INFO821 : Infographie

TPs et TDs

TD1

Problème 1

• Comment dessiner une sphère ? Nous réfléchirons ensemble ... Remarque les sphères de la librairie GLU (un composant d'openGL), ont un axe de symétrie particulier bien visible.

Le corrigé est ici . IL faut surtout regarder sphere.c et les fonctions qu'il utilise dans geometrie.c. Dans le fichier principal ̀td1_sphere.c il y a plein de choses qui pourront vous paraître obscure pour l'instant. Il faut juste regarder la fonction initGLScene()

En compilant vous devriez voir cela :

Pour compiler ce corrigé, il faut :

• openGL version 1.X ou 2.X (testé avec 2.1)
• SDL 1.2 (librairie pour faire des jeux ...) Que l'on utilise pour ouvrir une fenêtre
• libgc : le GC de Boehm ... pour ne pas faire free(). Si vous n'arrivez pas à l'installer, remplacer GC_malloc et GC_malloc_atomic par malloc, mais il n'y aura pas de libération de la mémoire inutilisée.

Problème 2

• Dessiner un ruban de Moebius (une bande de papier recollée sur elle même en faisant un demi tour).
• Le relier à un disque avec des courbes de Bézier (la bande n'a qu'un bord).
• Faire une animation pour mieux montrer ce qui se passe.
• Eliminer les arrêtes trop petites.

Représentation des objets

Nombres

• Nombres entiers (pb de taille)
• Nombres flottants (plus précisément virgule flottante) (pb de précision) norme IEEE 754
• Nombres à virgule fixe : peu utilisés/disponibles, mais pratique si l'on connait l'ordre de grandeur des nombres. Revient à utiliser

des entiers avec une unité bien choisie.

Points

• Tableaux (ou liste)
• Coordonnées cartésiennes :

 * Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y) \in \mathbb{R}^2}
 dans le plan
 * Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y,z) \in \mathbb{R}^3}
 dans l'espace
 * Généralisation dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{R^n}}

Distinction entre points et vecteurs (direction). Opération sur les vecteurs : addition, multiplication, produits (par un scalaire, scalaire et vectoriel, déterminant), norme.

• Coordonnées projectives :

Idée : ajouter les points à l'infini. Intérêt : simplifie beaucoup de choses (transformation affine, projection, classification des quadriques, ...). Inconvéniant : certaines choses n'ont plus de sens (addition des vecteurs, ...)

 * Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:t) \in \mathbb{P}^2}
 dans le plan projectif si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y,t)\neq(0,0,0)}
. De plus si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a \neq 0}
, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:t)=(ax:ay:at)}

 * Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:t) \in \mathbb{P}^3}
 dans l'espace projectif
 * Généralisation dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{P}^n}

Comparaison avec les coordonnées cartésiennes : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:0)} est le point à l'infini dans la direction (x,y,z) ou (-x:-y:-z). Parfois utile de distinguer Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:0)} de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (-x:-y:-z:0)} . Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:t)} représente le point Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x/t,y/t,z/t)} si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle t\neq 0} . Donc le point de coordonnées cartésiennes Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y,z)} à les coordonnées projectives Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (ax:ay:az:a)} pour tout Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a \neq 0} .

• On essaye de ne calculer qu'une fois les coordonnées de chaque point, pour éviter les erreurs d'arrondis (deux fois le même point avec des

coordonnées légèrement différente).

Courbes

• Courbe affine par morceaux : liste ou tableaux de points. Utilisation d'une indirection.
• Courbe paramétrée (droite, cercle).
• Discrétisation à vitesse constante :

 Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \delta_x = \sqrt{x'^2 + y'^2}.\delta_t \Rightarrow \delta_t = \frac{\delta_x}{\sqrt{x'^2 + y'^2}}}

• Discrétisation utilisant la courbure :

 Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \delta_x = \alpha \frac{x' y'' - x'' y'}{(x'^2 + y'^2)^\frac{3}{2}} \Rightarrow \delta_t = \alpha \frac{x' y'' - x'' y'}{(x'^2 + y'^2)^2} }

• Courbe de Bézier.

Surfaces

• Liste de triangles
• Liste de Quadrilatères et polygones (attention plan) (fin du cours du 11 janvier)
• Représentation avancée par demi-arrêtes
• Surfaces paramétrées
• Surfaces implicites

Triangulation de surfaces implicites Algorithme du marching-cube

• Idée générale
• Découpage du cube en tétrahèdre
• Algorithme

Traitement des triangulations

• Permutation des arrêtes
• Changement de résolution

Bases mathématiques (vues au fur et à mesure)

Coordonnées cartésiennes dans le plan et l'espace

• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y) \in \mathbb{R}^2} dans le plan
• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y,z) \in \mathbb{R}^3} dans l'espace
• Généralisation dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{R^n}}

Distinction en point et vecteur (direction).

Problèmes de représentation en machine : virgule flottante, virgule fixe, entier ... Tableau ou enregistrement (record).

Opérations sur les vecteurs : sommes, multiplication par un scalaire, produit scalaire et produit vectoriel.

Coordonnées projectives dans le plan et l'espace

Idée : ajouté les points à l'infini. Intérêt : simplifie beaucoup de choses (transformation affine, projection, classification des quadriques, ...)

• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:t) \in \mathbb{P}^2} dans le plan projectif si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y,t)\neq(0,0,0)} . De plus si $a\neq 0$, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:t)=(ax:ay:at)}
• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:t) \in \mathbb{P}^3} dans l'espace projectif
• Généralisation dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{P}^n}

Comparaison avec les coordonnées cartésiennes : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:0)} est le point à l'infini dans la direction (x,y,z) ou (-x:-y:-z). Parfois utile de distinguer Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:0)} de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (-x:-y:-z:0)} . Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x:y:z:t)} représente le point Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x/t,y/t,z/t)} si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle t\neq 0} . Donc le point de coordonnées cartésiennes Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y,z)} à les coordonnées projectives Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (ax:ay:az:a)} pour tout Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a} .

Opération sur les vecteurs : attention à la somme !

Équation d'un plan et d'une droite

Donnée d'une droite du plan par un point Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x_0,y_0)} et une direction Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (u,v)} . Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (-v,u)} est alors une direction orthgonale (on dit normale à la droite). Équation implicite en cartésien : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \langle (x-x_0, y-y_0) \mid (-b, a)\rangle = 0} . C'est à dire: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle -vx + uy + vx_0 - uy_0 = 0} . En projectif: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle ax + by + ct = 0} (l'équation est homogène).

Donnée d'un plan de l'espace par un point Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x_0,y_0,z_0)} et une direction normale Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (a,b,c)} . Équation implicite en cartésien : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \langle (x-x_0, y-y_0, z-z_0) \mid (a, b, c)\rangle = 0} . C'est à dire: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle ax + by + cz - ax_0 - by_0 -cz_0 = 0} . En projectif: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle ax + by + cz + dt = 0} (l'équation est homogène).

Donnée d'une droite de l'espace par un point Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x_0,y_0,z_0)} et une direction Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (u,v,w)} . ...