INFO421 : Programmation fonctionnelle

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Détails techniques

Nouvelles

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Compléments de cours, TD et TP

 -- à venir

Les travaux pratiques

Ocaml

Si vous voulez installer OCaml sur votre ordinateur.

• Sous Linux : c'est la solution idéale. Il existe probablement des paquets pour votre distribution. Pour Ubuntu, pour avoir un environnement similaire à ce que vous aurez dans les salles informatiques, installez les paquets ocaml, ocaml-core, ocaml-mode, tuareg-mode et emacs.

• Sous Windows : je vous renvoie au tutoriel de Jean-Paul Roy : Installation de OCaml (sur Windows XP). Je n'ai malheureusement (??) pas accès à une machine avec Windows (98/2000/XP/Vista/7), je ne pourrais donc pas beaucoup vous aider.

Contactez moi si vous avez des problèmes.

J'ai créé une petite page dédiée pour la syntaxe de Caml et son utilisation.

Références supplémentaires

• Le livre d'Emmanuel Chailloux, Pascal Manoury et Bruno Pagano : Développement d'applications avec Ocaml. (Ce livre utilise une vieille version de Ocaml, mais reste pertinent.)

• La documentation de Caml, version 3.09 (utilisé en TP) : Documentation and user's manual.

Introduction

Pour paraphraser un collègue dont je ne retrouve pas le nom :

Attention : il ne s'agit pas d'un cours de programmation fonctionelle

Il s'agit plutôt d'un cours de programmation fonctionnelle...

Petit historique censuré

Je ne parlerais pas des langages pré-historiques (cartes perforées, λ-calcul, machines de Turing, ...)

D'après ce site, qui recense la plupart des langages de programmation, il y aurait plus de 2500 langages ! Voici donc une petite liste de langages importants :

• années 40 : langages d'assemblage (assembleurs). Aussi vieux que les ordinateurs eux-mêmes. Chaque langage d'assemblage est spécifique à une famille de processeurs, ce qui rend les programmes difficiles à porter. (Càd à modifier pour les faire marcher sur d'autres ordinateurs.)
• FORTRAN (1957, toujours utilisé par les numériciens et physiciens) et COBOL (1960, toujours utilisé en gestion). Ces langages ont connus des évolutions mais restent archaïques par leur conception.
• LISP : inventé par John McCarthy en 1958. C'est le premier langage fonctionnel. Toujours utilisé (sous différentes formes), en particulier en intelligence artificielle. Ce langage est basé directement sur le λ-calcul de Church.
• ALGOL (1958, a inspiré de nombreux langages depuis : C, pascal, ...) Le but était de réparer certains défauts des langages de type FORTRAN. (Programmation structurée, blocs, ...)
• Pascal (1975).
• C (1972). Toujours très utilisé, sous différentes variantes (notamment C++).
• Prolog (1972) : programmation logique, paradigme nouveau de programmation. Toujours utilisé par une petite communauté.
• ML (fin des années 1970 ?), qui ajoute une notion de type que LISP n'avait pas.
• Smalltalk (fin des année 1983), début de la programmation objet.
• 1983 : ADA.
• 1983 : Miranda un langage fonctionnel « pur ».
• 1985 : Caml, développé à l'INRIA.
• 1990 : Haskell, inspiré de Miranda,
• années '90 : Python (version 1.0 en 1994).

Je vous conseille d'aller voir le graphique suivant : Computer Languages Timeline (ou découpé en pages A4).

Fonctionnel ??

L'adjectif fonctionnel a au moins deux sens :

1. qui fonctionne, en état de marche,
2. qui se rapporte aux fonctions.

Les langages fonctionnels sont bien entendus fonctionnels dans le premier sens, mais c'est surtout le second sens qui nous intéresse. Les langages tels que Pascal, Ada ou C sont qualifié, par opposition, d'impératifs.

Un des slogans de la programmation fonctionnelle en général est

Les fonctions sont des valeurs comme les autres

et c'est de là que vient la terminologie...

Comme nous le verront, cela a de nombreuses conséquences sur l'expressivité du langage et la manière de programmer.

Le langage (O)Caml

Le langage OCaml est développé par l'INRIA (Institut national de recherche en informatique et automatique). C'est un successeur de CamlLight.

Le nom Caml est formé des initiales de "Categorical Abstract Machine Language", et le langage lui même appartient à la famille de ML ("Meta Language"). C'est un langage fonctionnel strict (nous verrons ce que cela veut dire), typé (nous verrons ce que cela veut dire) qui supporte plusieurs styles de programmation :

• fonctionnel bien sûr,
• mais aussi impératif,
• objet également (c'est le « O » de OCaml).

Dans ce cours, nous utiliserons seulement le style fonctionnel.

Voici quelques aspects importants du langages que nous verrons peut-être pendant le cours :

• fonctions comme valeurs valeurs,
• polymorphisme,
• système d'exceptions,
• système de modules et de foncteurs,
• support pour des références et des données mutables (programmation « impure »),
• ...

Un aspect intéressant du langage est que c'est soit :

• un langage interprété (avec l'interpréteur OCaml),
• soit un langage compilé en bytecode (code binaire indépendant de l'architecture),
• soit un langage compilé optimisé en binaire (dépendant de l'architecture).

On peut donc choisir ce que l'on veut pour ces applications.

Autres langages fonctionnels

Il existe de nombreux autres langages fonctionnels. Je vous montrerais peut-être des exemples en cours. Voici quelques exemples importants :

• SML (Standard ML) : Wikipedia, autre dialecte de la famille ML.
• LISP, dont les deux dialectes principaux sont :
  • Common LISP : Wikipedia,
  • Scheme : Wikipedia.
• Haskell : Wikipedia (inspiré en grande partie de Miranda).

Applications concrètes

Voici quelques exemples de logiciels développés en OCaml :

• Ocsigen, un serveur web,
• Unison, un logiciel de synchronisation de fichiers entre ordinateurs,
• MLDonkey, un logiciel de Peer-to-peer multiréseaux,
• Active DVI un visualisateur pour le format de fichier DVI.

La viabilité du paradigme fonctionnel se retrouve également dans le langage Erlang (Wikipedia), un langage fonctionnel développé par Ericsson pour la programmation concurrente de systèmes temps réels.

D'autre part, l'efficacité des langages fonctionnels peut être constatée sur le The Computer Language Benchmarks Game, où différents langages de programmation sont comparés (temps d'exécution, taille du code source et utilisation de la mémoire) sur des taches différentes. Les langages fonctionnels sont toujours bien représentés...

Objectifs du cours

1. être capable de définir des fonctions récursives, et comprendre ce qu'elles font
2. comprendre le typage et le polymorphisme à la ML
3. pouvoir définir des fonction d'ordre supérieur pour modulariser votre code
4. être capable de décomposer un problème
5. comprendre et utiliser la notion de type récursif
6. commencer à réfléchir à la complexité de vos programmes

Premiers pas en Caml

Les valeurs

Un des slogans de la programmation fonctionnelle est tout est une valeur, ou plus précisément,

Tout programme a une valeur.

Cette idée n'est pas présente en C, et encore moins en Pascal, où l'on distingue les expressions ("3*x+f(2)" par exemple) et les instructions ("if (n>22) then a:=12 else a:=13" par exemple). En Pascal, les instructions sont en général séparées par des ";" et sont exécutées en séquence. Les expressions sont juste calculées, et ne peuvent pas être séquentialisées.

Dans un langage purement fonctionnel, le ";" n'existe pas, et il n'y a que des valeurs...

Les valeurs sont formées en utilisant :

• les fonctions du langage (addition, multiplication)
• les opérateurs logiques (qui sont juste des fonctions des booléens vers les booléens),
• les relations mathématiques (égalité, plus grand, ... qui sont juste des fonctions dont le type de retour est le type des booléens),
• les constantes,
• les variables,
• des constructions du langage (if ... then ... else ...) par exemple).

Bien entendu, comme Caml est typé, il faut respecter les types.

Les valeurs de type atomique

Voici quelques exemples d'expressions bien formées : on suppose que n est de type entier, x est de type flottant et s de type chaîne de caractères. <source lang="ocaml">

17

</source>

<source lang="ocaml">

n

</source>

<source lang="ocaml">

n+(3*2)

</source>

<source lang="ocaml">

(n+3)*2

</source>

<source lang="ocaml">

n+3*2                  (* --> même valeur que  n+(3*2) *)

</source>

<source lang="ocaml">

length ("Bonjour")     (* --> valeur 7 *)

</source>

<source lang="ocaml">

length "Bonjour"       (* --> valeur 7 *)

</source>

<source lang="ocaml">

if (x>0) then n
         else (n+1)    (* --> suivant la valeur de x, c'est soit la valeur de n, soit la valeur de n+1 *)

</source>

<source lang="ocaml">

(if (x>0) then n
          else n) + 1  (* --> (presque) la même chose que n+1 *)

</source>

Voici des exemples de valeurs mal formées : <source lang="ocaml">

x+1                    (* --> x et 1 n'ont pas le meme type *)

</source>

<source lang="ocaml">

x+1.0                  (* --> le "+" ne fonctionne que sur des entiers (Pour les flottants, il faut utiliser "+." "*.", ...) *)

</source>

<source lang="ocaml">

length x               (* --> length a un argument de type chaine, mais x est de type flottant *)

</source>

<source lang="ocaml">

if (x=0) then x
         else n        (* --> le type d'une valeur doit etre connu, mais x et n n'ont pas le meme type *)

</source>

<source lang="ocaml">

if (true) then x
          else n       (* --> idem (meme si dans ce cas, on peut ignorer le "else") ()

</source>

Caml donne des messages d'erreur explicites dans ces cas là. Par exemple, si on rentre l'expression <source lang="ocaml">

let x = 1.5 in x+1

</source> Caml répond :

# let x = 1.5 in x+1 ;;
This expression has type float but is here used with type int

(Remarquez le x souligné pour nous dire d'où vient l'erreur...)

Remarque : en Caml, on peut déclarer une variable locale à une expression avec la syntaxe "let x= expr in expr".

Les valeurs fonctionnelles

Les exemples du paragraphe précédent ne devraient pas trop vous surprendre. La vraie nouveauté est que même les fonctions sont des valeurs. <source lang="ocaml">

length         (* valeur de type "fonction des chaînes vers les entiers" *)

</source>

Une valeur de type fonctionnel peut être définie de la manière suivante : <source lang="ocaml">

fun x y -> 2*(x+y)

</source> Ceci ressemble à une définition mathématique usuelle :

La fonction qui à $x$ et $y$ associe $2\times (x+y)$, que l'on note habituellement $x,y\mapsto 2\times (x+y)$

Remarquez que cette fonction n'a pas de nom. Les langages impératifs tels que C, ou Pascal ne permettent pas de définir une fonction sans lui donner de nom.

Une telle fonction avec 2 arguments pourra être appliquée pour obtenir une nouvelle valeur. Dans l'exemple précédent, la fonction avaient deux arguments entiers et donnait un résultat de type entier. Si on donne le nom f à cette fonction : <source lang="ocaml">

let f = fun x y -> 2*(x+y)

</source> on pourra obtenir de nouvelles valeurs telles que : <source lang="ocaml">

f 1 2

</source>

Notez bien que pour appliquer une fonction à ses arguments, les parenthèses ne sont en général pas nécessaires, et qu'on n'utilise pas de "," pour séparer les arguments.

Notion d'environnement

Comme tous les langages de programmation, Caml garde en mémoire une liste de définitions. Chacune de ces définitions met en relation un nom ("x", "n", "length", ...) et une valeur ("3.7", "42", "fun s -> ...").

Lorsque l'on lance Caml, l'environnement contient déjà de nombreuse fonctions prédéfinies : max, min, mod, +, float_of_int, ... Une occurrence d'un nom de variable de l'environnement qui est en position de variable libre sera remplacé par la valeur correspondante.

Définitions

L'utilisateur peut rajouter des définitions dans l'environnement grâce au mot clé let

• let nom = expr permet de rajouter une définition simple dans l'environnement. Exemple : let n = 42
• let nom1 = expr1 and nom2 = expr2 permet de rajouter plusieurs définitions simultanément. Exemple : let a=1 and b=2
• let rec nom = expr permet de rajouter une définition récursive dans l'environnement. Exemple : let rec f n = if (n<1) then 0 else n+ f (n-1)
• let rec nom1 = expr1 and nom2 = expr2 permet de rajouter des définitions mutuellement récursives.

Dans chacun des cas précédents, on peut annoter la définition de types de données. Ceci évite à Caml d'avoir à deviner le type que l'on souhaite et permet de préciser la fonction : <source lang="ocaml">

let n:int = 42
let rec f (n:int) : string = if (n<1) then "" else "*" ^ (f (n-1))

</source>

Si une définition utilise le même nom qu'une définition précédente, la nouvelle définition écrase l'ancienne. Par exemple : <source lang="ocaml">

# let n=42 ;;
val n : int = 42
# let n=3.1415 ;;
val n : float = 3.1415
# n ;;
- : float = 3.1415

</source>

Définitions locales

Il est possible de modifier l'environnement de manière temporaire (locale). On utilise alors let nom = expr1 in expr2. Ceci ajoute la définition nom = expr1 dans l'environnement, mais seulement pour l'évaluation de l'expression expr2. <source lang="ocaml">

1. let x =

 let y = 42 in
   y/2 ;;

val x : int = 21

1. x ;;

- : int = 21

1. y ;;

Unbound value y </source>

Les définitions locales peuvent elles aussi être multiples (let ... and ... in), récursives (let rec ... in), mutuellement récursives (let rec ... and ... in). Elles acceptent également les annotations de type...

Transparence référentielle

Une des idées importantes en programmation fonctionnelle est la notion de « transparence référentielle » : grosso-modo, cela veut dire que l'on a toujours le droit de remplacer une expression par sa valeur sans changer le sens du programme. Bien que ceci semble évident, ce n'est pas vrai dans un langage tels que le langage C...

Pour comprendre pourquoi ceci n'est pas vrai dans un programme Pascal, considérez la fonction suivante <source lang="pascal">

function f (x:integer) : integer ;
begin
  writeln('Salut...');
  y:=0;                    { y est une variable globale }
  f:=x+1;
end;

</source> La valeur de f(3) est 4, mais on ne peut pas remplacer f(3) par 4 sans changer le comportement du programme...

C'est cette propriété qui facilite grandement la formalisation des langages fonctionnels, car on peut appliquer le principe mathématique

si $x=y$ alors $f(x)=f(y)$.

Les types

Les types atomiques

Caml (et les autres langages fonctionnels typés) possèdent plusieurs types de base tels que :

• les booléens : type bool (valeur true et false),
• les entiers : type int pour les entiers signés compris entre $-2^{30}$ et $2^{30}-1$. (Les entiers Caml sont stockés sur 31 bits...)
• les flottants : type float pour les réels en virgule flottante,
• les caractères : type char (notés entre guillemets simples)
• le type unité : type unit, dont l'unique valeur est (). (Nous verrons que ce type a une utilité...)

Même s'il ne s'agit pas vraiment d'un type atomique, nous pouvons également ajouter le type des chaînes de caractères : type string (notées entre guillemets doubles).

Caml définit de nombreuse fonctions sur ces types de données :

• opérations arithmétiques
• fonctions mathématiques usuelles (logarithme, sinus, ...)
• ...

Remarques : les opérations booléennes ("&&" pour le « et » et "||" pour le « ou ») fonctionnent de à gauche à droite, et l'argument de droite n'est évalué que si c'est nécessaires. Par exemple true || (0 = 1/0) donne la valeur true, alors que que false || (0=1/0) lève l'exception Division_by_zero.

Les fonctions

Caml utilise la notation mathématique pour écrire les types des fonctions. Si f est une fonction avec un seul argument de type string et d ont la valeur de retour est de type int (la fonction length par exemple), le type de f est noté string -> int. Dans l'in terprète Caml : <source lang="ocaml">

# length ;;
- : string -> int = <fun>

</source> Nous indique que la fonction length est bien de type string->int.

Une nouveauté des langages fonctionnels par rapports à Pascal est que string->int est un type comme les autre, et on peut donc créer une fonction d e type string -> (string -> int). Prenons par exemple la fonction suivante : <source lang="ocaml">

let f:string->int = fun s ->
                      let t = "prefix-" in
                      length (t ^ s)      (* "^" est l'opérateur de concaténation des chaînes. *)

</source> Cette fonction va calculer la longueur de son argument, auquel on a rajouter le préfixe "prefix-".

Si on veut pouvoir changer le préfixe que l'on rajoute devant s, on peut faire la fonction suivante : <source lang="ocaml">

let g:string -> ( string -> int) =
  fun prefix ->
    fun s -> length (t^s)

</source> La fonction f précédente aurait pu être obtenue grâce à "g "prefix-"".

Remarque : Caml n'utilise pas les parenthèses dans ce cas là : il notera "string -> string -> int".

Nous verrons un peu plus tard que les fonctions peuvent avoir des arguments qui sont eux mêmes des fonctions.

Exercice : essayez de trouver une fonction de type (int->int) -> int.

Les paires

Un autre type intéressant est celui des paires de valeur. Par exemple, le type "int * string" est compose de valeur "(3,"toto")". On peut accéder au premier élément d'une paire avec la fonction "fst" et au second élément avec la fonction "snd". <source lang="ocaml">

let paire = ("Bonjour !" , 42*42) in (snd paire)

</source> donnera la valeur 1764.

Ce type correspond exactement à la notion de produit cartésien utilisée en mathématiques :

$A\times B\quad =\quad \{(a,b)\ |\ a\in A\,,\,b\in B\}$

Les fonctions fst et snd sont généralement appelées projections :

$\pi _{1}:A\times B\to A\qquad (a,b)\mapsto a$

(et pareillement pour la projection sur l'élément de droite...)

Ce type de données particulièrement utile lorsque l'on veut écrire une fonction qui renvoie 2 ou 3 valeurs. On verra par la suite qu'il existe d'autre types plus appropriés si l'on veut avoir de nombreux champs, et s'il l'on veut leur donner un nom. (Dans une paire, la première composante et la seconde composante n'ont pas de nom propre...)

Notez également que les fonctions a plusieurs arguments n'utilisent en général pas de produit cartésien. Pour Caml :

• une fonction de type (A*B) -> C est une fonction à un seul argument, mais son argument est une paire,
• une fonction de type A -> B -> C est une fonction à deux arguments séparés. (Plus précisément, c'est une fonction à un argument qui renvoie une fonction à un argument.)

Exercice : cherchez une manière de passer d'une fonction de type A*B -> C à une fonction de type A -> B -> C, et vice-versa. Ces transformations s'appellent la curryfication et la decurryfication.

Écrivez les fonctions curry :: ('a*'b -> 'c) -> ('a -> 'b -> 'c) et un curry : ('a -> 'b -> 'c) -> ('a*'b -> 'c) en Caml.

Remarque : dans de nombreux cas, les parenthèses autour d'un tuple ne sont pas nécessaires :

<source lang="ocaml">

1. let x = 42 , "Toto" and y = (42 , "Toto") in

   x=y ;;

- : bool = true </source>

Dans le doute, mettez des parenthèses pour éviter des bugs.

Les listes

Le type des listes est fondamental en programmation fonctionnelle. D'une certaine manière, on peut dire qu'ils remplacent les tableaux que l'on utilise constamment en programmation impérative.

Exercice : quels sont les différences importantes (utilisation, complexité, mémoire, ...) entre les tableaux et les listes ?

En Caml, une liste est représentée entre crochets, et les éléments sont séparés par des points-virgules : <source lang="ocaml">

# let une_liste = [ 1 ; 2 ; 2 ; -1 ; 0 ] ;;
val une_liste : int list = [1; 2; 2; -1; 0]
# let une_autre_liste = [ "coucou" ; "je m'appelle" ; "Bob" ] ;;
val une_autre_liste : string list = ["coucou"; "je m'appelle"; "Bob"]

</source>

Comme vous pouvez le voir dans l'exemple au dessus, le type des listes d'entiers s'appelle "int list", le type des listes de flottants s'appelle "float list" et le type des listes de listes d'entiers s'appelle ... "int list list".

Contrairement au cas du produit cartésien de types, les éléments d'une liste doivent tous avoir le même type : <source lang="ocaml">

# let une_non_liste = [ 1 ; "Toto" ; 1.3 ] ;;
This expression has type string but is here used with type int

</source>

Attention : quel est le type de la liste suivante ?

<source lang="ocaml">

# let une_liste_bizarre = [ 1 , 2 , 3 ] ;;

</source>

La concaténation des listes s'obtient avec l'opérateur "@" et pour rajouter un element devant une liste existante on utilise "::". <source lang="ocaml">

1. 0::[1;2;3;4] ;;

- : int list = [0; 1; 2; 3; 4]

1. [-1;-2;-3;-4] @ [1;2;3;4] ;;

- : int list = [-1; -2; -3; -4; 1; 2; 3; 4] </source> Il existe en plus (dans la bibliothèque "List" les fonctions suivantes

• length,
• hd pour récupérer le premier élément d'une liste,
• tl pour récupérer la queue d'une liste (toute la liste, sans son premier élément).

Remarque : Caml possède plusieurs fonctions length : notamment une pour les listes et une pour les chaînes de caractères. Pour accéder à ces fonctions (qui ne sont pas dans la bibliothèque standard), il faut utiliser :

• List.length pour la longueur des listes,
• String.length pour la longueur des chaînes.

Vous pouvez aussi ouvrir toute la bibliothèque correspondante en utilisant la ligne "open List" au début de votre programme pour avoir accès à toutes les fonctions de la bibliothèque sur les listes...

La manière usuelle de définir des fonctions récursives sur les listes d'utilisez plutôt le filtrage ("pattern matching") décrit plus loin, ou les fonctions prédéfinies comme List.fold_left ou List.fold_right (qui seront vues en TD et TP).

--- examples et explication de fold ?

Filtrage, première partie

La notion de filtrage, aussi appelé "pattern-matching" est un outils clé pour la programmation en Caml. L'idée est d'essayer de faire correspondre une valeur avec un certain nombre de motifs. Le "case .. of" de Pascal en est une version ultra pauvre et simplifiée.

En Caml, la syntaxe du pattern matching est la suivante :

match expr with
   pattern1  ->  expr1
 | pattern2  ->  expr2
 | pattern3  ->  expr3
 | pattern4  ->  expr4

L'évaluation d'une telle expression se fait de la manière suivante : Caml évalue l'expression "expr", et essaie de la faire coïncider au motif "pattern1" (on dit que Caml essaie d'unifier l'expression "expr" avec le motif "pattern1"). Si il y parvient, il évalue l'expression "expr1" et renvoie la valeur correspondante. Caml regarde tous les motif dans l'ordre.

Par exemple, <source lang="ocaml">

match (2+2) with
   1 -> "Problème."
|  3 -> "Problème."
|  4 -> "Ouf"
|  _ -> "problème."

</source> s'évaluera en la valeur "Ouf".

Le motif "_" est un motif universel, et permet de faire ce que l'on ferait avec un "else" en Pascal. Le véritable avantage de filtrage de Caml se voit dans le filtrage sur les types "composés" comme les tuples, les listes ou les types sommes. Le filtrage permet de "déconstruire" une valeur en ces différents constituants. Par exemple, voici comment on pourrait programmer la fonction "fst" <source lang="ocaml">

 let premier p = match p with
   (x,y) -> x

</source> Pour évaluer "premier e", Caml essaie de faire coïncider la valeur de "e" avec un truc de la forme "(x,y)". S'il y arrive, alors il renvoie la valeur "x". Le typage de Caml inférera automatique que "p" doit être une paire, et il n'y a donc pas besoin de prévoir un cas par defaut.

On peut écrire des motifs plus intéressants comme <source lang="ocaml"> let imaginaire_pur x = match x with

   (0,_) -> true
 | _  -> false

</source> qui permettra de tester si la première coordonnée (partie réelle d'une nombre complexe) est nulle ou pas. On aura pu écrire de manière équivalente : <source lang="ocaml"> let imaginaire_pur x = if (fst x = 0) then true else false </source>

Question : à votre avis, que fait la fonction suivante :

<source lang="ocaml"> let une_fonction x = match x with

   (1,(y,z))  -> y-z
 | (0,(y,z)   -> y+z
 | (-1,(y,z)  -> z-y
 | (_,(y,_)   -> y

</source>

Attention : les variables qui apparaissent dans les motifs « écrasent » les variables de même nom qui peuvent apparaître avant dans l'expression :

<source lang="ocaml"> let f x = match x with

(x,_) -> x

</source>

calcule la fonction "fst". De plus, les motifs ne sont pas évalués : dans

<source lang="ocaml">

let un = 1
let g x = match x with
    un -> 1
  | 2 -> 2
  | _ -> 3

</source>

la fonction "g" prendra toujours la valeur 1 car le "un" est considéré comme un nom de variable...

Pour filtrer sur une liste, on utilise "[]" et "::". Par exemple, voici une manière de tester si une liste est vide : <source lang="ocaml">

let vide l = match l with
    [] -> true
  | x::xs  ->  false

</source> On peut écrire des fonctions comme <source lang="ocaml"> let un_element l = match l with

   [x] -> true
 | _ -> false

let deux_elements l = match l with

   x::y::[] -> true
 | _ -> false

let trois_element_ou_plus l = match l with

   _::_::_::_  -> true
 | _ -> false

</source>

--- complément sur l'unification, un peu plus de détails ?
--- un motif qui contient juste une variable est universel

Compléments syntaxiques : Caml définit les sucres syntaxiques suivants

• "or pattern" : on peut grouper plusieurs motifs qui définissent les mêmes variables et donnent la même expression

<source lang="ocaml"> let f x = match x with

   0::l | 1::l | 1::l  -> l  (* on groupe 3 motifs en une seule ligne *)
 | [] -> []
 | x::_ -> [x]

</source>

• "garde pour les motifs" : on peut « garder » les motifs par une condition avec le mot clé "when"

<source lang="ocaml"> let g x = match x with

   x::xs  when (List.lenght (f xs) = 1)  ->  true
 | _ -> false

</source>

• fonction par filtrage : comme on définit souvent des fonctions par filtrage, Caml autorise la syntaxe

<source lang="ocaml"> function

   pattern1 -> expr1
 | pattern2 -> expr2
 | ...

</source>

plutôt que

<source lang="ocaml"> fun x -> match x with

   pattern1 -> expr1
 | pattern2 -> expr2
 | ...

</source>

Remarquez que l'on ne peut faire ça que pour une fonction à une seule variable...

• fonction par filtrage : s'il n'y a qu'un seul motif, on peut alors utiliser le mot clé "fun" habituel, ce qui permet la définition d'une fonction à plusieurs arguments. (Mais dans ce cas, les parenthèses autour des tuples sont obligatoires.)

<source lang="ocaml">

1. let h = fun (x,y) z (u,v,w) -> x+y+z+v ;;

val h : int * int -> int -> 'a * int * 'b -> int = <fun> </source>

Le polymorphisme

Nous avons vu que Caml était un langage fortement typé : toutes les expressions ont un type, et on ne peut appliquer des fonctions que lorsqu'elles ont ses arguments ont le bon type.

Quel est le type de la fonction "fst" ? <source lang="ocaml">

 let fst = function (x,_) -> x

</source> Cette fonction est à la fois de type "int * int -> int", "int * float -> int", ... Pour Caml, cette fonction est de type "t1 * t2 -> t1" pour n'importe quels types "t1" et "t2". Caml dénote un tel type avec de guillemets simples de la manière suivante : <source lang="ocaml">

1. let fst = function (x,_) -> x ;;

val fst : 'a * 'b -> 'a = <fun> </source>

Complément : même si cela ne vous arrivera probablement pas dans un premier temps, sachez que seuls les valeurs évaluées peuvent être polymorphes. Par exemple, dans

<source lang="ocaml">

1. let i x = x

 let j = i i ;;

val i : 'a -> 'a = <fun> val j : '_a -> '_a = <fun> </source>

l'expression "j" n'est pas vraiment polymorphe. (C'est le sens du "_" devant le "a".) Le "'_a" veut dire : « la fonction "j" a pour type "t -> t", mais je ne connais pas encore ce type "t".) »

Dés que l'on applique "j" à quelque chose, Caml pourra savoir quel est le type de "j" :

<source lang="ocaml">

1. j 42 ;;

- : int = 42

1. j ;;

- : int -> int = <fun> </source>

Remarque : polymorphisme « ad-hoc »...

--- à faire

Les types avec constructeurs (types sommes)

Nous avons vu en TP qu'il était possible de définir un synonyme de type avec le mot clé type : par exemple type point = float * float permet de définir un nouveau type appelé "point". Les valeurs de ce type sont exactement les même que celle de type "float*float". C'est bien, mais ça ne permet de définir de nouveaux types.

Déclaration des types sommes

La notion de type avec constructeur est centrale dans les langage fonctionnelle de la famille ML ou Miranda. Ces types vont pouvoir par exemple servir à définir des types finis : <source lang="ocaml"> type jours = Lundi | Mardi | Mercredi | Jeudi | Vendredi | Samedi | Dimanche </source>

Pour déclarer un type avec constructeur, on utilise "type nom_type = Constr_1 | ... | Constr_n" où :

• nom_type est le nom du type que l'on définit. Ce nom doit forcement commencer par une minuscule. (Comme les types prédéfinis : int, float, ...)
• Constr_1 et suivants sont les constructeurs du type. Les constructeurs commencent forcément par une majuscule.

Les types avec constructeurs deviennent plus intéressant lorsque l'on rajoute des arguments à certains constructeurs. Par exemple, supposons que l'on écrive un programme qui manipule des opérations géométriques dans le plan. On pourra définir le type suivant : <source lang="ocaml"> type op = Symetrie_centrale | Rotation of float | ... </source> Un élément de ce type est soit :

• une symétrie centrale (pas besoin d'argument),
• une rotation autour de l'origine, avec un argument de type float : l'angle de la rotation. Voici quelques exemples de valeurs de type "op": "Symetrie_centrale", "Rotation (45.0)", "Rotation (0.0)" ou "Rotation (-360.0)".

Attention : on pourrait penser que "Rotation" est une fonction qui prend un argument. Ça n'est pas le cas. "Rotation" est un constructeur qui doit nécessairement s'utiliser avec exactement un argument. (Les parenthèses sont facultatives, mais conseillées.

Comme on a le droit d'utiliser n'importe quel type comme argument d'un constructeur, voici ce qu'on pourrait mettre dans le type "op": <source lang="ocaml"> type op = Symetrie_centrale | Rotation of float | Translation of float*float | Homothetie of float </source> De cette manière, on a également les translation selon un vecteur (donné par deux coordonnées flottantes) ou une homothétie de facteur flottant. Voici des nouvelles valeurs dans le type "op" : "Translation (0.0 , 1.0)", "Translation (1.3 , 3.5)" ou "Homothetie (2.0)".

Remarque : les types avec constructeurs sont aussi appelés types sommes. La raison est que le type des paires (type_1 * type_2) est appelé type produit pour une raison évidente : il correspond au produit cartésien. De manière un peu similaire, les type avec constructeurs permettent de faire l'opération d'union disjointe sur les types. Par exemple, le type "C1 of type_1 | C2 of type_2" représente exactement la réunion disjointe des types type_1 et type_2.

Bien entendu, un constructeur de type somme peut avoir des arguments dont le type est lui même un type somme...

Voici deux examples de types sommes definis par Caml : le premier est simplement le type bool : <source lang="ocaml">

 type bool = true | false

</source> Ce type, comme le type des listes est en fait défini à un niveau plus bas ; et c'est pourquoi ses constructeurs peuvent commencer par une minuscule.

Le second type interessant est le type 'a option : <source lang="ocaml">

 type 'a option = None | Some of 'a

</source> La première remarque est que ce type est paramétré par un autre type : "'a". Autrement dit, on peut parler du type "int option", ou du type "(float -> bool) option".

Le type int option contient tous les entiers (sous la forme Some n), mais également une valeur speciale None. On s'en sert en particulier pour modeliser les programmes non totaux. (Ceux qui ne donnent pas toujours une valeurs.) La valeur None joue un peu le role du pointeur NULL ou de l'entier -1.

Filtrage

On peut examiner une valeur d'un type somme grâce à l'égalité, mais cela ne permet pas d'accéder aux arguments d'un constructeur : <source lang="ocaml"> let weekend (j:jours) = if (j=Samedi) || (j=Dimanche)

 then true
 else false

</source>

Par exemple, si on veut tester si une opération géométrique (type op) est une rotation, comment faire ?

On utilise le filtrage...

Le filtrage sur un type somme permet de faire comme un case of de Pascal, mais permet en plus de récupérer les valeur des arguments des constructeurs dans des variables. <source lang="ocaml"> let rotation (o:op) =

 match o with
   Symmetrie_centrale -> false
 | Rotation (a)       -> true
 | Translation (x,y)  -> false
 | Homothetie (z)     -> false

</source> Dans le filtrage précèdent, les variables a, x, y et z servent à récupérer les valeurs des arguments des constructeurs.

Comme lors du filtrage sur les listes ou les tuples, on peut décider d'ignorer certaines valeurs avec des motifs universels. Voila une seconde version de la fonction précédente : <source lang="ocaml"> let rotation (o:op) =

 match o with
   Rotation (_) -> true
 | _            -> false

</source>

Types récursifs

La véritable puissance des types sommes est dans l'utilisation des types sommes récursifs. Nous avons écrit des fonctions récursive, mais il existe également des types récursifs. Par exemple, en Pascal, le type des liste simplement chaînées s'écrit <source lang="pascal"> type

  liste = ^cellule;
  cellule = record
              valeur: integer ;
              suivant: liste;
            end;

</source> C'est un type récursif : une liste, c'est un pointeur vers une cellule, càd vers un entier et une liste.

En Caml, le type des listes simplement chaînées s'obtient plus simplement avec : <source lang="ocaml"> type liste = Cons int*liste </source> Autrement dit, une liste est donnée par un entier et une liste.

Comme le pointeur vide n'existe pas en Caml, et que de toute façon, une liste n'est pas vraiment un pointeur, il faut en fait rajouter la possibilité d'avoir la liste vide : <source lang="ocaml"> type liste = Vide | Cons int*liste </source>

Remarque : alors que pour définir une fonction récursive, en doit utiliser le mot clé "rec", pour définir un type, il n'y a pas de mot clé spécial.

Finalement, comme les type ont le droit d'avoir des paramètres, on peut donner le type des listes contenant un type arbitraire avec : <source lang="ocaml"> type 'a liste = Vide | Cons of 'a*'a liste </source> Attention :

1. les paramètres d'un types sont précédés d'un guillemet simple,
2. on doit mettre les paramètres avant le nom du type,
3. il ne faut pas oublier de remettre les paramètres lors des appels récursifs au type.

La définition du type liste est équivalente à la définition du type list de Caml. Une des différences est que Caml utilise "[]" comme constructeur de liste vide, et "::" plutôt que "Cons". (Ce ne sont pas des constructeurs valides pour les types définis par l'utilisateur.)

On peut utiliser le filtrage comme pour un type somme non récursif. Voici par exemple la fonction qui convertit une liste à nous en une liste de Caml : <source lang="ocaml"> let rec liste2list : 'a liste -> 'a list = function

   Vide -> []
 | Cons (a,l) -> a::(liste2list l)

</source> (Remarquez l'utilisation du mot clé "function" à la place de "fun l -> match l with".)

De nombreux types de données sont facilement définissables par un type inductif correspondant. Les seuls types qui posent problème sont les types impératifs (tableaux par exemple) ou les types cycliques (listes doublements chaînées).

Nous verrons plus tard par quoi remplacer ces types, ou comment les utiliser...

Les structures

Définition du type

Caml permet de définir des structures : ce sont des tuples, mais où les éléments ont un nom. Il faut commencer par définir le type : <source lang="ocaml"> type etat_tortue= {

 coord_x : int ;
 coord_y : int ;
 angle : float ;
 penup : bool

} </source>

Notez l'utilisation du mot clé type pour faire une définition de type. Chaque champs de la structure est déclaré par "id : type", où id est le nom du champs (commençant forcement par une minuscule) et type est le type du champs.

Il n'y a pas de mot clé particulier pour dire que l'on définit une structure : ce sont les accolades "{" et "}" qui disent à Caml ce qu'il faut faire.

Attention : les noms des champs des structures doivent être unique (au moins à l'intérieur de chaque fichier). Vous ne pouvez donc pas avoir un type "triangle" avec des champs "coord_x" ou "angle" dans le même fichier.

Définition des valeurs

Pour définir une valeur d'un tels type, on utilise une syntaxe similaire à la définition du type : <source lang="ocaml"> let tortue_initiale : etat_tortue = {

 coord_x = 0 ;
 coord_y = 0 ;
 angle = 0.0 ;
 penup = false

} </source>

Notez une fois encore l'utilisation des accolades, et l'utilisation du symbole "=" pour définir les valeurs des champs de la structure.

Comme d'habitude, le type est facultatif : <source lang="ocaml"> let tortue_initiale : etat_tortue = {

 coord_x = 0 ;
 coord_y = 0 ;
 angle = 0.0 ;
 penup = false

} </source> est une définition valide.

Projections

Pour accéder à un champs dans une structure, on utilise le point "." suivi du nom du champs : <source lang="ocaml"> let distance_carree_origine (t:etat_tortue) : int = t.coord_x * t.coord_x + t.coord_y * t.coord_y </source>

Filtrage

On peut utiliser le filtrage sur une structure. Quand on fait ceci, on n'est pas obligé de préciser tous les champs : <source lang="ocaml">

... match t with
  { coord_x = x ; coord_y = y }  ->  ... x ... y ... (* x et y contiennent les coordonnées de la tortue *)

</source>

Les exceptions

Les exceptions de Caml sont un mécanisme assez polyvalent permettant surtout :

• de gérer des erreurs lors de l'évaluation d'une valeur,
• de gérer le flot de contrôle des programmes.

A plusieurs point de vue, les exception de Caml sont similaires aux exception de Java ou de Pascal. Une des différences cependant, c'est que les exceptions en Caml ne sont pas exceptionnelles.

Exceptions comme erreurs

Exemples

Bien que typées correctement, certaines expressions provoquent des erreurs lors de leur évaluation : par exemple, <source lang="ocaml"> let pb1 = 1 / 0 </source> et <source lang="ocaml"> let pb2 = List.hd [] </source> provoquent respectivement les messages suivant de la part de Caml : <source lang="ocaml"> Exception: Division_by_zero. </source> et <source lang="ocaml"> Exception: Failure "hd". </source>

Le message d'erreur doit être interprété comme : "J'ai rencontré un truc bizarre, alors je m'arrête, et je donne le nom du truc bizarre que j'ai rencontré" :

• Division_by_zero pour indiquer ... une division par 0,
• Failure "hd" pour indiquer une erreur lors de l'évaluation de la fonction hd sur un argument.

L'intérêt d'utiliser une exception plutôt que d'utiliser le type option, c'est que dans les cas d'utilisation normale, on manipule le résultat comme d'habitude. C'est seulement dans le cas exceptionnel que l'erreur est automatiquement propagée.

Provoquer des erreurs

Caml possède un type exn contenant les exceptions. Ce type est un peu comme un type somme, et Division_by_zero est un constructeur de ce type : <source lang="ocaml"> Division_by_zero ;; - : exn = Division_by_zero </source> Autrement dit, Division_by_zero est une valeur comme les autres. Ça n'est pas une erreur !.

Il est possible de provoquer soit même des erreurs quand on veut. On dit que l'on lève une exception. Le mot clé correspondant est raise. Lever l'exception Division_by_zero n'a pas beaucoup d'utilité, mais l'exception Invalid_argument peut être utile : <source lang="ocaml"> let rec fib n =

      if n<0 then raise (Invalid_argument "fib : indice negatif")
 else if n<2 then n
 else fib (n-1) + fib (n-2)

</source> L'expression raise (Invalid_argument "fib : indice negatif") permet de provoquer l'erreur Invalid_argument avec l'argument "fib : indice negatif"...

L'évaluation de fib sur des entiers positifs marche normalement, mais appeler fib (-1) provoquera la chose suivante : <source lang="ocaml"> Exception: Invalid_argument "fib : indice negatif". </source>

Remarque : moralement, le constructeur Invalid_argument a été déclaré avec Invalid_argument of string.

Il est important de constater que lorsque Caml rencontre une telle exception, l'évaluation s'arrête : par exemple dans <source lang="ocaml"> let v =

 let pb = fib (-1) in
 (* gros calcul qui n'utilise pas la variable pb *)
 ...

</source> Caml ne fait pas le gros calcul en question, mais s'arrête dés qu'il a rencontré l'exception. On se sert donc parfois des exceptions pour stopper l'exécution d'un programme où on veut...

Déclarer une nouvelle exception

Caml utilise certains types d'erreurs génériques. Les plus courants sont

• Not_found pour dire que quelque chose n'a pas été trouvé,
• Failure of string pour signaler une erreur lors que l'exécution d'un programme,
• Invalid_argument of string pour signaler un argument invalide,
• Match_Failure of string*int*int pour signaler un problème lors d'un filtrage.

Si on veut déclarer un nouveau type d'erreur, on utilise la syntaxe <source lang="ocaml"> exception Mon_erreur of string*int </source> Les arguments du constructeur d'exception servent en général à donner des information sur l'erreur : <source lang="ocaml"> let rec fib n =

      if n<0 then raise (Mon_erreur ("Indice negatif pour fib",n))
 else if n<2 then n
 else fib (n-1) + fib (n-2)

</source> permet de donner la valeur de l'indice qui a provoqué l'erreur de fib

Le mot clé exception précise que l'on déclare une exception, et on utilise ensuite la même syntaxe que pour les constructeurs.

Remarque : la différence entre le type des exceptions et les types sommes, c'est que pour les exceptions, on peut rajouter des constructeurs au fur et à mesure... (Il existe une variante des types avec constructeurs qui permet de faire ça, mais on n'en parlera pas en cours.)

En général, on utilise les exceptions prédéfinies de Caml quand elles correspondent à l'erreur en question :

• Not_found pour une fonction comme cherche_cle du TD4 par exemple,
• Invalid_argument pour préciser qu'un argument n'est pas correct, càd qu'une fonction n'est pas utilisée correctement,
• Failure pour indiquer que la fonction ne c'est pas terminée correctement, par exemple dans la fonction supprime_cle du TD4, pour préciser que la clé qu'on essaie de supprimer n'existe pas.

Remarque : il n'est pas toujours facile de décider si l'on veut utiliser Failure ou Invalid_argument. Ça n'est pas très grave...

Gestion des erreurs

Provoquer des erreurs, c'est bien, mais si on ne peut rien en faire, ça ne sert à rien... Pour gérer les exceptions, on utilise ... un gestionnaire d'exceptions, aussi appelé exception handler en anglais.

Moralement, on explique à Caml : "fait ce truc là, mais si tu rencontre cette exception, fait ce truc là à la place". Sauf qu'on écrit

try ce_truc_là
with cette_exception -> ce_truc_là_à_place

Par exemple, vous voulez utiliser le premier élément d'une liste, mais si cette liste est vide, vous voulez utiliser 0 à la place. Pour faire ça en utilisant la fonction List.hd et les exceptions, on peut écrire : <source lang="ocaml">

 ...
 let element =
   try List.hd l
   with Failure "hd" -> 0

</source>

Tout comme pour le filtrage, on peut mettre plusieurs motifs pour le gestionnaire d'exception : <source lang="ocaml"> try expr with

   Division_by_zero -> -1
 | Failure _ -> -2
 | Invalid_argument "hd" -> -3
 | Invalid_argument _ -> -4
 | _ -> raise Probleme_inconnu

</source>

Tout comme un let x = val in expr est une unique expression, un try expr with ... est une unique expression. Un try expr with ... a donc une valeur ; et cette valeur est calculée comme suit :

1. Caml évalue l'expression expr : si l'évaluation se termine correctement, alors en renvoie la valeur trouvée
2. si l'évaluation provoque une exception, alors on regarde si l'exception est prise en compte par le gestionnaire : si oui, on utilise le gestionnaire pour calculer une nouvelle valeur,
3. si l'erreur n'est pas prise en compte, on la laisse, et l'évaluation se termine donc par une erreur.

Remarque : un gestionnaire d'erreur peut lui même provoquer des erreurs. Dans ce cas, l'erreur est propagée, sauf si le gestionnaire d'erreur contient lui-même un gestionnaire d'erreurs !

Exception et flot d'exécution

Même si elles ne sont pas nécessaires, les exceptions permettent parfois (souvent) d'écrire du code un peu plus lisible (plus simple) et plus efficace. Elle permettent au programmeur de modifier le flot d'exécution de son programme...

Les instructions break et continue des langages impératifs

En C, Java ou Pascal, on peut (mais c'est mal) utiliser des instructions comme break (sortie d'une boucle), continue (passage direct à l'itération suivante), ou le goto démoniaque (sauter directement à un endroit arbitraire dans le programme).

Ce qu'ont en communs ces constructions, c'est de modifier l'ordre habituelle d'exécution du programme. C'est ce qui les rends difficile à utiliser, car on ne n'est jamais très sur de ce qui va se passer. (C'est en particulier vrai pour le goto.)

Les exceptions de Caml permettent de faire des choses similaires (modifier l'exécution du programme), mais de manière propre.

Exemples et points importants

 Attention pour les fonctions récursives

La récursivité terminale

-- à faire --

Les modules

La notion de modules et de foncteur (ou module paramétré) est une manière d'encapsuler en ensemble de définitions (types, exceptions, fonctions, ...) dans une unité. Certaine librairies sont offertes par l'intermédiaire de modules (les librairies Map et Set par exemple). Certaines autres librairies (comme List) ne contiennent pas de module explicite, mais comme un fichier est plus ou moins considéré comme un gros module, la différence n'est pas énorme.

Exemple simple : les piles

Imaginons que nous voulons créer un type de données pour les piles. Nous devons définir un type de données, une fonction push et une fonction pop : <source lang="ocaml"> type 'a pile = 'a list (* on représente une pile par une liste *) let push : 'a -> 'a pile -> 'a pile = fun a l -> a::l let pop : 'a pile -> 'a * 'a pile = function a::l -> (a,l) </source>

Nous pouvons déclarer et créer un module Pile contenant toutes ces définitions avec <source lang="ocaml"> module Pile = struct

 type 'a pile = 'a list (* on représente une pile par une liste *)
 let push : 'a -> 'a pile -> 'a pile = fun a l -> a::l
 let pop : 'a pile -> 'a * 'a pile = function a::l -> (a,l)

end </source> Lorsqu'on interprété le module, Caml répond en nous donnant l'interface du module : <source lang="ocaml"> module Pile :

 sig
   type 'a pile = 'a list
   val push : 'a -> 'a pile -> 'a pile
   val pop : 'a pile -> 'a * 'a pile
 end

</source>

Un module est un peu comme une structure avec des champs : on accède au contenu avec la notation nom_module.champ : <source lang="ocaml"> let vide : int Pile.pile = [] let p = Pile.push 0 vide </source>

De manière générale, on essaie de fournir une interface complète pour utiliser les données : <source lang="ocaml"> module Pile = struct

 type 'a pile = 'a list (* on représente une pile par une liste *)
 exception Pile_Vide
 let vide : 'a pile = []
 let est_vide : 'a pile -> bool = function
     [] -> true
   | _ -> false
 let push : 'a -> 'a pile -> 'a pile = fun a l -> a::l
 let pop : 'a pile -> 'a * 'a pile = function
     a::l -> (a,l)
   | [] -> raise Pile_Vide

end </source>

Cacher certains champs, types abstraits

Il est parfois intéressant de fournir un type de données avec des fonctions, sans pour autant expliquer comment le type est vraiment définit. On demande à l'utilisateur de n'utiliser que les fonctions fournies pour manipuler le type. Cette approche présente des intérêts dans des cas comme les arbres équilibrés, où les fonctions fournies garantisse l'équilibre, alors que le type (arbres binaires) ne le garantit pas. Ainsi, si l'utilisateur n'utilise que les fonctions fournies, tout se passera bien.

Pour éviter que l'utilisateur ne construise lui même des arbres à la main, il est possible de cacher la définition d'un type en donnant un type au module. Par exemple : <source lang="ocaml"> module type Pile_Type = sig

 type 'a pile  (* je ne met pas la définition du type *)
 exception Pile_Vide
 val vide : 'a pile
 val est_vide : 'a pile -> bool
 val push : 'a -> 'a pile -> 'a pile
 (* je ne déclare pas la fonction pop *)

end

module Pile : Pile_Type = struct

 type 'a pile = 'a list (* on représente une pile par une liste *)
 exception Pile_Vide
 let vide : 'a pile = []
 let est_vide : 'a pile -> bool = function
     [] -> true
   | _ -> false
 let push : 'a -> 'a pile -> 'a pile = fun a l -> a::l
 let pop : 'a pile -> 'a * 'a pile = function
     a::l -> (a,l)
   | [] -> raise Pile_Vide

end </source> Le fait de donner explicitement l'interface du module (sa signature) permet de cacher certaines fonctions : <source lang="ocaml">

1. Pile.push ;;

- : 'a -> 'a Pile.pile -> 'a Pile.pile = <fun>

1. Pile.pop ;;

Unbound value Pile.pop

1. Pile.vide ;;

- : 'a Pile.pile = <abstr> </source>

push existe normalement, mais pop, comme elle n'a pas été déclarée dans la signature, n'est pas utilisable à l'extérieur du module. (C'est une fonction locale au module.) De plus, la définition du type 'a pile n'est pas non plus utilisable à l'extérieur du module. La valeur de vide est donc une valeur abstraite.

Les foncteurs

Les foncteurs sont simplement des modules paramétrés par d'autres modules. Par exemple, si on a un module TypeOrdonne : <source lang="ocaml"> module type Type_Ordonne = sig

  type element
  val plus_petit : element -> element -> bool

end </source> on peut vouloir définir le type des ensembles d'éléments, avec la signature suivante : On peut donc déclarer : <source lang="ocaml"> module type ENSEMBLE = sig

 type element
 type ensemble
 val vide : ensemble
 val egal : ensemble -> ensemble -> bool
 val appartient : element -> ensemble -> bool
 val ajoute : element -> ensemble -> ensemble
 val supprime : element -> ensemble -> ensemble
 val union : ensemble -> ensemble -> ensemble
 val intersection : ensemble -> ensemble -> ensemble
 val difference : ensemble -> ensemble -> ensemble
 ...

end </source>

Pour faire ça, le plus simple (mais pas le plus efficace) est de modéliser un ensemble d'éléments par une liste triée sans doublons. Pour pouvoir trier la liste, il faut donc avoir une fonction de comparaison. On définit donc un foncteur qui va transformer un Type_Ordonne en ENSEMBLE : <source lang="ocaml"> module FaireEnsemble (O : Type_Ordonne) : ENSEMBLE with type element = O.element = struct

 type element = O.element
 type ensemble = O.element list
 let vide = []
 let egal e1 e2 = (e1=e2)
 let rec appartient a e = match e with
     [] -> false
   | b::e -> a=b || appartient a e
 let rec ajoute a e = match e with
     [] -> [a]
   | b::e when (O.plus_petit a b) && (O.plus_petit b a) -> a::b::e
   | b::e when (O.plus_petit a b) -> a::b::e
   | b::e -> b::(ajoute a e)
 ...

end </source>

exercice : finissez l'implantation du foncteur FaireEnsemble.

Une fois ce module terminé, vous pouvez définir le type des ENSEMBLES sur n'importe quel type avec une comparaison : <source lang="ocaml"> module Int_Ordonne : Type_Ordonne = struct

 type element = int
 let plus_petit n m = n-m <= 0

end module Ensemble_Int = FaireEnsemble(Int_Ordonne) </source>

Remarque : les librairies Caml contiennent une implémentation efficace pour les ensembles finis (ou pour les dictionnaires) basée sur les arbres binaires de recherche bien équilibrés. Je vous conseille d'aller voir le fichier /usr/lib/ocaml/3.???/set.mli pour voir comment cela fonctionne.