Modélisation de la ruine du joueur 2020-2021

Dans le cadre du module de VISI201, nous allons réaliser la modélisation de la ruine d'un joueur. C'est à dire à l'aide d'un programme de comprendre comment les casinos arrivent à gagner de l'argent en proposant le jeu de la roulette. La première partie explique qu'est ce que la ruine d'un joueur. Puis nous vous proposons la simulation d'une soirée au casino. Et enfin une partie mathématique avec des calculs de probabilités, du temps moyen de jeu et des estimations numériques.

Qu'est ce que la ruine d'un joueur ?

Un joueur de roulette arrive au casino avec une somme d'argent fini, et il souhaite gagner une certaine somme d'argent. Le joueur repart soit quand il est ruiné soit quand il a gagner le montant qu'il voulait. Le temps est compté et il n'y a aucune stratégie pour gagner c'est un jeu de hasard. Si le joueur n'a pas de somme a atteindre et qu'il a un temps illimité il finira ruiné.

Règles de la roulette

Pour notre modélisation de la ruine d'un joueur, nous avons simplifié les règles de la roulette.

La roulette est constituée de 37 numéros : le 0 est vert, 18 pairs rouges et 18 impairs noirs.

Le joueur arrive avec une richesse initiale noté $a$, il souhaite gagner $b$ euro. A chaque tour le joueur mise un euro sur les nombres pairs, si il tombe sur un nombre pair il gagne 1€ sinon il perd 1€. Si il tombe sur zéro il perd aussi 1€.

Une soirée au casino (simulation)

Pour la simulation nous posons trois variable :

 - $a$ la richesse du joueur à l'entrée du casino
 - $b$ le gain souhaité par le joueur
 - $p$ la probabilité de gagner

Calculs de probabilité

Pour une partie de "pile ou face" la probabilité de gagner est égale à la probabilité de perdre : $\mathbb {P} (S_{T}=a+b)=\mathbb {P} (S_{T}=0)={\frac {1}{2}}$.

Donc pour le calcul de la probabilité de gagner et de perdre, nous allons nous intéresser seulement à celle d'une soirée d'un casino.

Estimations numériques

L'estimation numérique vari en fonction de la probabilité.

Nous avons $a$ la richesse initiale, $b$ la somme à gagner

Pour une partie de "Pile ou Face" $p=1/2$

Pour calculer la valeur théorique de la probabilité de perdre : $\mathbb {P} (S_{T}=0)={\frac {b}{a+b}}$.

Pour le calcul de la probabilité de gagner : $\mathbb {P} (S_{T}=a+b)={\frac {a}{a+b}}$.

Pour le calcul de l'estimation du temps de jeu : $\mathbb {E} [T]=ab$.

Pour une partie de roulette $p\neq 1/2$

On note tout d'abord que $r={\frac {(1-p)}{p}}$

Pour calculer la valeur théorique de la probabilité de perdre : $\mathbb {P} (S_{T}=0)={\frac {r^{a+b}-r^{a}}{r^{a+b}-1}}$.

Pour le calcul de la probabilité de gagner : $\mathbb {P} (S_{T}=a+b)={\frac {r^{a}-1}{r^{a+b}-1}}$.

Pour le calcul de l'estimation du temps de jeu : $\mathbb {E} [T]={\frac {1}{2p-1}}\left({\frac {(a+b)(1-r^{a})}{1-r^{a+b}}}-a\right)$.

Ce projet à été réalisé par BOITOUZET Emilien (Tuteur : LABART Céline)