MATH801 : Géométrie affine et euclidienne

Géométrie Affine

Rappel des définitions

• Groupes, Anneaux, corps et espace vectoriel.
• Structure affine.

Etude de la notion de plan affine

Démonstration des théorème de Desargues et Papus

En partant d'un plan affine. c-à-d d'une plan doté d'une structure affine associé à un espace vectoriel de dimension 2, on montrera les théorèmes de Desargues et Pappus.

Pour Desargues on distinguera 6 cas (2 fois 3):

Soit $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ 3 droites 2 à 2 parallèles ou concourantes en 1 points. Soit

Plan affine incident

Un plan affine incidant est donné par

• Un ensemble de points et un ensemble de droite.
• Une relation d'incidence ("appartenance d'un point à une droite")
• Et 3 axiomes :
  • Deux points A et B distincs sont incidents à une unique droite notée (AB).
  • Au moins 3 points
  • L'axiome des parallèles : Pour toute droite D et tout point A non incident à D, il existe une unique droite D'

telle que A soit incidente à D' et telle qu'aucun point ne soit incident à la fois à D et D'.

Définition du parallélisme

Deux droites ayant au moins 2 points incidents en commun sont confondues (égales). On distingue alors les droites concourantes qui ont éxactement un point incident commun et les droites parallèles qui en ont 0 ou qui sont confondues.

L'axiome des parrallèles est alors équivalent à : Pour toute droite D et tout point A, il existe une unique droite D' parallèle à D telle que A soit incidente à D'.

On montre alors que la relation de parallélisme est une relation d'équivalence.

Plan affine de Desargues

Un plan affine de Desargues est un plan affine incident vérifiant l'axiome de Désargues affine (il existe un axiome de Desargues projectif) : si $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ sont trois droites concourantes en un seul point ou bien 3 droites 2 à 2 parallèles, si pour tout $i\in \{1;2;3\}$, $A_{i}$ et $B_{i}$ sont deux points de $D_{i}$, alors si 2 des 3 couples de droites $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ pour $1\leq i<j\leq 3$ sont parallèles, alors le troisième l'est aussi.