MATH203 : Introduction à l'algèbre

Que sont les mathématiques

En mathématique on étudie les propriétés d'objets tels que les nombres, les droites, ... Ces objets sont dénotés par des "expressions" comme

• x^2 - 1,
• Le milieu du segment [A,B],
• f est continue.

Chaque domaine des mathématiques possède son propre "voacabulaire" pour écrire des expressions et ce vocabulaire est introduit dans chacun de vos cours.

L'égalité joue un rôle particulier en mathématique car elle est "subtitutive" : si deux expression a et b sont égales, on peut remplacer a par b dans toute expression dans en changer la valeur. Il faut tout de même faire attention aux variables liées. Considérons l'exemple suivante:

 Soit y un réel et  x = y + 2, on a donc x - y = 2. 
 Pour $x\in \mathbb {R}$, définissons la fonction f(x) = x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). 
 On a donc pour tout $x\in \mathbb {R}$ f(x) = 2(x + y) (pour un x particulier). 

On a commis une erreur car x est une variable liée dans la seconde phrase. On peut toujours changer le nom des variables liées et écrire

 Soit y un réel et  x = y + 2, on a donc x - y = 2. 
 Pour $z\in \mathbb {R}$, définissons la fonction f(z) = z^2 - y^2 = (z - y)(z + y).
 On a donc f(x) = 2(x + y). 

Parmis les expressions certaines sont des "énoncés", c'est à dire des expressions dont la valeur est vraie ou fausse comme

• x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
• Les trois droites sont concourantes
• Toute fonction continue est dérivable (cet énoncé est faux, mais on peut l'écrire !)

Les mathématiques ont pour objet de découvrir quels énoncés sont vrais en partant uniquement "d'axiomes" qui sont des énoncés que l'on adment comme vrai dans un domaine donné des mathématiques.

Tous les énoncés mathématiques peuvent être ecrit en utilisant les "briques" de construction suivantes :

• Des énoncés atomiques propre à chaque domaine des mathématique comme $x\in E$, "f est continue", ... Attention: certains énoncés atomiques peuvent être transformés en énoncés plus complexe en faisant appel à une définition (c'est le cas de "f est continue").
• l'implication : notée $A\Rightarrow B$, $A\rightarrow B$, A implique B, A est une condition suffisante pour B, B est une condition nécessaire pour A, si A alors B, ...

Attention, l'implication mathématique est très différente de l'implication en langage courant qui contient souvent une relation de cause à effet voire qui exprime une équivalence : "si tu ne mange pas ta soupe tu n'aura pas de déssert" est une équivalence en langue naturelle.

$A\Rightarrow B$ est faux uniquement si A est vrai et B est faux. Dans les trois autres cas, l'implication mathématique est vraie. Pour ce persuader que c'est cela qu'il faut faire, considérer l'énoncé suivant (qui est bien vrai ?) :

 Si n est divisible par 4 alors n est pair

• Pour n = 2 on obtient "Faux implique Vrai"
• Pour n = 3 on obtient "Faux implique Faux"
• Pour n = 4 on obitent "Vrai implique Vrai"

• La conjonction : notée "A et B", "$A\land B$", ... Le sens devrait être clair
• La disjonction : notée "A ou B", "$A\lor B$", ... C'est le ou usuel. A ou B est vrai si l'un des deux enoncés au moins est vrai. Il ne faut pas le confondre avec le "ou exclusif", utilisé en informatique, et qui est faux lorsque les deux énoncés sont vrais en même temps.
• La négation : notée "non A", "A est faux", "il est faux que A", "$\lnot A$", ... On a non A est vrai si et seulement si A est faux et donc aussi non A est faux si et seulement si A est vrai.
• L'équivalence : notée "A équivalent à B", "A si et seulement si B", "A est une condition nécessaire et suffisante pour B", "$A\Leftrightarrow B$", "$A\leftrightarrow B$". "$A\Leftrightarrow B$" peut être défini comme "(A implique B) et (B implique A)".
• La quantification universelle : notée "pour tout x A", "on a A pour tout x", "quelque soit x A", $\forall xA$, ... Le sens devrait être clair, mais attention la manipulation des quantificateurs est difficile en pratique.
• La quantification existentielle : notée "il existe x tel que A", "on a A pour au moins un x", "on peut trouver un x tel que A", $\exists xA$, ... Le sens devrait être clair, mais attention la manipulation des quantificateurs est difficile en pratique.

Arithmétique

Petit théorème de Fermat

$a^{p}=a{\pmod {p}}$ si $p\in \mathbb {N}$ est premier. Ceci peut aussi s'écrire $a^{p-1}=1{\pmod {p}}$ mais il faut alors que $p$ ne divise pas $a$.