Fractales de Newton et sensibilité aux conditions initiales
Ce projet a été réalisé en Python sur PyScripter
Définition
Les fractales de Newton sont une représentation graphique des racines associées à chaque point complexe z d'un plan.
La fractale de Newton est définie dans le plan complexe et caractérisée par l'application de la méthode de Newton à un polynôme complexe.
Construction
On utilise la méthode de Newton qui associe zn+1 à z-f(z)/f'(z).
Cette règle mène ensuite à une suite de points z1,z2,etc.. Si la suite converge vers une racine k du polynôme, alors z0 appartient à la région k.
Cette région est appelée "bassin d'attraction de la racine k".
Remarque
On remarque rapidement en regardant les fractales de Newton que des similarités se distinguent à toutes échelle.
Cependant il existe aux frontières de ces bassins d’attraction des points pour lequel on ne trouve aucune convergence.
Ces frontières très minces tendent à montrer une sensibilité très élevée aux condition initiales : trois points très proches peuvent avoir une racine distincte.
Ici un décalage de +0.5i a été appliqué a chacun des points et ils ont tous une racine associée différente.
Programme
J’ai créé une classe Fractale pour diminuer le nombre de paramètres de chaque fonction et rendre certaines variables globales. On défini en tout 6 choses :
- f : le polynôme complexe dont on veut la représentation
- N : le nombre maximal d’itérations que peut faire une suite avant d’être dite « non-convergente »
- R : la liste des racines du polynôme
- L : la liste des z obtenu au terme de la suite de la méthode de Newton
- I : le nombre d’itérations nécessaire à chaque z pour atteindre une racine
- Palette : n’est autre que la palette de couleur utilisée pour dessiner les fractales
Différentes méthodes
Mon programme utilise donc la méthode de Newton qui possède une complexité quadratique mais il existe d’autre codes ayant des résultats similaires avec des complexité moindre ou non.
On peut notamment citer la méthode de la sécante avec une complexité linéaire de 1.618 qui approxime la dérivée au lieu de la calculer mais qui a donc un résultat moins précis.
Je ne présenterai ici que la méthode de Newton.
