« MATH206 : Probabilités et Statistiques » : différence entre les versions

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** avec remise : <math> E(X_1X_2)= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i,j \in \Omega} X_iX_j \right)=E(X)^2 </math>
** avec remise : <math> E(X_1X_2)= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i,j \in \Omega} X_iX_j \right)=E(X)^2 </math>
** sans remise : <math> E(X_1X_2)=\frac{\sum_{i,j \in \Omega ; i \neq j }X_iX_j}{N(N-1)} = \frac{\sum_{i,j \in \Omega}X_iX_j - \sum_{i \in \Omega}X_i^2}{N(N-1)}=\frac{ \left( \sum_{i \in \Omega} X_i \right) ^2 - \sum_{i \in \Omega }X_i^2}{N(N-1)}= E(X)^2 \frac{N}{N-1} - \frac{E(X^2)}{N-1}</math>
** sans remise : <math> E(X_1X_2)=\frac{\sum_{i,j \in \Omega ; i \neq j }X_iX_j}{N(N-1)} = \frac{\sum_{i,j \in \Omega}X_iX_j - \sum_{i \in \Omega}X_i^2}{N(N-1)}=\frac{ \left( \sum_{i \in \Omega} X_i \right) ^2 - \sum_{i \in \Omega }X_i^2}{N(N-1)}= E(X)^2 \frac{N}{N-1} - \frac{E(X^2)}{N-1}</math>
Soit &Omega; une population de taille N, soit X une variable aléatoire sur &Omega;, on s'intéresse aux échantillons de taille n. On a V(x) variance de la population et <math>\sigma^2</math> la variance d'un échantillon A de taille n.
Soit &Omega; une population de taille N, soit X une variable aléatoire sur &Omega;, on s'intéresse aux échantillons de taille n.
On a V(x) variance de la population et <math>\sigma^2</math> la variance d'un échantillon A de taille n.
<math> \sigma^2 (A)=\frac{\sum_{i \in A} \left( X_i- \frac{\sum_{i \in A}X_i}{n} \right) ^2}{n}= \frac{n-1}{n} \sum_{i \in A} (X_i^2) - \frac{\sum_{i \neq j \in A} X_iX_j}{n^2}</math> D'où
<math> \sigma^2 (A)=\frac{\sum_{i \in A} \left( X_i- \frac{\sum_{i \in A}X_i}{n} \right) ^2}{n}= \frac{n-1}{n} \sum_{i \in A} (X_i^2) - \frac{\sum_{i \neq j \in A} X_iX_j}{n^2}</math> D'où
<math> E(\sigma^2(A))=\frac{n-1}{n^2} \sum_{i \in A} E(X_i^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{i \neq j \in A} E(X_iX_j)= \frac{n-1}{n} E(X^2) - \frac{n-1}{n} E(X_1X_2)</math>
<math> E(\sigma^2(A))=\frac{n-1}{n^2} \sum_{i \in A} E(X_i^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{i \neq j \in A} E(X_iX_j)= \frac{n-1}{n} E(X^2) - \frac{n-1}{n} E(X_1X_2)</math>
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==Un peu de dénombrement==
==Un peu de dénombrement==


* Cardinal du produit cartésien : le produit des cardinaux.
* Cardinal du '''produit cartésien ''': le produit des cardinaux.
* Tirage sans ordre et sans remise de p parmi n, c-à-d nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments : <math>\displaystyle C^p_n</math>
* Tirage avec ordre et sans remise de p parmi n, c-à-d nombre de p-uplets d'un ensemble à n éléments (nombre d'injections de {1;...;p} dans un ensemble à n éléments) : <math>\displaystyle A^p_n</math>
* Tirage avec ordre et avec remise de p parmi n, c-à-d nombre de tirage avec remise et avec ordre de p-élemnts parmis n (nombre d'applications de {1;...;p} dans un ensemble à n éléments) : <math>n^p</math>
* Tirage sans ordre et avec remise de p parmi n : <math>\displaystyle C^{p}_{n+p-1} = C^{n-1}_{n+p-1}</math>


* Tirage '''sans ordre et sans remise ''' de p parmi n, c-à-d nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments :
Rappel des formules usuelles pour les coefficients binomiaux.


* avec factoriel : <math>\displaystyle C^p_n = \frac{A^p_n}{p!} = \frac{n!}{(n-p)!p!} = \frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}</math>
<center><math>\displaystyle C^p_n</math></center>
<u>Démonstration :</u>
On veut choisir p+1 éléments parmi n+1, sans ordre, sans remise. Soit <math> E_n^p </math> l'ensemble des parties à p éléments de {1;...;n}.
<math> E_{n+1}^{p+1}= F_{n+1}^{p+1} \cup G_{n+1}^{p+1}</math> de sorte que <math> F_{n+1}^{p+1} </math> est l'ensemble des p+1 éléments qui contiennent n+1,
et <math> G_{n+1}^{p+1} </math> est l'ensemble des p+1 éléments qui ne contiennent pas n+1. On a <math> F_{n+1}^{p+1} \cap G_{n+1}^{p+1} = \emptyset</math>.
D'autre part <math> G_{n+1}^{p+1}=E_{n}^{p+1} </math>. Soit f: <math> E_n^p \rightarrow F_{n+1}^{p+1}</math>, <math> card(E_{n+1}^{p+1})=card(E_n^p) + card(E_n^{p+1})</math>
''Remarque : '' Deux ensembles en bijection ont le même cardinal.

* Tirage '''avec ordre et sans remise ''' de p parmi n, c-à-d nombre de p-uplets d'un ensemble à n éléments (nombre d'injections de {1;...;p} dans un ensemble à n éléments) :

<center> <math>\displaystyle A^p_n</math></center>
<u>Démonstration:</u>
Soit <math> A_n^p </math> le nombre d'injection, <math> A_n^1=n </math> et <math> A_{n+1}^{p+1}=(n+1) \times A_n^p</math>.
D'où <math> A_n^p= n A_{n-1}^{p-1}=n(n-1)(n-2) ... (n-p+1) </math>

* Tirage '''avec ordre et avec remise ''' de p parmi n, c-à-d nombre de tirage avec remise et avec ordre de p-élemnts parmis n (nombre d'applications de {1;...;p} dans un ensemble à n éléments) :

<center><math>n^p</math></center>
<u>Démonstration :</u>
<math> card(E \times E \times E \times ... \times E)=(cardE)^p=n^p </math>

* Tirage '''sans ordre et avec remise ''' de p parmi n :

<center><math>\displaystyle C^{p}_{n+p-1} = C^{n-1}_{n+p-1}</math></center>
<u>Démonstration : </u>
On place n-1 jetons dans n+p-1 cases, il reste p cases libres. Il y a <math> C_{n+p-1}^{n-1}=C_{n-1+p}^{p}</math> choix.
Soit f: <math> E \rightarrow \begin{Bmatrix}0;\dots;p\end{Bmatrix} </math> soit f associe à x le nombre de fois où x a été choisi.
On a <math> \sum_{x \in E} f(x)=p</math>, ce qui revient à n-1 jetons et p cases vides.

<center> <u>Choix de p éléments parmi n </u>
<table border="1">
<tr> <th> Ordre\Remise </th> <th> Sans (0&le;p&le;n) </th> <th> Avec (0&le;p)</th>
</tr>
<tr> <th> Sans </th> <td> <math>\displaystyle C^p_n</math> </td> <td> <math>\displaystyle C^p_{n+p-1}</math></td> </tr>
<tr> <th> Avec </th> <td> <math>\displaystyle A^p_n</math> </td> <td> <math> n^p </math> </td> </tr>
</table>
</center>


'' Rappel des formules usuelles pour les coefficients binomiaux :''

* avec factorielle : <math>\displaystyle C^p_n = \frac{A^p_n}{p!} = \frac{n!}{(n-p)!p!} = \frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}</math>
* triangle de Pascal : <math>\displaystyle C^0_n = C^n_n = 1, C^{n-p}_n = C^p_n</math> et <math>\displaystyle C^{p+1}_{n+1} = C^p_n + C^{p+1}_n (0 \leq p \leq n - 1)</math>
* triangle de Pascal : <math>\displaystyle C^0_n = C^n_n = 1, C^{n-p}_n = C^p_n</math> et <math>\displaystyle C^{p+1}_{n+1} = C^p_n + C^{p+1}_n (0 \leq p \leq n - 1)</math>
* Formule du binôme de Newton et applications comme <math>\displaystyle \sum_{p=0}^n C^p_n = 2^n</math>.
* Formule du binôme de Newton et applications comme <math>\displaystyle \sum_{p=0}^n C^p_n = 2^n</math>.

<u>Démonstration : </u>
Soit <math> f(x)=(x+1)^n </math>, <math> f(x)= \sum_{p=0}^n C_n^p x^p</math>. En particulier, f(1)=2<sup>n</sup>.


==Probabilité et lois usuelles==
==Probabilité et lois usuelles==


* Probabilité (ou loi de probabilité) sur un ensemble <math>\Omega</math>: un nombre associé P(E) aux sous-ensembles <math>E \subset \Omega</math> d'un ensemble (pas toujours tous les sous-ensembles) tel que :
* ''' Probabilité ''' (ou loi de probabilité) sur un ensemble <math>\Omega</math>: un nombre associé P(E) aux sous-ensembles <math>E \subset \Omega</math> d'un ensemble (pas toujours tous les sous-ensembles) tel que :
** <math>P(\emptyset) = 0</math>
** <math>P(\emptyset) = 0</math>
** <math>P(\Omega) = 1</math>
** <math>P(\Omega) = 1</math>
** <math>P(E \cup F) = P(E) + P(F)</math> si <math>E \cap F = \emptyset</math>
** <math>P(E \cup F) = P(E) + P(F)</math> si <math>E \cap F = \emptyset</math>
:: '' Conséquences : ''
* Évènements = Sous-ensemble. évènement certains, impossible, incompatible. Implication entre évènement et inégalité sur les probas.
:::&mu; (A <sup>C</sup>)=1- &mu; (A)
* Cas des ensembles finies et probabilité uniforme.
::: <math>[(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \subset B)] \Rightarrow \mu (B) \geq \mu (A)</math>
* Loi image.
::: <math> \mu (A \cup B)= \mu (A) + \mu (B) - \mu (A \cap B)</math> si A et B non disjoints.
* ''' Évènements = Sous-ensemble ''' . Evénements certains, impossibles, incompatibles. Implication entre évènement et inégalité sur les probas.
* Cas des ensembles finis et probabilité uniforme :
: Pour '' définir une loi de probabilité sur un ensemble fini '' &Omega;, il suffit de donner la probabilité des singletons.
<u>Démonstration : </u>
A={x<sub>1</sub>;...;x<sub>n</sub>} avec n=card(A). A={x<sub>1</sub>} &cup; {x<sub>2</sub>} &cup; ... &cup; {x<sub>n</sub>} où les singletons sont disjoints.
D'où &mu; (A)= &mu; (x<sub>1</sub>) + ... + &mu; (x<sub>n</sub>). Donner une loi sur &Omega; fini, c'est donner &mu; (x) pour tout x de &Omega;.

: La '' loi de probabilité uniforme '' sur &Omega; fini est l'unique probabilité sur &Omega; telle que &mu; (x)=p pour tout x dans &Omega; avec <math>p=\frac{1}{card(\Omega)} </math>.
<u>Démonstration : </u>
&Omega; = {x<sub>1</sub>;...;x<sub>N</sub>} avec N=card(&Omega;). D'où &mu; (&Omega;)= &mu; (x<sub>1</sub>) + ... + &mu; (x<sub>N</sub>)=Np. Or &mu; (&Omega;)=1. Donc p=1/N.

: Si A &sub; &Omega; et &mu; est une loi de probabilité uniforme sur &Omega; alors <math>\mu (A)=\frac{ card(A) }{card( \Omega )} </math>.
<u>Démonstration : </u>
N=card(&Omega;) et n=card(A) où A={x<sub>1</sub>;...; x<sub>n</sub}.
On a <math> \mu (A)= \sum_{i=1}^n \mu (x_i)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{N}=\frac{n}{N}</math>.


* ''' Loi image ''' (image réciproque d'un ensemble &Omega; dans &Omega;') :

Soit X une variable aléatoire sur &Omega;, à valeurs dans &Omega;' (X fonction de &Omega; dans &Omega;'). On a une loi &mu; sur &Omega;. On construit une loi sur &Omega;', image de &mu; par X et notée &mu;<sub>X</sub>. On a pour A inclus dans &Omega; &mu; (A)=&mu; (X<sup>-1</sup>(A)).

Si &Omega; est un ensemble ordonné et &mu; une loi sur &Omega;, on définit F la ''' fonction de répartition ''' telle que <math> x \in \Omega , F(x)= \mu ( \{ a \in \Omega \mid a \leq x \} )</math>. F est croissante et tend vers 1.
<u>Démonstration :</u>
Si x &le; y &isin; &Omega; et {a/ a &le; x} &sub; {a/a &le; y } alors &mu; ({a/a &le; x}) &le; &mu; ({a/a &le; y}); d'où F(x) &le; F(y).

* ''' Variable aléatoire discrète '''
* Lois discrètes usuelles
* Lois discrètes usuelles
** Loi indicatrice ou loi de Bernouiili
** '''Loi indicatrice''' ou '''loi de Bernouilli ''' (I(p)) :

** Loi de Pascal
Soit X une variable aléatoire sur &Omega; à valeurs dans {0;1}. X(x)=1 si et seulement si x &isin; E &sub; &Omega; (E=X<sup>-1</sup>(1)).

Cette loi est déterminée par &mu; <sub> X </sub> (1)= &mu; (E)=p (d'où &mu; <sub> X </sub> (0)= &mu; (E<sup>C</sup>)=1-p).

: Espérance : E(X)=p
: Variance : V(X)=p(1-p)
: Ecart-type : <math>\sigma (X)=\sqrt{p(1-p)} </math>

** '''Loi de Pascal''' (Pa(p)) :

&Omega; est muni d'une loi uniforme, E &isin; &Omega; est un événement. On réalise plusieurs expériences '' indépendantes'' jusqu'à obtenir un succès. Soit X le nombre total d'expériences (succès inclus). X est à valeurs dans lN*.

Cette loi est déterminée par &mu; (E)=p &isin; ]0;1[; &mu; (X=k)=(1-p) <sup>k-1</sup>p &isin ]0;1[.

: Espérance : E(X)=1/p
: Variance : V(X)=1/(p<sup>2</sup>)
: Ecart-type : <math>\sigma (X)=1/p </math>
** Loi binomiale
** Loi binomiale
** Loi hypergéométrique
** Loi hypergéométrique

Version du 28 janvier 2008 à 22:51

Feuilles de TD : 1 2


Vocabulaire de probabilité

  • Population  : Groupe d'objets étudiés. Elle peut-être :
    • "réelle" : les Français, les étudiants de ce cours...
    • "virtuelle" : l'ensemble des lancés de dés possibles...
  • Sous-population, échantillon
  • Expérience  : Choisir un élément dans une population.
  • Evénement : L'événement se produit lorsque l'élément appartient à la sous-population.
  • Partition  : Découpage d'un ensemble en plusieurs sous-ensembles disjoints.
  • Cardinal  : Nombre d'éléments d'un ensemble.
  • Fréquence d'un sous ensemble A ⊂ Ω : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle F(A)=\frac{\displaystyle {card(A)}}{\displaystyle{card}(\Omega)} }
  • Variable aléatoire et Série statistique  : Application d'une population Ω dans un ensemble X quelconque.

Estimateur ponctuel

  • Moyenne et espérance (rappel et "sens")

Formule de la moyenne (resp. espérance) d'une série statistique (resp. variable aléatore) X sur un population Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \Omega} : La moyenne est le nombre x qui remplace le mieux Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_i} pour l'ensemble de la population quand on regarde l' erreur quadratique donnée par la formule suivante (preuve facile en dérivant f): Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle f(x) = \sum_{i \in \Omega} (X_i - x)^2}

On définit deux types d'erreurs :

  1. l'erreur absolue  : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mid X_i -xi \mid }
  2. l'erreur quadratique  : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (X_i -x)^2 }

L'erreur quadratique est aussi liée à la variance V(X) car:

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle V(X) = \frac{\sum_{i \in \Omega} (X_i - E(X))^2}{Card(\Omega)} = \frac{f(E(x))}{Card(\Omega)}}

Rappel : On a aussi Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V(X) = E(X^2) - E(X)^2}

  • Propriété de la moyenne (linéarité) : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X)
  • Définition d'estimateur et de biais :

Un estimateur est une "formule" permettant de calculer un nombre à partir de la variable aléatoire restreinte à un échantillon.

Un estimateur estime un paramètre P(X) si il converge vers P(X) lorsque la taille de l'échantillon tend vers la taille de la population (cela n'a guère se sens que sur les populations infinies ...)

Un estimateur pour P(X) est sans biais, si son espérance est égale à P(X) lorsqu'on le considère comme une variable aléatoire sur la population des échantillons de taille n fabriquée à partir de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \Omega} (notée Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \Omega^{(n)}} ).

    • Estimateur de la moyenne : la moyenne sur l'échantillon est un estimateur sans biais de la moyenne sur la population entière. Soit A={1;...;n} l'échantillon, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle e(X)=\frac{\sum_{i \in A} X_i}{n} } 
         Démonstration :
         Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E ( \frac{\sum_{i \in A} X_i}{n} ) = \frac{1}{n} E(\sum_{i \in A} X_i)= \frac{1}{n} \sum_{i \in A} E(X_i)=\frac{1}{n} X n E(X) =E(X) }


    • Estimateur de la variance (avec et sans remise) :

Si on note Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \sigma^2} la variance d'un échantillon de taille n dans une population de taille N, on obtient un estimateur sans biais de la variance avec les formules suivantes:

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle \frac{n}{n-1}\sigma^2} dans le cas de tirage avec remise de l'échantillon

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle \frac{N-1}{N} \frac{n}{n-1}\sigma^2} dans le cas de tirage sans remise (qui vaut bien Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \sigma^2} lorque n = N). 

         Démonstration :
          Rappel préalable :  Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  V(X)=E( (X-E(X))^2)= E (X^2 -2XE(X)+E(X)^2)=E(X^2)-2E(X)E(X)+E(x)^2=E(X^2)-E(X)^2 }

          Calcul préalable :  Soit X une variable aléatoire sur &Omega, soient X1 et X2 deux variables aléatoires.
         ** avec remise : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E(X_1X_2)= \frac{1}{N^2} \left( \sum_{i,j \in \Omega} X_iX_j \right)=E(X)^2 }

         ** sans remise : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E(X_1X_2)=\frac{\sum_{i,j \in \Omega ; i \neq j }X_iX_j}{N(N-1)} = \frac{\sum_{i,j \in \Omega}X_iX_j - \sum_{i \in \Omega}X_i^2}{N(N-1)}=\frac{ \left( \sum_{i \in \Omega} X_i \right) ^2 - \sum_{i \in \Omega }X_i^2}{N(N-1)}= E(X)^2 \frac{N}{N-1} - \frac{E(X^2)}{N-1}}

         Soit Ω une population de taille N, soit X une variable aléatoire sur Ω, on s'intéresse aux échantillons de taille n. 
         On a V(x) variance de la population et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \sigma^2}
 la variance d'un échantillon A de taille n.
         Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  \sigma^2 (A)=\frac{\sum_{i \in A} \left( X_i- \frac{\sum_{i \in A}X_i}{n} \right) ^2}{n}= \frac{n-1}{n} \sum_{i \in A} (X_i^2) - \frac{\sum_{i \neq j \in A} X_iX_j}{n^2}}
 D'où
         Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E(\sigma^2(A))=\frac{n-1}{n^2} \sum_{i \in A} E(X_i^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{i \neq j \in A} E(X_iX_j)= \frac{n-1}{n} E(X^2) - \frac{n-1}{n} E(X_1X_2)}

         ** avec remise : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2)= \frac{n-1}{n} V(X) }

         ** sans remise : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2 \frac{N}{N-1} + \frac{E(X^2)}{N-1})= \frac{n-1}{n} \frac{N}{N-1}V(X) }

On prend donc en général, pour estimateur sans biais de V(X) sur un échantillon Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle A \subset \Omega} la valeur appelée variance empirique de Y : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle \sigma'^2 = \frac{1}{Card(A)-1}\sum_{i \in A} (y_i - \overline y)^2}

Remarque: pour faire le calcul pour l'estimateur de variance, le point principal est de calculer l'espérance de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_1X_2} où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_1} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_2} sont deux variables aléatoires obtenues à partir d'une variable aléatoire X en choisissant deux individus au hasard. On a besoin de faire ce calcul à la fois pour un choix de deux individus avec remise et sans remise.

Un peu de dénombrement

  • Cardinal du produit cartésien : le produit des cardinaux.
  • Tirage sans ordre et sans remise de p parmi n, c-à-d nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^p_n} 
         Démonstration :
         On veut choisir p+1 éléments parmi n+1, sans ordre, sans remise. Soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E_n^p }
 l'ensemble des parties à p éléments de {1;...;n}.
         Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E_{n+1}^{p+1}= F_{n+1}^{p+1} \cup G_{n+1}^{p+1}}
 de sorte que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  F_{n+1}^{p+1} }
 est l'ensemble des p+1 éléments qui contiennent n+1,
         et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  G_{n+1}^{p+1} }
 est l'ensemble des p+1 éléments qui ne contiennent pas n+1. On a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  F_{n+1}^{p+1} \cap G_{n+1}^{p+1} = \emptyset}
. 
         D'autre part Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  G_{n+1}^{p+1}=E_{n}^{p+1} }
. Soit f: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E_n^p \rightarrow F_{n+1}^{p+1}}
, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  card(E_{n+1}^{p+1})=card(E_n^p) + card(E_n^{p+1})}

         Remarque :  Deux ensembles en bijection ont le même cardinal.
  • Tirage avec ordre et sans remise de p parmi n, c-à-d nombre de p-uplets d'un ensemble à n éléments (nombre d'injections de {1;...;p} dans un ensemble à n éléments) :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle A^p_n} 
         Démonstration:
         Soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  A_n^p }
 le nombre d'injection, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  A_n^1=n }
 et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  A_{n+1}^{p+1}=(n+1) \times A_n^p}
. 
         D'où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  A_n^p= n A_{n-1}^{p-1}=n(n-1)(n-2) ... (n-p+1) }
  • Tirage avec ordre et avec remise de p parmi n, c-à-d nombre de tirage avec remise et avec ordre de p-élemnts parmis n (nombre d'applications de {1;...;p} dans un ensemble à n éléments) :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n^p} 
         Démonstration :
         Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  card(E \times E \times E \times ... \times E)=(cardE)^p=n^p }
  • Tirage sans ordre et avec remise de p parmi n :
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^{p}_{n+p-1} = C^{n-1}_{n+p-1}} 
         Démonstration : 
         On place n-1 jetons dans n+p-1 cases, il reste p cases libres. Il y a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  C_{n+p-1}^{n-1}=C_{n-1+p}^{p}}
 choix. 
         Soit f: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E \rightarrow \begin{Bmatrix}0;\dots;p\end{Bmatrix} }
 soit f associe à x le nombre de fois où x a été choisi. 
        On a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  \sum_{x \in E} f(x)=p}
, ce qui revient à n-1 jetons et p cases vides.
Choix de p éléments parmi n
Ordre\Remise Sans (0≤p≤n) Avec (0≤p)
Sans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^p_n} Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^p_{n+p-1}}
Avec Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle A^p_n} Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n^p }


Rappel des formules usuelles pour les coefficients binomiaux :

  • avec factorielle : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^p_n = \frac{A^p_n}{p!} = \frac{n!}{(n-p)!p!} = \frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}}
  • triangle de Pascal : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^0_n = C^n_n = 1, C^{n-p}_n = C^p_n} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^{p+1}_{n+1} = C^p_n + C^{p+1}_n (0 \leq p \leq n - 1)}
  • Formule du binôme de Newton et applications comme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle \sum_{p=0}^n C^p_n = 2^n} .
         Démonstration : 
         Soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  f(x)=(x+1)^n }
, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  f(x)= \sum_{p=0}^n C_n^p x^p}
. En particulier, f(1)=2n.

Probabilité et lois usuelles

  • Probabilité (ou loi de probabilité) sur un ensemble Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \Omega} : un nombre associé P(E) aux sous-ensembles Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E \subset \Omega} d'un ensemble (pas toujours tous les sous-ensembles) tel que :
    • Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle P(\emptyset) = 0}
    • Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle P(\Omega) = 1}
    • Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle P(E \cup F) = P(E) + P(F)} si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E \cap F = \emptyset}
Conséquences :
μ (A C)=1- μ (A)
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle [(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \subset B)] \Rightarrow \mu (B) \geq \mu (A)}
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mu (A \cup B)= \mu (A) + \mu (B) - \mu (A \cap B)} si A et B non disjoints.
  • Évènements = Sous-ensemble . Evénements certains, impossibles, incompatibles. Implication entre évènement et inégalité sur les probas.
  • Cas des ensembles finis et probabilité uniforme :
Pour définir une loi de probabilité sur un ensemble fini Ω, il suffit de donner la probabilité des singletons.
         Démonstration : 
         A={x1;...;xn} avec n=card(A). A={x1} ∪ {x2} ∪ ... ∪ {xn} où les singletons sont disjoints. 
         D'où μ (A)= μ (x1) + ... + μ (xn). Donner une loi sur Ω fini, c'est donner μ (x) pour tout x de Ω.
La loi de probabilité uniforme sur Ω fini est l'unique probabilité sur Ω telle que μ (x)=p pour tout x dans Ω avec Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p=\frac{1}{card(\Omega)} } .
         Démonstration : 
         Ω = {x1;...;xN} avec N=card(Ω). D'où μ (Ω)= μ (x1) + ... + μ (xN)=Np. Or μ (Ω)=1. Donc p=1/N.
Si A ⊂ Ω et μ est une loi de probabilité uniforme sur Ω alors Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mu (A)=\frac{ card(A) }{card( \Omega )} } .
         Démonstration : 
         N=card(Ω) et n=card(A) où A={x1;...; xn</sub}. 
         On a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  \mu (A)= \sum_{i=1}^n \mu (x_i)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{N}=\frac{n}{N}}
.


  • Loi image (image réciproque d'un ensemble Ω dans Ω') :

Soit X une variable aléatoire sur Ω, à valeurs dans Ω' (X fonction de Ω dans Ω'). On a une loi μ sur Ω. On construit une loi sur Ω', image de μ par X et notée μX. On a pour A inclus dans Ω μ (A)=μ (X-1(A)).

Si Ω est un ensemble ordonné et μ une loi sur Ω, on définit F la fonction de répartition telle que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x \in \Omega , F(x)= \mu ( \{ a \in \Omega \mid a \leq x \} )} . F est croissante et tend vers 1. 

         Démonstration :
         Si x ≤ y ∈ Ω et  {a/ a ≤ x} ⊂ {a/a ≤ y } alors μ ({a/a ≤ x}) ≤ μ ({a/a ≤ y}); d'où F(x) ≤ F(y).
  • Variable aléatoire discrète
  • Lois discrètes usuelles
    • Loi indicatrice ou loi de Bernouilli (I(p)) :

Soit X une variable aléatoire sur Ω à valeurs dans {0;1}. X(x)=1 si et seulement si x ∈ E ⊂ Ω (E=X-1(1)).

Cette loi est déterminée par μ X (1)= μ (E)=p (d'où μ X (0)= μ (EC)=1-p).

Espérance : E(X)=p
Variance : V(X)=p(1-p)
Ecart-type : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \sigma (X)=\sqrt{p(1-p)} }
    • Loi de Pascal (Pa(p)) :

Ω est muni d'une loi uniforme, E ∈ Ω est un événement. On réalise plusieurs expériences indépendantes jusqu'à obtenir un succès. Soit X le nombre total d'expériences (succès inclus). X est à valeurs dans lN*.

Cette loi est déterminée par μ (E)=p ∈ ]0;1[; μ (X=k)=(1-p) k-1p &isin ]0;1[.

Espérance : E(X)=1/p
Variance : V(X)=1/(p2)
Ecart-type : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \sigma (X)=1/p }
    • Loi binomiale
    • Loi hypergéométrique
    • Loi de Poisson
  • Lois continus

Théorème de la limite centrale

Intervalle de confiance

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