Réductions de problèmes

Transformer un problème que l’on souhaite résoudre en une ou plusieurs instances d’un autre problème que l’on sait résoudre s’appelle, en complexité algorithmique, une réduction de problème. C’est le cas du problème, utilisé dans ce projet, de couverture exacte.
Dans le cadre de ce projet, les programmes ont été écrits en python et appelés sur Ubuntu afin d’utiliser le programme Dancing Links.

Problème de couverture exacte

Définition

Le problème de couverture exacte est un problème classique en informatique et utilisé dans la résolution de problèmes logiques tels que le sudoku, le pavage par polyominos, le problème des n reines, etc.
Le problème de couverture exacte consiste à choisir des ensembles qui vont pouvoir répondre à des contraintes. Cependant, chacune de ces contraintes doivent être répondus par un unique ensemble.
Par exemple, dans le jeu du sudoku, la contrainte est que chaque case doit être remplie tel que toutes les colonnes et lignes doivent contenir exactement un chiffre de chaque type (1, 2, 3, …).

Exemples

Exemple dans les ensembles :
Prenons un ensemble E = {a, b, c} et un ensemble S = {{a, b}, {a, b, c}, {c, b}, {c}} de parties de E.
Une couverture exacte de E est C, un sous-ensemble de S, tel que chaque élément de E est un élément d’exactement un des ensembles de C .
Ici, C = {{a, b}, {c}}. IMAGE (légende : « Exemple de problème de couverture exacte dans les ensembles »)

Exemple dans les matrices :
Le problème de couverture exacte peut également être représenté sous forme matricielle. Les colonnes correspondent aux contraintes à respecter et les lignes aux choix possibles pour former la couverture exacte. Chaque case de la matrice contient un 1, si la contrainte est respectée, ou un 0, sinon.
Soit E = {1, 2, 3, 4} et S = {F, G, H, I, J, K}. Le problème de couverture exacte est représentée par la matrice suivante :

	1	2	3	4
F	0	1	1	0
G	1	0	1	0
H	0	0	0	1
I	0	1	1	1
J	1	1	0	1
K	1	0	0	0

Une couverture exacte de ce problème est C = {F, H, K}:

	1	2	3	4
F	0	1	1	0
H	0	0	0	1
K	1	0	0	0

Problèmes réduits par couverture exacte

Suite de Langford

Problème

Une suite de Langford pour un entier k est une suite de 2k entiers constitué des entiers de 1 à k. Ces entiers sont placés les uns à la suite des autre de sorte qu’un entier i soit placé à i+1 place de l’autre entier i.

Passage par une matrice

Exemple de matrice pour une suite de Langford d'ordre 3

Pour résoudre les suites de Langford, on peut le réduire en instance de couverture exacte en utilisant une matrice représentant toutes les possibilités.
La matrice associée à une suite de Langford, pour un entier k, possède la structure suivante :

• Les k premières colonnes indiquent quel entier est traité ;
• Les colonnes suivantes représentent les positions (de 0 à 2*k) où placer chaque entier ;
• Chaque ligne désigne un placement possible pour deux entiers égaux.