INFO821 : Infographie

Bases mathématiques

Coordonnées cartésiennes dans le plan et l'espace

$(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ dans le plan
$(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ dans l'espace
Généralisation dans $\mathbb {R^{n}}$

Distinction en point et vecteur (direction).

Problèmes de représentation en machine : virgule flottante, virgule fixe, entier ... Tableau ou enregistrement (record).

Opérations sur les vecteurs : sommes, multiplication par un scalaire, produit scalaire et produit vectoriel.

Coordonnées projectives dans le plan et l'espace

Idée : ajouté les points à l'infini. Intérêt : simplifie beaucoup de choses (transformation affine, projection, classification des quadriques, ...)

$(x:y:t)\in \mathbb {P} ^{2}$ dans le plan projectif si $(x,y,t)\neq (0,0,0)$ . De plus si $a\neq 0$ , $(x:y:t)=(ax:ay:at)$
$(x:y:z:t)\in \mathbb {P} ^{3}$ dans l'espace projectif
Généralisation dans $\mathbb {P} ^{n}$

Comparaison avec les coordonnées cartésiennes : $(x:y:z:0)$ est le point à l'infini dans la direction (x,y,z) ou (-x:-y:-z). Parfois utile de distinguer $(x:y:z:0)$ de $(-x:-y:-z:0)$ . $(x:y:z:t)$ représente le point $(x/t,y/t,z/t)$ si $t\neq 0$ . Donc le point de coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ à les coordonnées projectives $(ax:ay:az:a)$ pour tout $a$ .

Opération sur les vecteurs : attention à la somme !

Équation d'un plan et d'une droite

Donnée d'une droite du plan par un point $(x_{0},y_{0})$ et une direction $(u,v)$ . $(-v,u)$ est alors une direction orthgonale (on dit normale à la droite). Équation implicite en cartésien : $\langle (x-x_{0},y-y_{0})\mid (-b,a)\rangle =0$ . C'est à dire: $-vx+uy+vx_{0}-uy_{0}=0$ . En projectif: $ax+by+ct=0$ (l'équation est homogène).

Donnée d'un plan de l'espace par un point $(x_{0},y_{0},z_{0})$ et une direction normale $(a,b,c)$ . Équation implicite en cartésien : $\langle (x-x_{0},y-y_{0},z-z_{0})\mid (a,b,c)\rangle =0$ . C'est à dire: $ax+by+cz-ax_{0}-by_{0}-cz_{0}=0$ . En projectif: $ax+by+cz+dt=0$ (l'équation est homogène).