MATH801 : Géométrie affine et euclidienne

Géométrie Affine

Rappel des définitions

• Groupes, Anneaux, corps et espace vectoriel.
• Structure affine.

Etude de la notion de plan affine

Démonstration des théorème de Desargues et Papus

En partant d'un plan affine. c-à-d d'une plan doté d'une structure affine associé à un espace vectoriel de dimension 2, on montrera les théorèmes de Desargues et Pappus.

Pour Desargues on distinguera 6 cas (2 fois 3):

Soit $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ 3 droites 2 à 2 parallèles ou concourantes en 1 points. Soit pour tout $i\in \{1;2;3\}$, $A_{i}$ et $B_{i}$ deux points de $D_{i}$, alors on est dans l'un des trois cas suivant :

• Les trois couples de droites $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ pour $1\leq i<j\leq 3$ sont parallèles.
• Les trois couples de droites $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ pour $1\leq i<j\leq 3$ sont concourantes et les trois points d'intersection sont alignes.
• Deux des trois couples de droites $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ sont concourants, et les droites du troisième couple sont parallèles et la droite joignant les deux points d'intersection est aussi parallèle aux droites du troisième couple.

Il s'agit ici de l'expression du théorème de Desargues projectif traduit dans l'affine sans aucune perte de généralité.

On considère souvent le théorème de Desargues affine suivant qui s'en déduit trivialement: Soit $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ 3 droites 2 à 2 parallèles ou concourantes en 1 points. Soit pour tout $i\in \{1;2;3\}$, $A_{i}$ et $B_{i}$ deux points de $D_{i}$ alors si deux des trois couples de droites $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ pour $1\leq i<j\leq 3$ sont parallèles, le troisième est aussi parallèle.

Plan affine incident

Un plan affine incidant est donné par

• Un ensemble de points et un ensemble de droite.
• Une relation d'incidence ("appartenance d'un point à une droite")
• Et 3 axiomes :
  • Deux points A et B distincs sont incidents à une unique droite notée (AB).
  • Au moins 3 points
  • L'axiome des parallèles : Pour toute droite D et tout point A non incident à D, il existe une unique droite D'

telle que A soit incidente à D' et telle qu'aucun point ne soit incident à la fois à D et D'.

Définition du parallélisme

Deux droites ayant au moins 2 points incidents en commun sont confondues (égales). On distingue alors les droites concourantes qui ont éxactement un point incident commun et les droites parallèles qui en ont 0 ou qui sont confondues.

L'axiome des parrallèles est alors équivalent à : Pour toute droite D et tout point A, il existe une unique droite D' parallèle à D telle que A soit incidente à D'.

On montre alors que la relation de parallélisme est une relation d'équivalence.

Plan affine de Desargues

Un plan affine de Desargues est un plan affine incident vérifiant l'axiome de Désargues affine (il existe un axiome de Desargues projectif) : si $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ sont trois droites concourantes en un seul point ou bien 3 droites 2 à 2 parallèles, si