Nim et la théorie des jeux impartiaux

• Année 2016 -- 2017

• Tuteur: Pierre Hyvernat

• Étudiant : Luca Chapelle

---

• Les jeux de NIM
  

---

Le jeu de Nim (aussi appelé jeu des allumettes) est l'un des premiers jeux ayant été analysé mathématiquement (par Charles Bouton en 1901). Les stratégies gagnantes peuvent être calculées en utilisant le développement en base 2 des nombres, et l'opération d'"addition de Nim" (XOR). La théorie de ce type de jeux (jeux "impartiaux") est assez simple, mais de nombreuses instances de jeux sont encore non résolues.

• Histoire
  

Les jeux de NIM sont des jeux de stratégie pure, sans hasard.
Ce sont des jeux très courants et semblent avoir été pratiqué aux XVIe siècle en France.
Leur origines sont probablement plus anciennes.
On retrouve notamment des traces en Chine sous le nom de FAN-TAN et en Afrique aussi.
Le nom actuel à été donné par le mathématicien américain Charles Léonard Bouton en 1901.
C'est Bouton qui réussi a trouvé un algorithme pour gagner a tous les coups.

• Les jeux de Nim
  

Ce sont des jeux qui se jouent a deux adversaire (des variantes a 3 peuvent exister). Les deux adversaires jouent a tour de rôle et il n'y a pas de hasard.
Ces jeux se joue généralement avec des allumettes, des caillous, des os ect.....
Le joueur qui ne peut plus jouer perd la partie. A tout moment de la partie les deux joueurs connaissent toutes les informations du jeux (plateaux, nombre de pions restant).
Tous le jeux qui réunissent ces conditions sont appelés des jeux impartiaux. Et tous jeux impartiaux possède une stratégie gagnante.

---

• Le Jeu de NIM
  

Les jeux de NIM sont entièrement résolu en 1901. Charles Bouton,mathématicien américain se penche d'abord sur le jeu de NIM original.
Le jeu de NIM version classique aussi appelé jeu des allumettes.
Le jeu est composé de plusieurs tas d'allumettes.
Les régles du jeu sont :

 -On a le droit de retirer le nombre que le='on veut d'allumettes d'en un seul tas.

 -Le gagnant est celui qui retire la dernière allumettes.

Il existe beaucoup de variantes de ce jeu.

Le jeu de NIM est un jeu impartiale donc il possède une stratégie gagnante.
Une stratégie gagnante c'est quoi :
-C'est une stratégie qui permet de gagner quoique joue l'adversaire, si on ne se trompe pas.
Il y a deux positions au cours du jeu. Une position perdante et une gagnante.
Quant c'est à nous de jouer soit on est sur une position perdante est quant on joue on est obligé de renvoyer une position gagnante a l'adversaire.
Soit on est sur une position gagnante et si on connait la stratégie on envoie une position perdante a l'adversaire.
On est sur de gagner car l'adversaire est obliger de nous envoyer une position gagnante.

• La stratégie gagnante du jeu de NIM
  

C'est Charles Bouton qui trouve la stratégie gagnante en 1901.
Dans son article il se penche sur le jeu de nim en générale : Peut importe le nombre de tas et d'allumettes par tas il faut que la stratégie marche.
Auparavant les mathématiciens ce penchais que sur des cas particulier (le plus connu 1,3,5 et 7 allumettes dans 4 tas)
L'article de Bouton est considéré comme "fondateur" pour les jeux combinatoires.

Nous allons voir cette stratégie sur un exemple :
Le premier tas contient 4 allumettes, le deuxième tas en contient 2 et le troisième 3.
Ce qui nous donne cela :

 tas 1 : l l l l 

 tas 2 : l l 

 tas 3 : 1 1 1 

Pour savoir si on est dans une position gagnante ou perdante il suffit de faire une addition sans retenus en binaire (dans la base 2). Cette opération s’appelle le XOR.

 1 XOR 0 = 1 

 1 XOR 1 = 0 

Reprenons l'exemple ci-dessus :

 tas 1 : l l l l  ce qui nous donne 100 en binaire 

 tas 2 : l l      ce qui nous donne 010 en binaire 

 tas 3 : 1 1 1    ce qui nous donne 011 en binaire 

Donc il faut faire le XOR entre ces 3 tas (ou l’addition sans retenue en base 2 c est la même chose (en binaire 1+1 =0)).

 tas 1 : l l l l  ce qui nous donne 100 en binaire 

 tas 2 : l l      ce qui nous donne 010 en binaire 

 tas 3 : 1 1 1    ce qui nous donne 011 en binaire 

Le XOR de ces tas est en binaire  : 101
Selon la stratégie gagnante si le XOR de tous les tas est égale a 0 alors nous sommes dans une postions perdantes alors que si il est différents de 0 on est en position gagnante.
Donc sur notre exemple il le XOR est différent de 0 il est égale à 5 donc nous sommes sur une position gagnante.
Donc si l'on veut gagner il suffit de suivre la stratégie qui nous dit d'envoyer une position perdante a l'adversaire.
Pour se faire il suffit d'envoyer une configuration ou le XOR de tous les tas est égale a 0

Donc suivant les règles du jeu il faut modifier qu'un seul tas.
Le quelle allons nous modifier :
Pour que le XOR soit égale a 0 il faut changer le premier 1 en 0 et le troisième 1 en 0(101 --> 000)
Donc pour cela dans un seul tas nous allons changer le premier chiffre en 1 si il est égale a 0 ou en 0 si il est égale a 1.
Par exemple sur le deuxième tas 010 --> 110. Si on refais le XOR on voit que le premier 1 s'est transformé en 0.( xor = 001)
Donc il maintenant il faut choisir sur le quelle des trois tas on va modifier.
Dans l'exemple on a deux cas différents :

 le tas 2 et 3 ou il y a un 0 en premier
 le tas 1 ou il y a un 1 en premier

Si on choisi de modifier le tas 2 ou 3 on rajouterais des allumettes et c'est interdits dans ce jeu (tas 2 010(2) -->110(5))

• 1. comprendre le théorème de Sprague Grundy qui montre que tout jeu impartial est équivalent à un jeu de nim

• • jeu de Nim
  • théorème de Sprague Grundy
  • jeu de Grundy