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Objet de la proposition

Cette proposition de projet porte sur le calcul des variations dans la modélisation et la simulation des structures géométriques. Plus spécifiquement, nous souhaitons centrer notre étude autour des problématiques du transport optimal numérique et des formes singulières. Les champs d'application de tels travaux relèvent aussi bien de l'analyse et de l'interpolation d'images que de l'infographie ou des problèmes inverses.

Le contexte

Je decouperai cette partie en deux. Un contexte scientifique, ou l'on souligne l'importance grandissante de l'analyse d'image et de formes et les succes des methodes variationnelles pour ce faire, avec quelques exemples du type d'echange qu'on imagine (e.g. Mumford-Shah, qui a donne des problemes theoriques difficiles ainsi que des methodes numeriques efficaces base sur le graph-cut?). Specificite de ce domaine par rapport a l'analyse numerique 'classique', i.e. avec elements finis: on a besoin d'outils informatiques, e.g. geometrie algorithmique, geometrie discrete, graphes, etc.

Contexte local: le LJK/LAMA reunissent des personnes competentes dans ces deux domaines, calcul des variation et geometrie numerique, mais n'en tire pas tous les benefices car ces competences sont divisees entre equipes, ce qui limite les interactions.

Il faut desamorcer les bombes rapidement, en soulignant les differences avec les equipes EVASION et PERCEPTION, tout en indiquant qu'il peut y avoir matiere a collaboration.

Les problématiques \emph{image-vision-graphique} sont des domaines d'excellence du LJK clairement identifiés au niveau international. Comme le souligne le dernier rapport d'évaluation de l'AERES, les interactions entre les mathématiciens et les équipes à dominante plus informatique de ces secteurs d'activité sont encore modestes. En s'appuyant sur les recrutements récents de chercheurs au sein du LJK et du LAMA (Chambéry), à l'interface de l'analyse mathématique et de l'informatique, nous souhaitons par ce projet contribuer à l'émergence d'une nouvelle dynamique basée sur la valorisation et le développement de thématiques récentes développées au sein de la communauté du calcul des variations.

Parmi celles-ci, les avancées dans le domaine du transport optimal et de la modélisation d'entités géométriques complexes nous semblent être des problématiques prommeteuses. C'est autour de ces deux sujets que nous articulons le programme scientifique de ce projet.

Projet scientifique

Un des enjeux majeurs de l'analyse d'images est la détection et le suivi d'une forme complexe dans son environnement bi ou tridimensionnel. Un premier aspect relatif à cette problématique est la modélisation et la détection de structures singulières dans une image telles que les points, les filaments ou les surfaces de transitions. Les différentes approches classiques que sont devenues les méthodes \emph{level set} ou \emph{phase field} n'apportent pas de réponse satisfaisante à cette question car elles sont par nature dédiées à la modélisation d'objet lisses qui ont une dimension de moins que l'espace ambiant (autrement dit des courbes dans le plan ou des surfaces dans l'espace). Lorsque l'objet que l'on souhaite modéliser est de nature différente topologiquement ou du point de vue de sa régularité, de nouvelles méthodes doivent être développées. Cette question fait l'objet de la première partie de notre projet scientifique.

Une fois ces entités géométriques identifiées dans une séquence d'images, il est souvent pertinent de générer un ensemble d'images intermédiaires afin d'augmenter la quantité d'informations disponibles sans pour autant faire appel à de nouvelles prises de vues. Le transport optimal est une méthode d'interpolation entre images qui a connu un succès importants ces dernières années et de nombreuses variantes ont été proposées. Par définition le transport optimal traite l'image d'un point de vu global et ne tient pas compte d'éven\-tu\-elles informations structurelles additionnelles dont on pourrait disposer : un objet élastique ou un fluide ne peuvent être déformées de manière réaliste sans que l'on tienne compte de contraintes mécaniques. De façon analogue, dans un contexte plus géométrique, la régularité d'un objet ou sa nature topologique sont des notions que l'on souhaiterait préserver. C'est sur ce point que porte le deuxième volet de notre projet. Signalons qu'un projet ANR porté par E. Maitre et associant plusieurs membres de l'équipe est actuellement en cours. La proposition ici présente porte plus spécifiquement sur les adaptations que nous souhaiterions apportée dans le contexte de l'analyse d'image et de l'infographie.

Plusieurs projet ANR connexes à ces question et impliquant les membres de ce projet ont été acceptés ces dernières années démontrant la grande vitalité et les potentialités de ces questions : \\

• Le projet \og DigitalSnow \fg\, porté par David Coeurjolly (LIRIS, Lyon): géométrie discrète et mathématiques appliquées pour la métamorphose de neige . Il s'agit de modéliser et simuler les grains de neige à l'échelle microscopique. \'Etude des structures de représentation des partitions et estimateurs géométriques discrets. \\

Autres partenaires: LAMA (Chambéry), CEN (Grenoble).\\ Membres du projet : J-O. Lachaud, \'E. Oudet.\\

• Le projet \og Gaos \fg\, porté par Dorin Bucur (LAMA, Chambéry): analyse géométrique des formes optimales. Régularité des formes optimales, la classe des corps convexes, inégalités géométriques.\\

Autres partenaires: IECN (Nancy), ENS Cachan antenne de Bretagne.\\ Membres du projet : D. Bucur, \'E. Oudet.\\

• Le projet \og Tommi \fg\, porté par Emmanuel Maitre (LJK, Grenoble): transport optimal et image, utilisation d'informations mécaniques pour l'appariement d'images. \\

Autres partenaires: LAMA (Chambéry), Paris V.\\ Membres du projet : E. Maitre, V. Perrier, \'E. Oudet, Q. Merigot.\\

• le projet Giga, porte par Frederic Chazal (INRIA Saclay): inference et approximation geometrique

Autres partenaires: LJK, GIPSA-LAB, INRIA Sophia-Antipolis Membres du projet: Q. Merigot, B. Thibert