MATH801 : Géométrie affine et euclidienne

Géométrie Affine

Rappel des définitions

• Groupes, Anneaux, corps et espace vectoriel.
• Structure affine, plan affine et espace affine.

Une structure affine sur un ensemble $A$ est donnée, par un corps K, un espace vectoriel E sur K et une application T de $A^{2}$ dans E tel que

• Pour tout point $P$ de $A$, $X\mapsto T(P,X)$ et $X\mapsto T(X,P)$ sont des bijections.
• $T$ vérifie la relation de Chasles $T(P,Q)+T(Q,R)=T(P,R)$
• $T(P,Q)$ est en général noté ${\overrightarrow {PQ}}$
• On parle de plan affine si la dimension de E est 2 et d'espace si c'est 3.

Cette notion d'espace affine permet de démontrer toutes les théorèmes usuels de la géométrie affine (en fonction du corps). Toutefois, au début du vingtième siècle, on se posait des questions concernant les fondements des mathématiques en général et de la géométrie en particulier. La définition ci-dessus impose directement trop de propriétés aux plans et espaces affines. On cherche plutôt une notion minimaliste ... Et on va d'apercevoir qu'avec quelques axiomes, ne parlant même pas de corps, on retrouve la définition de structure affine.

Plan affine incident et parallélisme

Un plan affine incidant est donné par

• Un ensemble de points et un ensemble de droite.
• Une relation d'incidence ("appartenance d'un point à une droite")
• Et 3 axiomes :
  • Deux points A et B distincs sont incidents à une unique droite notée (AB).
  • Au moins 3 points non alignés (non incident à une même droite).
  • L'axiome des parallèles : Pour toute droite D et tout point A non incident à D, il existe une unique droite D' telle que A soit incidente à D' et telle qu'aucun point ne soit incident à la fois à D et D'.

Deux droites ayant au moins 2 points incidents en commun sont confondues (égales). On distingue alors les droites concourantes qui ont exactement un point incident commun et les droites parallèles qui en ont 0 ou qui sont confondues.

L'axiome des parallèles est alors équivalent à : Pour toute droite D et tout point A, il existe une unique droite D' parallèle à D telle que A soit incidente à D'.

On montre alors que la relation de parallélisme est une relation d'équivalence.

Exercice 1: Faire la preuve.

Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations

Un plan affine de Desargues est un plan affine incident vérifiant l'axiome de Désargues affine :

Soit $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ 3 droites 2 à 2 parallèles ou concourantes en 1 points. Soit pour tout $i\in \{1;2;3\}$, $A_{i}$ et $B_{i}$ deux points de $D_{i}$ alors si deux des trois couples de droites $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ pour $1\leq i<j\leq 3$ sont parallèles, le troisième est aussi parallèle.

Soit P un plan affine de Desargues. Le groupe des homothéties-translations de P est constitués des bijections de P dans P envoyant toute droite sur une droite qui lui est parallèle (les droites étant identifiés à leur point incidents).

Exercice 2: Montrez que c'est bien un groupe (pour la loi de composition), ... Sauf l'inverse qui devra attendre le Théorème 2.

Exercice 3: Montrez qu'une homothétie-translation distincte de l'identité à 0 ou 1 point invariant. Indication: considérez l'image de deux points.

Théorème 1: Soit A, B, A' et B' quatre points, A, B et A' non alignés et tels que (AB)//(A'B'). Montrez qu'il existe une unique homothétie translation f tel que $f(A)=A'$ et $f(B)=B'$.

On appelle homothétie, une homothétie-translation qui a au moins un point fixe. Les translations sont les homothéties-translations qui ont 0 ou une infinité de point fixe (l'identité est à la fois une homothétie et une translation).

On appellera ensemble des homothéties-translations, les homothéties-translations augmentées des applications envoyant tout le plan sur un seul point. Ces nouvelles applications qui ne sont pas des bijections sont des homothéties (un seul point fixe) dites dégénérées. Les autres sont non-dégénérées. Si le contexte ne le précise pas, il faudra bien dire si l'on considère les homothéties non-dégénérées ou toutes les homothéties. Quand on disait "groupe des homothéties-translations", le mot "groupe" impliquait bien que les homothéties étaient non dégénérées:

Théorème 2: Une translation est uniquement déterminée par l'image d'un point. On notera $t_{\overrightarrow {AB}}$ la translation envoyant A sur B. Une translation est uniquement déterminée par son point-fixe et l'image d'un point. On notera $h_{\overrightarrow {AB}}^{0}$ l'homothétie de centre O envoyant A sur B (on peut dire le centre pour le point fixe d'une homothétie). Remarque: $h_{\overrightarrow {AO}}^{0}$ est l'homothétie envoyant tous les point du plan sur $A$. Finir l'exercice 2.

Exercice 4:

a - Montrez que la composition des translations est commutative (remarque la composition de fonction est toujours associative).

b - Montrez que la composition de deux translations est une translation.

c - Montrez que la composition de deux homothéties de même centre est une homothétie.

d - Montrez que la composition d'une homothétie et d'une translation est une homothétie. Précisez le centre. Si $h\circ t=t'\circ h$, qu'elle relation y-a-t'il entre t et t'.

On définit la conjugaison de f par g est $g\circ f\circ g^{-1}$.

Exercice 5: Montrez que la relation $f'\sim f$ définie sur l'ensemble homothéties-translations (dégénérées ou non) par $f'\sim f$ si et seulement si il existe une translation $t$ telle que $f'=t\circ f$ est une relation d'équivalence. Montrez que la composition est compatible avec cette relation. Qu'elle est la classe d'équivalence d'une translation ? Comment calcule-t-on l'homothétie de centre donnée équivalente à une homothétie donnée ? Pourquoi a-t-on mis la translation à gauche ?

On définit la multiplication à gauche d'une translation par une homothétie par $h.t_{\overrightarrow {AB}}=t_{\overrightarrow {h(A)h(B)}}$ et l'addition de deux homothéties de même centre $h_{\overrightarrow {AB}}^{O}+h_{\overrightarrow {AC}}^{O}=h_{\overrightarrow {At_{\overrightarrow {OC}}(B)}}^{O}$.

Exercice 6: Montrez que la multiplication d'une translation par une homothétie est en fait la conjugaison de la translation par l'homothéties. En déduire que cette multiplication distribue sur la composition des translations.

Exercice 7: Montrez que l'addition des homothéties ne dépend pas du centre choisi.

Théorème 7: Le quotient des homothéties-translations par la relation définie ci-dessus et muni de l'addition et de la multiplication est un corps. Les translations sont un espace vectoriel sur ce corps et en conséquence, tout plan affine de Desargues possède une structure de plan affine.

Exercice 8: Montrez que le théorème de Pappus affine est équivalent à la commutativité du corps.

Pappus : soient $D_{1}$ et $D_{2}$ deux droites, $A_{i},B_{i},C_{i}$ trois points de $D_{i}$. On considère les trois couples de droites suivants (un peu plus dur à retenir que pour Desargues, pensez au produit vectoriel):

• $(A_{1},B_{2}),(B_{1},A_{2})$
• $(A_{1},C_{2}),(C_{1},A_{2})$
• $(B_{1},C_{2}),(C_{1},B_{2})$

On a alors le même résultat que pour Desargues : si Pour deux des trois couples les droites sont parallèles alors il en est de même pour le troisième couple de droites.

Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine

Desargues

Preuves en dimension 3. Preuve dans le cas de deux triangles coplanaires en ajoutant une troisième dimension, puis en projetant.

Pappus

Preuve par projection sur des droites.

Thalès

Théorème immédiat par les homotéties.

Étude des coniques et quadriques

Un tout petit tour du coté de la géométrie projective (axiomatique)

La géométrie projective n'est pas au programme de ce cours. On ne fera donc aucun exercice, ni aucune démonstration en géométrie projective. Toutefois, pour se rappeler de tous les cas des théorèmes de Desargues et Pappus, plus tard pour classifier les coniques et surtout les quadriques, voir les choses de manière informelle dans le projectif est assez facile et permet de structurer le savoir et donc de retenir plus facilement les choses ...

On va donc donner très vite la définition de plan et espace projectif:

Un plan projectif est un ensemble de points et un ensemble de droites avec une relation d'incidence (ou appartenance) entre les points et les droites qui vérifient les propriétés suivantes:

• Toutes les droites ont au moins deux points et, en tout, il y a au moins trois points non alignés (non incident à la même droite).
• Par deux points distincts passent une unique droite.
• Deux droites distinctes ont un unique point (incident) commun.
• Il manque un axiome ...

Deux remarques

• Cette définition est totalement symétrique et si l'on échange les points et les droites et que l'on inverse la relation d'incidence on a encore un plan projectif. Cela permet de fabriquer un théorème nouveau à partir d'un autre déjà connu en échangeant le rôle des points et des droites.
• Un plan affine (que l'on introduira plus loin) est juste un plan projectif privé d'une droite (dite droite à l'infini).

Chaque point de cette droite à l'infini peut être associé à une classe d'équivalence de la relation de parallélisme ... ça veut dire que les droites parallèles affines sont les droites qui se rencontre sur la droite projective à l'infini ... Attention le point à l'infini d'une droite est le même des deux cotés.

On visualisera cela sur la projection de la demi-sphère fermée sur son plan tangent ... L'objectif est que l'étudiant visualise le plan projectif, même si on ne fait pas de démonstration en géométrie projective.

Un espace projectif est la donnée d'un ensemble de point, un ensemble de droite et un ensemble de plan, avec trois relations d'incidence (appartenance point/droite, point/plan et inclusion droite/plan), vérifiant les propriétés suivantes:

• Toutes les droites ont au moins deux points, tous les plans ont au moins trois points non alignés et au total on a au moins 4 points non coplanaires.
• Par deux points passent une unique droite (les deux points sont incidents à une unique droite)
• Deux plans distincts ont exactement une droite incidente commune.
• Un plan et une droite non incidente à ce plan ont un unique point incident commun.
• Une droite et un point non incident à cette droite sont incidents à un unique plan.

Remarque:

• On remarque encore la dualité ... En échangeant quoi ?
• D'après vous, un plan affine c'est un plan projectif avec quoi en moins ?
• Tous les plans d'un espace projectif sont des plans projectifs. Une chose surprenante est qu'il y a des plans projectifs qui ne sont le plan projectif d'aucun espace affine (cf plan de Moulton découvert en 1902). Il n'y a ce problème qu'en dimension 1 (la géométrie axiomatique des droites ne marchent pas du tout si elles ne sont pas plongée dans un plan) et la dimension 2. C'est pour ça que j'ai écris plus haut il manque un axiome (l'axiome de Desargues).

Énoncés des théorèmes/axiomes de Desargues et Pappus

Ce sont deux théorèmes essentiels de la géométrie affine (parmis tant d'autres Thalès, Melenaus, ...). Ils sont considérés comme des axiomes ou des théorèmes suivant la manière d'introduire le plan affine.

Théorème de Desargues (Français 1591-1661, un des fondateurs de la géométrie projective)

Soit $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ 3 droites 2 à 2 parallèles ou concourantes en 1 points. Soit pour tout $i\in \{1;2;3\}$, $A_{i}$ et $B_{i}$ deux points de $D_{i}$, alors on est dans l'un des trois cas suivant :

• Les deux droites de chacun des trois couples $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ pour $1\leq i<j\leq 3$ sont parallèles.
• Les deux droites de chacun des trois couples $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ pour $1\leq i<j\leq 3$ sont concourantes et les trois points d'intersection sont alignés.
• Les deux droites de deux des trois couples $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ sont concourantes, et les deux droites du troisième couple sont parallèles entre elles et parallèles à la droite joignant les deux points d'intersection.

Il s'agit ici de l'expression du théorème de Desargues projectif traduit dans l'affine sans aucune perte de généralité. On considère souvent (et plus haut) le théorème de Desargues affine qui s'en déduit trivialement.

Théorème de Pappus (Grec 290-350), le plus général.

Soit $D_{1}$ et $D_{2}$ deux droites, $A_{i},B_{i},C_{i}$ trois points de $D_{i}$. On considère les trois couples de droites suivants (un peu plus dur à retenir que pour Desargues, pensez au produit vectoriel):

• $(A_{1},B_{2}),(B_{1},A_{2})$
• $(A_{1},C_{2}),(C_{1},A_{2})$
• $(B_{1},C_{2}),(C_{1},B_{2})$

On a alors le même résultat que pour Desargues:

• Les deux droites de chacun des trois couples sont parallèles.
• Les deux droites de chacun des trois couples sont concourantes et les trois points d'intersection sont alignés.
• Les deux droites de deux des trois couples sont concourantes, et les deux droites du troisième couple sont parallèles entre elles et parallèles à la droite joignant les deux points d'intersection.

Remarques:

• Desargues : trois droites et deux points par droite; Pappus : deux droites et trois points par droite.
• Les conclusion assez compliquée se retient très simplement en pensant au projectif. Cela correspond à trois points alignés, avec 0, 1 ou 3 points sur "la droite à l'infini". C'est la bonne (la seule ?) manière d'essayer de retenir tout ça.