INFO821 : Infographie

TPs

TP : être capable de lire le format des fichiers .mesh sur le site d'image 3D de l'INRIA et d'afficher ces images en OpenGL

TP2 : représentation des surfaces orientables par le type vu en cours

Représentation des objets

Nombres

• Nombres entiers (pb de taille)
• Nombres flottants (pb de précision) norme IEEE 754

Points

• Tableaux (ou liste)
• Coordonnées cartésiennes ou projective
• On ne calcule qu'une fois les coordonnées de chaque point

Courbes

• Liste ou tableaux de pointeurs ou d'indices
• Courbe paramétrée
• Discrétisation à vitesse constante

 $\delta _{x}={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}.\delta _{t}\Rightarrow \delta _{t}={\frac {\delta _{x}}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$

• Discrétisation utilisant la courbure:

 $\delta _{x}=\alpha {\frac {x'y''-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{\frac {3}{2}}}}\Rightarrow \delta _{t}=\alpha {\frac {x'y''-x''y'}{(x'^{2}+y'^{2})^{2}}}$

Surfaces

• Liste de triangles
• Liste de Quadrilatères et polygones (attention plan)
• Représentation avancée par demi-arrêtes
• Surfaces paramétrées
• Surfaces implicites

Triangulation de surfaces implicites Algorithme du marching-cube

• Idée générale
• Découpage du cube en tétrahèdre
• Algorithme

Traitement des triangulations

• Permutation des arrêtes
• Changement de résolution

Bases mathématiques (vues au fur et à mesure)

Coordonnées cartésiennes dans le plan et l'espace

• $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ dans le plan
• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y,z) \in \mathbb{R}^3} dans l'espace
• Généralisation dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{R^n}}

Distinction en point et vecteur (direction).

Problèmes de représentation en machine : virgule flottante, virgule fixe, entier ... Tableau ou enregistrement (record).

Opérations sur les vecteurs : sommes, multiplication par un scalaire, produit scalaire et produit vectoriel.

Coordonnées projectives dans le plan et l'espace

Idée : ajouté les points à l'infini. Intérêt : simplifie beaucoup de choses (transformation affine, projection, classification des quadriques, ...)

• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:t) \in \mathbb{P}^2} dans le plan projectif si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y,t)\neq(0,0,0)} . De plus si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a \neq 0} , Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:t)=(ax:ay:at)}
• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:t) \in \mathbb{P}^3} dans l'espace projectif
• Généralisation dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{P}^n}

Comparaison avec les coordonnées cartésiennes : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:0)} est le point à l'infini dans la direction (x,y,z) ou (-x:-y:-z). Parfois utile de distinguer Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:0)} de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (-x:-y:-z:0)} . Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:t)} représente le point Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x/t,y/t,z/t)} si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle t\neq 0} . Donc le point de coordonnées cartésiennes Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y,z)} à les coordonnées projectives Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (ax:ay:az:a)} pour tout Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a} .

Opération sur les vecteurs : attention à la somme !

Équation d'un plan et d'une droite

Donnée d'une droite du plan par un point Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x_0,y_0)} et une direction Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (u,v)} . Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (-v,u)} est alors une direction orthgonale (on dit normale à la droite). Équation implicite en cartésien : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \langle (x-x_0, y-y_0) \mid (-b, a)\rangle = 0} . C'est à dire: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle -vx + uy + vx_0 - uy_0 = 0} . En projectif: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle ax + by + ct = 0} (l'équation est homogène).

Donnée d'un plan de l'espace par un point Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x_0,y_0,z_0)} et une direction normale Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (a,b,c)} . Équation implicite en cartésien : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \langle (x-x_0, y-y_0, z-z_0) \mid (a, b, c)\rangle = 0} . C'est à dire: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle ax + by + cz - ax_0 - by_0 -cz_0 = 0} . En projectif: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle ax + by + cz + dt = 0} (l'équation est homogène).

Donnée d'une droite de l'espace par un point Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x_0,y_0,z_0)} et une direction Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (u,v,w)} . ...