MATH304 : Mathématiques pour les sciences III

Séries numériques

Généralités

définition, série convergente, convergence (C) => terme général tend vers 0, exemples, opérations sur les séries.

Séries à termes positifs

convergence <-> sommes partielles bornées, comparaison u_n <= v_n, u_n/v_n tend vers l, comparaison à une intégrale, série des 1/n^a, exemples.

Convergence des séries numériques

absolue convergence (AC), AC -> C, règles de d'Alembert et Cauchy, exemples.

Séries alternées

théorème de convergence, exemples.

Produit de deux séries

théorème AC*AC-> AC, exemples.

Théorème d'Abel

énoncé, exemples.

Suites et séries de fonctions

Généralités

convergences simple, uniforme et normale, permutation des limites si convergence uniforme : continuité, intégrabilité, dérivation.

Séries entières

définition, rayon de convergence, exemples, convergence normale, détermination du rayon de convergence avec Cauchy et d'Alembert, développement en séries entières de sin(z), cos(z), e^z, 1/(1+z), ln(1+z) et (1+z)^a, propriétés de la somme d'une série entière : continuité, dérivabilité, produit de deux séries entières, application à la résolution d'une édo.

Séries de Fourier

définition, écriture réelle et complexe, développement d'une fonction 2pi périodique, calcul des coefficients, théorème de Dirichlet, formule de Parseval.

Fonctions de R^p dans R

Introduction

norme euclidienne standard, boules, voisinages et ouverts dans R^p, suites convergentes dans R^p, limite et continuité des fonctions de R^p dans R (uniquement à l'aide de suites).

Dérivées partielles

dérivées partielles premières, gradient (pas de différentielle), dérivées partielles secondes, matrice hessienne, théorème de Schwarz.

Extremums

définition, condition nécessaire, condition suffisante avec la hessienne dans le cas de R2 (p = 2).

Intégrales multiples, curvilignes et de surface

1) Intégrales multiples dans R2 : définition à partir des intégrales simples pour des domaines dont le bord est une union finie de graphes de fonctions continues de R dans R (les domaines quarrables plus généraux ne sont pas considérés), C1 difféo, jacobien et changement de variable, coordonnées polaires, notion d'aire.

2) Intégrales multiples dans R3 : idem, coordonnées cylindriques et sphériques, notion de volume.

3) Intégrales curvilignes dans R3 : produit scalaire usuel, courbes paramétrées, champs de vecteurs, circulation (= travail d'une force), changement de paramètre, théorème de Green-Riemann.

4) Intégrales de surface dans R3 : surfaces paramétrées, vecteur normal, champs de vecteurs, flux, changement de paramètre, rotationnel et théorème de Gauss, divergence et théorème d'Ostrogradski.