MATH304 : Mathématiques pour les sciences III

Séries numériques

1) Généralités : définition, série convergente, convergence (C) => terme général tend vers 0, exemples, opérations sur les séries.

2) Séries à termes positifs : convergence <-> sommes partielles bornées, comparaison u_n <= v_n, u_n/v_n tend vers l, comparaison à une intégrale, série des 1/n^a, exemples.

3) Convergence des séries numériques : absolue convergence (AC), AC -> C, règles de d'Alembert et Cauchy, exemples.

4) Séries alternées : théorème de convergence, exemples.

5) Produit de deux séries : théorème AC*AC-> AC, exemples.

6) Théorème d'Abel : énoncé, exemples.

Suites et séries de fonctions

1) Généralités : convergences simple, uniforme et normale, permutation des limites si convergence uniforme : continuité, intégrabilité, dérivation.

2) Séries entières : définition, rayon de convergence, exemples, convergence normale, détermination du rayon de convergence avec Cauchy et d'Alembert, développement en séries entières de sin(z), cos(z), e^z, 1/(1+z), ln(1+z) et (1+z)^a, propriétés de la somme d'une série entière : continuité, dérivabilité, produit de deux séries entières, application à la résolution d'une édo.

3) Séries de Fourier : définition, écriture réelle et complexe, développement d'une fonction 2pi périodique, calcul des coefficients, théorème de Dirichlet, formule de Parseval.

Fonctions de R^p dans R

1) Introduction : norme euclidienne standard, boules, voisinages et ouverts dans R^p, suites convergentes dans R^p, limite et continuité des fonctions de R^p dans R (uniquement à l'aide de suites).

2) Dérivées partielles : dérivées partielles premières, gradient (pas de différentielle), dérivées partielles secondes, matrice hessienne, théorème de Schwarz.

3) Extremums : définition, condition nécessaire, condition suffisante avec la hessienne dans le cas de R2 (p = 2).

Intégrales multiples, curvilignes et de surface

1) Intégrales multiples dans R2 : définition à partir des intégrales simples pour des domaines dont le bord est une union finie de graphes de fonctions continues de R dans R (les domaines quarrables plus généraux ne sont pas considérés), C1 difféo, jacobien et changement de variable, coordonnées polaires, notion d'aire.

2) Intégrales multiples dans R3 : idem, coordonnées cylindriques et sphériques, notion de volume.

3) Intégrales curvilignes dans R3 : produit scalaire usuel, courbes paramétrées, champs de vecteurs, circulation (= travail d'une force), changement de paramètre, théorème de Green-Riemann.

4) Intégrales de surface dans R3 : surfaces paramétrées, vecteur normal, champs de vecteurs, flux, changement de paramètre, rotationnel et théorème de Gauss, divergence et théorème d'Ostrogradski.