Modèles d'évolution de populations

introduction

préambule

Dans le cadre du cours de visi201, je vous propose un logiciel créé pour simuler des évolutions de population. Dans ce document nous verrons quels sont les techniques de modélisation et de simulation pour exprimer l'évolution de population. Nous verrons ensuite comment traduire nos résultats mathématiques en programme python et créer un environnement graphique clair

rappel biologique

En biologie, il existe plusieurs effets connus qui influencent les populations ou qui les font évoluer. Les plus connus sont: la sélection naturelle, soit Evolution de population due `a des causes extérieures; elle explique le succès différentiel d’individus d’une même espèce et de leurs gènes. Elle est le moteur dans l'évolution.[4] la dérive génétique qui reste décisive dans l'évolution mais contrairement à l'évolution elle est due au hasard[2] il existe beaucoup d’autres exemples plus mineurs, comme la sélection sexuelle, l'éloignement géographique...[5]

les mathématiques

introduction

pour crée un logiciel de simulation il fallait d'abord concevoir l’algorithme mathématiquement.

pour cela nous allons nous intéresser a 2 moyens de concevoir le problème.

temps continue

Le modele simule une evolution continue d’une population. ce qui veut dire, que l’on prendra une population donnee et que l’on regardera cette population evoluer. le probleme donc de ce modele c’est qu’il peut s’averer complexe `a mettre en application car il faut prendre tous les parametres possibles pour qu’il soit effectif et peut donc demander beaucoup de ressources car il n’y a pas de limite.

les chaines de markov

le modele Markov utilise par wright fisher comme base pour les simulations sert à creer un modele mathematique qui peut predire l’etat d’une population à un temps donne sans avoir besoin de toutes les etapes precedentes. on appelle ce modele un modele à temps discontinu ou modele discret. En effet ce modele permet de simplifier les analyses puisque l’on ne s’attarde plus sur les ´etats precedents.

le modele right fisher

Wright Fisher applique les chaınes de Markov pour trouver un modele qui permet de creer une simulation realiste et simplifiee de modifications genetiques au fil des generations. la fonction utilisee sera donc:

entre autre:

dans ce modele nous prendrons un echantillon de population par exemple 20 ou 1000 individus. ensuite nous allons faire reproduire et muter ces individus. cela nous donnera une nouvelle population superieure à la population que nous avions selectionnee  enfin, nous irons selectionner aleatoirement les individus pour arriver au meme nombre que nous avions choisi au depart. on recommencera cela plusieur fois et nous arriverons à une simulation simple, rapide et efficace de population. ainsi nous pourrons ajouter ou non des parametres.

application du modèle

introduction

j’ai decide de partir dans un modele où chaque groupe represente une partie de la population, donc 

chaque groupe represente une version possible pour l’individu. j’ai donc cree mon code en fonction

code descriptif

1. simulation (a) cree une simulation: cette fonction sert a commencer le programme, une foix que l’on lance ce programme on nous demande d’insere les variables pour commencer la simulation 2. code centrale (a) naissance: cette fonction prend chaque individu et fait un test pour savoir si il cree un ou plusieur d´ecendent (b) mutation: cette fonction prend chaque decendent et fait des test de mutation (c) echantillonnage: cette fonction prend aleatoirement un nombre egale d’individu qu’au depart 3. creation graphique 3 (a) cree graph: cree un graph avec les resultat obtenues

conclusion

ainsi, dans cette presentation nous avons etudie les mathematiques derriere le modele wright fisher et abord´e la phase de programmation de la simulation, afin de mieux comprendre le fonctionnement mathematique et algorithmique du logiciel.