,\Delta }}{\hbox{subsumption}}$

${\frac {\gamma \vdash t:\Delta }{\gamma \vdash t:\Gamma ,\Delta }}\;\;\;{\hbox{weakening}}$