Ensemble de Mandelbrot et autres fractales

Qu'est ce que l'ensemble de Mandelbrot ?

L'ensemble de Mandelbrot est une fractale, c'est-à-dire une figure mathématique identique à toutes les échelles. Cet ensemble fut découvert par Gaston Julia et Pierre Fatou avant la Première Guerre Mondiale. Son nom vient du mathématicien polono-franco-américain Benoît Mandelbrot, qui réalisa les premières représentations de l'ensemble dans les années 1980. Les différents points de l'ensemble correspondent aux points des ensembles de Julia connexes, qui sont des ensembles différents pour chaque point du plan complexe.
L'ensemble de Mandelbrot est régi par une formule mathématique simple : z_n+1 = z_n * z_n + c, où z_n est un nombre complexe évoluant avec le temps et c un point complexe constant. Pour savoir si un point appartient à l'ensemble de Mandelbrot ou non, on répète ce calcul un certain nombre de fois, puis on calcule le module du point complexe obtenu. S'il est strictement inférieur à 2, le point appartient à l'ensemble. Au début du calcul pour un point complexe donnée, z_n et c sont égaux.

Programme naïf en python

Le programme dit "naïf" est un programme qui est le plus "évident" possible, c'est-à-dire sans optimisations.

def intervalle(min, max, nbInter):
    """Renvoie des tableaux contenant des valeurs pour x et y
    En entrée : min et max, les limites de l'espace et nbInter, le nombre de découpages voulus sur l'intervalle min-max
    En sortie : deux tableaux, tabx et taby, contenant les différentes valeurs de x et y selon le découpage"""
    inter = (max-min)/(nbInter-1)
    tab = [min]*(nbInter)
    for i in range (0,nbInter):
        tab[i] = min + (inter*i)
    return tab


def Mandelbrot(x,y,nbIteration,ModuleMax):
    """Indique si un nombre complexe fait partie de l'ensemble de Mandelbrot ou non
    En entrée : x et y, deux coordonées, nbIteration, le nombre de répétitions de la formule et ModuleMax, le module à ne pas dépasser
    En sortie : un entier, indiquant si le complexe appartient à l'ensemble ou non """
    nombre = x+(y*1j)
    i = 1
    z = nombre
    c = nombre
    appartient = True
    while i <= nbIteration and appartient==True :
        
        #print(z)
        #print("i ="+str(i))
        if abs(z)>ModuleMax :
            appartient = False
        #print(abs(z))
        z = (z*z)+c
        i += 1
        
    return int(appartient)

def ensembleMandelbrot(Xmin,Xmax,Ymin,Ymax,largeur,hauteur,nbIteration,ModuleMax):
    """Retourne le tableau permettant d'afficher l'ensemble de Mandelbrot
    En entrée : min et max, les bornes, nbInter, le nombre de découpages voulus, nbIteration, le nombre de répétitions et ModuleMax, le module à ne pas dépasser
    En sortie : trois tableaux, le tableau des x, le tableau des y, et le tableau d'affichage de l'ensemble de Mandelbrot"""
    tabx = intervalle(Xmin,Xmax,largeur)
    taby = intervalle(Ymin,Ymax,hauteur)
    img_nb = [[0]*len(taby) for i in range (len(tabx))]
    for j in range (len(taby)):
        for i in range (len(tabx)):
            img_nb[len(tabx)-1-j][i] = Mandelbrot(tabx[i],taby[j],nbIteration,ModuleMax)
    return (tabx, taby, img_nb)
    

def afficheMandelbrot(tab,tab2,tab3):
    fig = px.imshow(tab,origin="lower",color_continuous_scale=["#F8F8FF","#000000"],x=tab2,y=tab3)
    fig.show()