Reseau inverse

Formula : $A:=X(t_{1},\dots ,t_{n})\mid \neg A\mid A\vee B\mid A\wedge B\mid \forall xA\mid \exists xA$

Syntaxe

On quotiente les formules pas les lois de De Morgan.

Clause (à démontrer) : $\Gamma :=1\mid A.\Gamma$ (le point est une conjonction)

Séquent : $\Delta :=0\mid \Gamma ,\Delta$ (la virgule est une dicjoncyion)

Règles logiques

${\frac {\vdash A.B.\Gamma ,\Delta }{\vdash A\wedge B.\Gamma ,\Delta }}\wedge _{i}$

${\frac {\vdash A.\Gamma ,B.\Gamma ,\Delta }{\vdash A\vee B.\Gamma ,\Delta }}\vee _{i}$

${\frac {\vdash A.\Gamma ,\Delta }{\vdash \forall xA.\Gamma ,\Delta }}\forall _{i}\;\;\;(x{\hbox{ non libre dans la conclusion}})$

${\frac {\vdash A[x:=t].\Gamma ,\Delta }{\vdash \exists xA.\Gamma ,\Delta }}\exists _{i}$

${\frac {}{\;\epsilon \;}}{\hbox{axiom}}$

${\frac {\Gamma .\Gamma ',\Delta }{\vdash A.\Gamma ,\neg A.\Gamma ',\Delta }}{\hbox{resolution}}$

${\frac {\Delta }{\vdash \vdash A.\neg A.\Gamma ,\Delta }}{\hbox{tautology elimination}}{\hbox{(inutile)}}$

${\frac {\vdash A.\neg A,\Delta }{\vdash \Delta }}{\hbox{coupure}}{\hbox{(inutile, pas la propriete de la sous-formule)}}$

Règles structurelles

${\frac {\vdash A.\Gamma ,\Delta }{\vdash \Gamma ,\Delta }}{\hbox{(inutile, affaiblissement, pas la propriete de la sous-formule)}}$

${\frac {\vdash A.\Gamma ,\Delta }{\vdash A.A.\Gamma ,\Delta }}{\hbox{(contraction)}}$

${\frac {\vdash A.A.\Gamma ,\Delta }{\vdash A.\Gamma ,\Delta }}{\hbox{(inutile)}}$

${\frac {\vdash \Gamma ,\Gamma ,\Delta }{\vdash \Gamma ,\Delta }}{\hbox{(reutilisation de clauses)}}$

${\frac {\vdash \Gamma ,\Delta }{\vdash \Gamma .\Gamma ',\Gamma ,\Delta }}{\hbox{(inutile, subsumption, tres efficace en recherche de preuve)}}$

${\frac {\vdash \Gamma ,\Delta }{\vdash \Delta }}{\hbox{(inutile, affaiblissement bis, pas la propriete de la sous-formule)}}$

${\frac {\vdash \Gamma ,\Delta \;\;\;\Gamma ',\Delta }{\vdash \Gamma .\Gamma ',\Delta }}{\hbox{Splitting}}{\hbox{(inutile, tres efficace en recherche de preuve)}}$

Calcul

Éliminer certaines règles ???

En particulier la coupure et éventuellement les deux autres qui font échouer la propriété de la sous-formule.