Modélisation de la ruine du joueur 2020-2021

Dans le cadre du module de VISI201, nous allons réaliser la modélisation de la ruine d'un joueur. C'est à dire à l'aide d'un programme de comprendre comment les casinos arrivent à gagner de l'argent en proposant le jeu de la roulette. La première partie explique qu'est ce que la ruine d'un joueur. Puis nous vous proposons la simulation d'une soirée au casino. Et enfin une partie mathématique avec des calculs de probabilités, du temps moyen de jeu et des estimations numériques.

Qu'est ce que la ruine d'un joueur ?

Un joueur de roulette arrive au casino avec une somme d'argent fini, et il souhaite gagner une certaine somme d'argent. Le joueur repart soit quand il est ruiné soit quand il a gagner le montant qu'il voulait. Le temps est compté et il n'y a aucune stratégie pour gagner c'est un jeu de hasard. Si le joueur n'a pas de somme a atteindre et qu'il a un temps illimité il finira ruiné.

Une soirée au casino (simulation)

Pour la simulation nous posons trois variable :

 - $a$ la richesse du joueur à l'entrée du casino
 - $b$ le gain souhaité par le joueur
 - $p$ la probabilité de gagner

Estimations numériques

L'estimation numérique vari en fonction de la probabilité.

Nous avons $a$ la richesse initiale, $b$ la somme à gagner

Pour une partie de "Pile ou Face" (soit $p=1/2$)

Pour calculer la valeur théorique de la probabilité de perdre : $\mathbb {P} (S_{T}=0)={\frac {b}{a+b}}$.

Pour le calcul de la probabilité de gagner : $\mathbb {P} (S_{T}=a+b)={\frac {a}{a+b}}$.

Pour le calcul de l'estimation du temps de jeu : $\mathbb {E} [T]=ab$.

Pour une partie de roulette (soit $p\neq 1/2$)

On note tout d'abord que $r={\frac {(1-p)}{p}}$

Pour calculer la valeur théorique de la probabilité de perdre : $\mathbb {P} (S_{T}=0)={\frac {r^{a+b}-r^{a}}{r^{a+b}-1}}$.

Pour le calcul de la probabilité de gagner : $\mathbb {P} (S_{T}=a+b)={\frac {r^{a}-1}{r^{a+b}-1}}$.

Pour le calcul de l'estimation du temps de jeu : $\mathbb {E} [T]={\frac {1}{2p-1}}\left({\frac {(a+b)(1-r^{a})}{1-r^{a+b}}}-a\right)$.

Ce projet à été réalisé par BOITOUZET Emilien (Tuteur : LABART Céline)