INFO401 corr TD TP

Préliminaires

Pour afficher correctement dans le wiki, allez voir un peu comment on fait. Vous pouvez regarder par exemple sur le wiki du cours ou directement sur des articles de Wikipedia. La documentation de mediawiki se trouve ici.

Un truc important : pour rentrer du code Caml, il faut mettre les balises <source lang="ocaml">...</source>" autour de votre code. Allez par exemple voir le début de la section sur le TD1 et TP0.

Vous pouvez aller discuter des corrections dans les sujets de discussions associes...

Le TD1 et le TP0

Pour vous montrer un exemple de ce que j'attends, voila la correction de la fonction factorielle. (C'était facile...) J'ai volontairement mis beaucoup de commentaires...

La fonction factorielle (TD1, exercice 2, question 2)

Le but est de calculer la fonction $!n=1\times 2\times \cdots \times n$ par récurrence. La version typée est verbeuse de la fonction correspondante en Caml donne :

<source lang="ocaml"> (* fonction factorielle : c'est la factorielle habituelle des mathématiciens... *) let rec fact (n:int) : int =

 if (n>1)
 then  n * (fact (n-1))
 else 1      (* rq : pour que le programme ne boucle pas sur les valeurs négatives, on renvoie 1 dés que n<1 *)

</source>

Comme la fonction est récursive, il ne faut pas oublier le rec au début de la définition.

On aurait pu faire une autre version, qui fonctionne différemment sur les nombres négatifs :

<source lang="ocaml"> let rec fact' = function

  n when (n>0) -> n * fact' (n-1)
| n when (n<0) -> n * fact' (n+1)
| _ -> 1  (* si n n'est ni plus petit que 0 ni plus grand que 0, n est égal à 0, et on renvoie donc 1 *)

</source>

J'ai volontairement mis une version qui contient plusieurs choses que nous n'avons pas encore vues en cours :

utilisation de "function" plutôt que fun,
le symbole "|",
le mot clé "when".

Vous devriez pouvoir comprendre ce que fait la fonction. Sinon, voici une version que vous auriez pu écrire :

 if (n=0)
 then 1
 else begin
   if (n>0)
   then n*fact_bis (n-1)
   else n*fact_bis (n+1)   (* dans ce cas, n est forcement négatif *)
 end

</source>

Les fonctions sommes

Il s'agit ici d'écrire la fonction qui va additionner les carrés des entiers de 1 jusqu'à un nombre donné.

Cela donne : <source lang="ocaml"> let rec somme_carre b = if (b=0) then 0 else (b*b) + somme_carre (b-1);; </source>

Ensuite on nous demande de calculer la somme des cubes des entiers de 1 jusqu'à un nombre donné. On pourrait faire le même programme en remplaçant b*b par b*b*b, mais on va définir une fonction puissance (car elle n'existe pas d'origine sous Caml), qui nous servira aussi pour la suite... :

<source lang="ocaml"> let rec puissance x a = if (a = 0) then 1 else x * puissance x (a-1);; </source>

On doit maintenant calculer la somme des $i^{i}$ , i variant de 1 à un nombre donné :

<source lang="ocaml"> let rec somme_puissance b = if (b=0) then 0 else (puissance b b) + somme_puissance (b-1);; </source>

On peut définir une unique fonction qui permettrait de faire toutes ces sommes, celle-ci aura pour argument une fonction quelconque :

<source lang="ocaml"> let rec somme_fonction n f = (* f étant une fonction *) if (n=0) then f 0 else f n + somme_fonction (n-1) f;; </source>

cette fonction est de type "int -> fun -> int"

Nombres pairs et impairs (TP0 Partie 2 Question 2)

Il faut écrire les fonctions récursives pairs et impairs, qui renvoient vrai si le nombre est pair (respectivement impair) et faux si le nombre est impair (respectivement pair); Ici nous devons déclarer simultanément les deux fonctions, car chacune fait appel à l'autre lors de son exécution.

Cela donne :

<source lang="ocaml"> let rec pair n =

 if (n=0) then true
 else impair (n-1)

and impair n =

 if (n=0) then false
 else  pair (n-1);;

</source>

Suite de Fibonacci

La suite de fibonacci est tel que u₀=0 u₁=1 et u_n+2=u_n+1+u_n.

La plus grande valeur que l'on peut obtenir sans que cela soit trop long est 24157817, ce qui correspond à fib 37. Nous trouvons qu'il faut déjà 88 additions pour calculer fib 10.

Rq : fib de 37 prend effectivement beaucoup de temps. Il faut 39088168 additions avant d'en arriver à bout. Il est possible de faire une version de Fibonacci qui va très vite et qui calcule fib 37 en seulement 36 additions...

Comment ?

Dragon !

 Le dragon est une créature mythique, présente dans de nombreuses cultures.
 On peut déterminer deux grands types de dragons : le dragon occidental et le dragon oriental

La fonction dragon a pour but de dessiner un dragon, pour cela on utilise une fonction récursive qui admet pour argument le nombre n d'itération de la fonction, et les coordonnées de 2 points. A chaque itération, la fonction calcule pour chaque segment, un nouveau point et le relie ensuite aux deux autres.

On obtient en tout 2ⁿ segments entremêlés, qui forment un dragon.

Let's go !

<source lang="ocaml"> let rec dragon (n:int) (a:int) (b:int) (c:int) (d:int) : unit = if (n = 0) then (moveto a b ; lineto c d)

              else begin
                     let x = (a+c+d-b)/2 in
                     let y = (b+d+a-c)/2 in
                     dragon (n-1) a b x y ;
                     dragon (n-1) c d x y
                   end ;;

</source>

Rq : votre version du dragon est bien, mais pas très précises. (Je chipote un peu...) Pour les paramètres (dragon 11 100 100 400 400), de nombreux carrés ne sont pas bien tracés.

Comment expliquez-vous cela, et comment pouvez-vous le corriger ?

Pour améliorer la précision je suggère de passer les coordonnées en type Float. --Nicolas 31 janvier 2009 à 11:42 (CET)

Le TD2

Exercice 1 : Tuples
Question 4:

On définit la fonction curry par:

Let curry (f: 'a * 'b -> 'c) : 'a -> 'b -> 'c
    = fun x y -> f(x,y);;

</source>

Ou encore en simplifiant:

Let curry f x y = f(x,y);;

</source>

On définit ensuite la fonction uncurry par:

Let uncurry (f: 'a -> 'b -> 'c) : 'a * 'b -> 'c
    = fun x -> f (fst x) (snd x);;

</source>

Ou encore de trois autres manières plus simplifiées:

Let uncurry f = fun x -> f (fst x) (snd x);;

</source>

Let uncurry f = fun x -> match x with (a,b) -> f a b;;

</source>

Let uncurry f = function (a,b) -> f a b;;

</source>

Avantage de la première forme (à plusieurs arguments): Elle permet une application partielle: on peut appliquer cette fonction à une seule partie des arguments.

Inconvénients de la seconde forme (à un argument):

il faut faire appel à fst, snd;
Caml doit séparer les paires: c'est une perte de temps

Question 5 :

D'après la fonction récursive Fibonacci définit par
f(0)=0
f(1)=1
f(n+2)=f(n+1)+f(n),
comment compter le nombre d'appels récursifs en Caml?
<source lang="ocaml">

let rec fib n =
    if (n<2) then (n,0)
    else let t = fib (n-1) in
         let s = fib (n-2) in 
    (fst t + fst s , snd t + snd s + 1)

</source> exemple : fib 10 = (55, 88) pour exécuter la fonction Fibonacci(10), il y a 88 appels récursifs nécessaires...

Exercice 2 : Listes
Question 5 :

suite à l'étude des fonctions

longueur

let rec longueur l=
    match l with
    [] ->0
    | _ :: l -> 1+longueur l

</source>

applique

let rec app f p =
    match p with 
    [] -> []
    | a :: p -> f(a) :: app f p

</source>

concatene

let rec cat l1 l2 =
    match l1 with
    [] -> l2
    | a :: l -> a :: (cat l l2)

</source>

renverse,

let rec renverse l =
    match l with
    [] -> []
    | a :: l -> (renverse l)@[a]

</source> on remarque des similitudes. Ces fonctions ont le même schéma de base ( celui de la fonction reduit) <source lang="ocaml">

let rec reduit l o f =
    match l with
    [] -> o
    | a :: l -> f a (reduit l o f)

</source> NB : val reduit : 'a list -> 'b -> ('a -> 'b -> 'b) -> 'b = <fun>

Question 6 :
Reprogrammons les fonctions précédentes à partir de la fonction reduit !
<source lang="ocaml">

let longueur l =
    let f _ r = 1 + r in 
    reduit l o f

</source>

let app g l =
    let f  
    reduit l [] f

</source>

let cat l1 l2 =
    let f a r = a :: r in  
    reduit l1 l2 f

</source>

let renverse l =
    let f r a = [r]@[a]  
    reduit l [] f

</source>

Le TP1 - début

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