Projet CoMeDiC

Titres possibles

• Convergent metrics for digital calculus
• Métriques convergentes pour le calcul discret

Idée générales

• structures discrètes (Z^n) + calcul discret + estimateurs géométriques convergents
• métriques adaptés au calcul discret sur des parties de Z^n
• projet centré fondements, avec des applications potentielles (analyse d'image, geometry processing, optimisation de formes)

Partenaires

• LAMA (J.-O. Lachaud, ...)
• LIRIS (D. Coeurjolly, ...)
• LIGM (H. Talbot, ...)
• LJK (E. Oudet ?, ...)
• Chercheurs associés
  • C. Mercat (?)
  • M. Desbrun (?)

Objets géométriques considérés

• objets digitaux dans Z^d
• surfaces digitales dans Z^d
• objets tubulaires, complexes cellulaires
• structures d-2 dans objets d-1
• bruits / perturbations
• multirésolution (top->down)
• cellules adaptatives: quadtree/octree, grilles isothétiques

Contexte

Plusieurs calculs discrets

• Desbrun, Seok, etc: la géométrie de la maille modifie les opérateurs
• Grady, Polimini: opérateurs et métriques sont séparés, et remis ensemble lors de leur composition
• Polthier: ?
• Mercat: une bonne normale définit un digital Hodge star.

Points communs et différences du Calcul Discret (CD) avec le Calcul Scientifique (CS) usuel

• le CD cherche à rendre exact le calcul intégral (théorème de Stokes exact). Le CD n'a pas nécessairement besoin d'une géométrie (plongement) pour être consistant. La notion de différentielle est plus topologique.
• le CD peut être paramétré par une géométrie/métrique.
• le CS, avec les schémas numériques usuels (différences finies, éléments finis) cherche à approcher numériquement les intégrales, les dérivées, définis sur des domaines géométriques. Il n'y a pas en général de satisfaction exacte du théorème de Stokes (généralisation du théorème fondamental du calcul différentiel et intégral).
• le CS doit souvent faire attention à bien choisir le schéma numérique pour que le calcul numérique corresponde au calcul continu.
• rapprochements récents avec les FEM (introduction de cellules de toutes dimensions)

- estimateurs discrets convergents (normales sans paramètres, courbures)

Equations: - Transport optimal: diffusion, transport de mesure - Applications conformes: minimisation de la distorsion angulaire - reconstruction avec discontinuité (Mumford-Shah, Ambrioso Tortorelli)

Convergence: - Propriétés liées aux choix de métrique - Montrer énergies discrètes tendent vers énergies continues - Solution identiques ? - Métriques sur les algos de partitions (graph cut, opt combinatoire)

Applications: - clustering, segmentation - reconstruction de graphes (diffusion électrique, propriétés graphes) - reconstruction de surfaces (avec discontinuités) - géodésiques, texture mapping, feature mapping - optimisation de formes (surfaces minimales, Willmore, Minkowski, conditions de Robin).

Calcul discret: - structures de données - définition des métriques (évolutives ou non) - problèmes linéaires / algèbre linéaire - optimisation combinatoire - descente en gradient et Gamma-convergence

Scale-space; - estimateurs géométriques paramétrés (lambda) => calcul discret paramétré (lambda) - propriétés du calcul discret paramétré - comparer longue diffusion en temps avec Laplacien bête versus courte diffusion avec Laplacien induit par un estimateur géométrique discret.

Divers: - http://math.univ-lyon1.fr/homes-www/mercat/articles/MeshParamGenDiscConfMaps.pdf - http://en.wikipedia.org/wiki/Cahn%E2%80%93Hilliard_equation - http://page.mi.fu-berlin.de/polthier/articles/diri/diri_jem.pdf

Programmation ANR - ouverture site de soumission: 10 septembre 2014 - soumission des prépropositions: *16 octobre 2014*, 13h - résultats 1ère phase : mi-janvier 2015 - ouverture soumission 2e phase: début février 2015 - deadline soumission 2e phase: fin mars 2015 - résultats 2ème phase : début juillet 2015

Classement du projet ANR - projet PRC (Projet de Recherche Collaborative) - classements possibles:

 1) Défi 10 Défi de tous les savoirs (DEFSAV)
 2) Défi 7 Société de l'Information et de la Communication
    a) Axe 4 : Fondements du numérique
    b) Axe 7 : Interactions humain-machine, objets connectés, contenus numériques, données massives et connaissance