PHYS504 : Méthodes informatiques pour la physique

Ce cours est destiné à donner aux étudiants quelques notions d'analyse numérique qu'ils devront utiliser pour la réalisation d'un projet de simulation. On commencera par quelques rappels de langage C en supposant que les notions standard d'informatique sont connues et ont été introduites précédemment, par exemple dans un cours de Pascal.

Rappels de C : l'ABC du C selon Pascal

Rappels

Plan du cours

1. Recherche d'un extremum d'une fonction
2. Dérivation numérique
3. Intégration numérique
4. Résolution d'équations différentielles
5. Transformées de Fourier
6. Méthodes statistiques

Projets

Les projets forment la deuxième partie de cet enseignement. Les étudiants choisissent un projet par binôme. Un choix de sujets est donné, mais les plus motivés peuvent proposer un sujet personnel.

Liste des sujets proposés

Optique

• Tracé de rayons en optique géométrique ()
  • Tracé de rayons passant dans une lentille plan-sphérique pour comprendre les aberrations géométriques et comment on peut les corriger en modifiant l'indice du verre en fonction du rayon à l'intérieur de la lentille.
• Simulation d'un phénomène de mirage (tracé de rayons) (Quentin LE GAC, Lysiane NAHARBEROUET) (LoÏck CHARMOILLE)
  • Tracé d'un ensemble de rayons pour comprendre la formation d'un mirage (lois de l'optique géométrique).

Physique statistique

• Thermalisation d'un ensemble de particules dans un gaz ()
  • Etant donné un ensemble de particules initialement immobiles, quelle sera l'évolution de leur énergie moyenne dans un gaz à une température $T$ ? Combien de temps est-il nécessaire pour thermaliser ces particules avec le reste du gaz ? On peut imaginer de faire un petit film avec l'évolution du nuage de particules en 2D ou 3D.
• Jet de particules sortant par un trou (Luc DUPONT, Mohamed-Souawaf MHADJIRI)
  • Un gaz à une température $T$ est enfermé dans une enceinte. Un trou carré (au départ) permet au gaz de sortir. On demande de calculer la distribution de vitesses des molécules sortant par le trou puis l'image qu'elles formeraient sur un écran situé à une distance $d$ du trou. On peut imaginer de faire quelques calculs simples d'implantation ionique.

Mécanique

• Accélération d'une sonde spatiale lors de son survol de Jupiter ()
  • Une sonde spatiale peut utiliser le mouvement d'une planète pour se propulser (effet de fronde gravitationnelle). Ce projet étudie cet effet dans le cas d'une sonde autour de Jupiter. On peut tracer la trajectoire optimale pour le but recherché : la plus grande accélération possible ou une direction donnée.
• Trajectoires de satellites dans diverses conditions (David GEORGES, Kirvin COLLOMBON)(Louis JOSEPH, Julien BERTRAND)
  • Etude de la trajectoire de satellites dans diverses conditions : soumis au vent solaire, à l'attraction gravitationnelle de plusieurs planètes (orbite de transfert), à un changement d'orbite... l'imagination au pouvoir !

Mécanique quantique

• Evolution temporelle d'un paquet d'onde ()
  • Etant donné un paquet d'onde à un temps $t_{0}$, comment évolue-t-il au temps $t$ ?

Electrocinétique

• Effet d'un ensemble RLC sur un signal ()
  • Il est facile de déterminer analytiquement, dans un cas parfait, l'effet d'un circuit RLC sur un signal sinusoïdal. Qu'en est-il d'un signal carré ou triangulaire, voire quelconque ? Une bonne occasion de voir ou revoir ce qu'est une décomposition en série de Fourier.

Géophysique

• Propagation d'ondes sismiques à l'intérieur de la terre (Justine SOUCARRE, Priscilla BLANC MATHIEU)
  • Comment les ondes sismiques se propagent-elles à l'intérieur de la Terre ? Comment cela permet-il de montrer que la Terre a une structure interne et est dotée d'un noyau ?

Projets personnels

• Evolution d'un système complexe en orbite (Valentin BONVIN, Yang Yu)

Projets personnels (proposés par les étudiants les années précédentes)

• Propagation d'une onde lumineuse dans une fibre optique à gradient d'indice
• Trajectoire d'une flèche lancée par un arc
• Etude d'un fusil à air comprimé
• Diffusion de la chaleur
• Propagation de rayons cosmiques dans le champ magnétique terrestre (Aurélien MORARD, Stéphane HACQUARD, François BUET)
• Trajectoire d'un disque lancé par un athlète
• Etude d'un système chaotique
• Modélisation des cordes de guitare pour l'étude des harmoniques (Victoria Coudurier, Guilhem Mobé)
• Etude de trajectoire du projectile d'un trébuchet (Romaric Jude, Gaétan Séguin, Arnold Magnin)
• Saut de la stratosphère (Thomas LACOTE, Thibault PEYRE)

Indications et conseils pour le rapport final

Taille

Le rapport que vous rendrez fera entre 10 et 20 pages maximum sans compter les éventuelles annexes. Celles-ci contiendront les séries de figures ou informations en grand nombre que vous pourriez avoir obtenues. Dans le texte du rapport, ne mettez que des exemples significatifs.

Conseils

• Utilisez une police de caractères standard pas trop grande (14 points est le grand maximum)
• Pour tout ce qui est de l'écriture des formules mathématiques, privilégiez Latex si vous savez l'utiliser. Il y a de très bons outils de rédaction de formules qui vous permettent de les intégrer dans un traitement de texte. Si Latex vous rebute, l'éditeur de formules d'Open Office est très correct.
• Evitez de dire que vous avez beaucoup appris pendant ces projets, nous nous en doutons :-)

Exemple modifiable de plan

Il n'y a pas un seul plan possible pour le rapport. Pour vous donner des idées, voici un exemple que vous pouvez modifier, améliorer, amender, adapter (par exemple, les titres des sections ne sont là que comme guide, il faut les changer pour coller à votre problème).

Introduction

• Description du problème
• Introduction théorique
• Pourquoi un traitement numérique est approprié

Analyse numérique

• Algorithmes utilisés
• Etape 1
  • Description du programme
  • Description des résultats
  • Commentaire rapide des résultats
• Etape 2
  • comme étape 1

...

• Etape n

Analyse et commentaire des résultats

• Résumé des résultats importants
• Analyse, ce qui a fonctionné, ce qui pose encore problème
• Important : perspectives, comment améliorer le programme, quelles étapes ultérieures on pourrait penser à faire.

Conclusion

Bon courage !