« Modélisation de la ruine du joueur » : différence entre les versions
(Redirection supprimée vers Modélisation de la ruine du joueur 2020-2021) Balise : Redirection supprimée |
(Estimation probabilité Victoire) |
||
Ligne 1 : | Ligne 1 : | ||
== |
==Modélisation de la ruine du joueur== |
||
Ligne 10 : | Ligne 10 : | ||
Pour cela le joueur va jouer à la roulette en misant à chaque fois 1 jeton qu'il peut doubler ou perdre. |
Pour cela le joueur va jouer à la roulette en misant à chaque fois 1 jeton qu'il peut doubler ou perdre. |
||
== |
==Estimations numériques== |
||
Notre objectif est de trouver de : |
Notre objectif est de trouver de : |
||
Ligne 17 : | Ligne 17 : | ||
- calculer la durée de la partie, soit le joueur arrête de jouer, donc il atteint l'une des conditions d'arrêt. |
- calculer la durée de la partie, soit le joueur arrête de jouer, donc il atteint l'une des conditions d'arrêt. |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
On veut trouver une formule qui permet de trouver la probabilité de victoire lors d'une soirée au casino selon les paramètres de départs, soit la somme de départ et la somme voulue et la probabilité de victoire. |
|||
⚫ | |||
On a la formule suivante : <math> p = \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^{a}}{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}} </math> |
|||
... |
|||
====Démonstration==== |
|||
⚫ | |||
On commence avec la loi de probabilité totale : |
|||
<math> P_k(A) = P_k(A|Y_1 = 1)P_k(Y_1 = 1) + P_k(A|Y_1 = -1)P_k(Y_1 = -1) = P_{k+1}(A)p + P_{k-1}(A)q </math> |
|||
Ce qui donne le système suivant : |
|||
<math> |
|||
\begin{cases} |
|||
p_k = p \cdot p_{k+1} + q \cdot p_{k-1}, & \text{pour } 1 \leq k \leq a + b \\ |
|||
p_0 = 0, \\ |
|||
p_{a+b} = 1. |
|||
\end{cases} |
|||
</math> |
|||
'''On cherche l'équation quadratique : ''' |
|||
On a l'équation : <br> |
|||
<math> p_k = p \cdot p_{k+1} + q \cdot p_{k-1} </math> <br> |
|||
On remplace <math> p_k </math> par <math> x^{k} </math> : <br> |
|||
<math> x^{k} = p \cdot x^{k+1} + q \cdot x^{k-1} </math> <br> |
|||
On divise par <math> x^{k-1} </math> : <br> |
|||
<math> x = p \cdot x^{2} + q </math> <br> |
|||
''' On résoult l'équation ''' |
|||
<math> p \cdot x^{k+1} - x^{k} + q \cdot x^{k-1} = 0 </math> |
|||
Ce qui donne les solutions : <math> x_1 = 1 \text{ et } x_2 = \frac{q}{p} </math> |
|||
''' On a alors :''' |
|||
<math> p_k = \alpha \cdot x_1^{k} + \beta \cdot x_2^{k} </math> <br> |
|||
<math> \iff p_k = \alpha + \beta \cdot (\frac{q}{p})^{k} </math> |
|||
''' On en déduit les valeurs <math> \alpha \text{ et } \beta </math>''' : |
|||
<math> |
|||
\begin{cases} |
|||
0 = \alpha + \beta \\ |
|||
1 = \alpha + \beta \cdot (\frac{q}{p})^{k} \\ |
|||
\end{cases} |
|||
\iff \begin{cases} |
|||
\alpha = - \beta \\ |
|||
1 = - \beta + \beta \cdot (\frac{q}{p})^{k} \\ |
|||
\end{cases} |
|||
\iff \begin{cases} |
|||
\alpha = - \beta \\ |
|||
1 = \beta \left(-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b} \right) \\ |
|||
\end{cases} |
|||
\iff \begin{cases} |
|||
\alpha = - \beta \\ |
|||
\beta = \frac{1}{-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}} \\ |
|||
\end{cases} |
|||
</math> <br> |
|||
On obtient : |
|||
<math> |
|||
\alpha = -\left(\frac{1}{-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}}\right) |
|||
\text{ et } |
|||
\beta = \frac{1}{-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}} |
|||
</math> <br> |
|||
D'où : |
|||
<math> |
|||
p_a = -\left(\frac{1}{-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}}\right) |
|||
+ \frac{\left( \frac{q}{p} \right)^{a}}{-1 + \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}} |
|||
\iff |
|||
p = \frac{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^{a} }{1 - \left( \frac{q}{p} \right)^{a+b}} |
|||
</math> |
|||
⚫ | |||
... |
... |
||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
... |
... |
Version du 8 mai 2024 à 19:24
Modélisation de la ruine du joueur
Nous nous intéressons à l'étude des gains d'un joueur lors d'une soirée au casino, dans lequel le joueur joue à la roulette russe.
Le joueur commence avec une somme initiale comprise entre 0 et la somme souhaitée, le joueur s'arrête uniquement si :
- il obtient la somme souhaitée - le joueur est ruiné (la somme est égale à 0)
Pour cela le joueur va jouer à la roulette en misant à chaque fois 1 jeton qu'il peut doubler ou perdre.
Estimations numériques
Notre objectif est de trouver de :
- calculer la probabilité de victoire, soit d'atteindre la somme souhaitée, en partant de la somme de départ. - calculer la durée de la partie, soit le joueur arrête de jouer, donc il atteint l'une des conditions d'arrêt.
Estimation de la probabilité de gagner
On veut trouver une formule qui permet de trouver la probabilité de victoire lors d'une soirée au casino selon les paramètres de départs, soit la somme de départ et la somme voulue et la probabilité de victoire.
On a la formule suivante :
Démonstration
On commence avec la loi de probabilité totale :
Ce qui donne le système suivant :
On cherche l'équation quadratique :
On a l'équation :
On remplace par :
On divise par :
On résoult l'équation
Ce qui donne les solutions :
On a alors :
On en déduit les valeurs :
On obtient :
D'où :
Estimation du temps moyen de jeu
...
Simulation d'une partie
Afin de modéliser la ruine du joueur on peut utiliser ce programme python :
...