Les réseaux euclidiens

Un réseau euclidien est un objet mathématique qui a été utilisé premièrement pour la cryptanalyse. C'est Miklos Ajtai qui a démontré que les réseaux euclidiens peuvent servir de base solide pour la cryptologie. Certains caractéristiques remarquables des problèmes de réseaux sont qu'il n'y a pas d'instances faibles, ce qui ne va pas être le cas de RSA où avec certains nombres premiers la factorisation sera trop simple. De plus ces problèmes sont reconnu comme étant difficile. Il est donc pas possible de les résoudre efficacement. Et pour finir, on ne connaît pas d'attaque même avec un ordinateurs quantiques. Les cryptosystèmes qui se basent sur cet objet mathématique sont donc actuellement source de nombreuse études. En particularité pour la caractéristique homomorphe de ce chiffrement, c'est à dire qu'on peut effectuer des calculs directement sur le chiffré. Cela peut garantir la sécurité dans de nombreuses applications comme par exemple lors de calculs effectués sur les services cloud.

Les principes de base

Un réseau euclidien est "ensemble de points régulièrement répartis sur une dimension n" ou avec des termes plus mathématique il s'agit d'un sous-groupe discret d'un espace vectoriel euclidien.

Voici la représentation d'un réseau euclidien de dimension 2. Comme le nombre de points est infini il serait difficile de faire la liste de ces points. Ils sont donc représentés par une base, ici (O, u, v). Les points ont donc des coordonnées correspondant à la base de notre réseau euclidien.

Base différentes

Un réseau euclidien peut être représenté par plusieurs bases (image ci-contre). Les différence avec le système de coordonnées du plan (0,x,y) c'est que dans un réseau euclidien les coordonnées sont toujours des entiers et la base n'est pas nécessairement rectangulaire.

Bonne ou mauvaise base ? Certaines bases vont être plus qualitative que d'autres. Une bonne base (base bleue) est presque rectangulaire alors qu'une mauvaise base (base rouge) est de forme quelconque. Ces typologies s'expliquent par la différence que l'on peut observer au niveau que de la couverture de l'espace autour de chaque point du réseau. //images

Chiffrement homomorphe

Le chiffrement homomorphe permet d'effectuer une ou plusieurs opérations sans nécessité de d'accéder aux données sensibles en les déchiffrant :

$D(Op(C(m1),C(m2))=Op(m1,m2)$

Prenons l'exemple d'Alice. Alice souhaite pouvoir effectuer des opérations sur deux données sensibles mais elle ne possède pas la puissance de calcul nécessaire pour l'effectuer. Elle souhaite donc demander à un organisme tiers de procéder aux calculs sur ses données. Cependant, les données à traiter sont sensibles et Alice ne fait pas confiance en cet organisme. Elle va donc une utiliser un chiffrement homomorphe et envoyer des données chiffrés à l'organisme qui pourra ainsi calculer et renvoyer le résultat, encore chiffré, à Alice. Alice pourra alors déchiffrer le message pour obtenir le résultat de l'opération sur ses données sensibles grâce aux propriétés du chiffrement homomorphe.