Fractales de Newton et sensibilité aux conditions initiales

Ce projet a été réalisé en Python sur PyScripter

Définition

Les fractales de Newton sont une représentation graphique des racines associées à chaque point complexe z d'un plan.
La fractale de Newton est définie dans le plan complexe et caractérisée par l'application de la méthode de Newton à un polynôme complexe.

Construction

On utilise la méthode de Newton qui associe z_n+1 à z-f(z)/f'(z).
Cette règle mène ensuite à une suite de points z₁,z₂,etc.. Si la suite converge vers une racine k du polynôme, alors z₀ appartient à la région k.
Cette région est appelée "bassin d'attraction de la racine k".

Remarque

On remarque rapidement en regardant les fractales de Newton que des similarités se distinguent à toutes échelle.


Cependant il existe aux frontières de ces bassins d’attraction des points pour lequel on ne trouve aucune convergence.
Ces frontières très minces tendent à montrer une sensibilité très élevée aux condition initiales : trois points très proches peuvent avoir une racine distincte.
Ici un décalage de +0.5i a été appliqué a chacun des points et ils ont tous une racine associée différente.

Programme

Ce programme a donc pour but de calculer puis dessiner une fractale à partir d'un polynôme complexe donné en paramètre.
Il nécessite les bibliothèque scipy et PIL :

from scipy.misc import derivative
from PIL import Image

Initialisation

J’ai créé une classe Fractale pour diminuer le nombre de paramètres de chaque fonction et rendre certaines variables globales. On défini en tout 6 choses :

 -	f : le polynôme complexe dont on veut la représentation

 -	N : le nombre maximal d’itérations que peut faire une suite avant d’être dite « non-convergente »

 -	R : la liste des racines du polynôme

 -	L : la liste des z obtenu au terme de la suite de la méthode de Newton

 -	I : le nombre d’itérations nécessaire à chaque z pour atteindre une racine

 -	Palette : n’est autre que la palette de couleur utilisée pour dessiner les fractales

Ce qui donne ceci :

class Fractale:

    def __init__(self,f,N=50):
        self.f = f  #Polynôme
        self.N = N  #Nombre maximal d'itération avant la "non-convergence"
        self.R = [] #Liste des racines
        self.L = [] #Liste des z finaux des points
        self.I = [] #Liste du nombre d'iteration
        self.palette = [(0,0,0),(255,255,255),(23, 49, 144),(174, 10, 10),(73, 53, 72),(38, 161, 0),(226, 219, 190),(134, 187, 216),(238, 66, 102),(184, 59, 21),(60, 187, 177),(64, 64, 64),(122, 122, 122),(192, 192, 192)]

Main

La fonction main est celle qui appellera toutes les autres pour assurer le bon fonctionnement du programme.

def main(self):
        """Programme principal"""
            #Initialisation des variables
        taille_img_x = int(input("Taille x de votre image (une taille impair est préférable pour que le 0,0 soit centré)"))
        taille_img_y = int(input("Taille y de votre image"))
        im = Image.new('RGB', (taille_img_x, taille_img_y), (255, 255, 255)) #Crée une image blanche de la taille souhaitée
        npix = 0 
        compteur = 0       
        pix_tot = taille_img_x*taille_img_y

            #Set des coordonnées pour la création de z
        for pix_x in range(taille_img_x):
            for pix_y in range(taille_img_y):
                coord = Fractale.coordonees(pix_x,pix_y,taille_img_x,taille_img_y)
                x = coord[0]
                y = coord[1]
                z = complex(x,y)

                    #Recuperation des resultats de calcul_racine()
                z_f = Fractale.calcul_racine(self,z) #Theoriquement proche d'une racine


                    #Definition de la racine
                Fractale.set_racine(self,z_f)

                compteur +=1
            print((compteur/pix_tot*100)/2)


            #Creation de l'image

        for i in range(taille_img_x):
            for j in range(taille_img_y):
                im.putpixel((i,j), Fractale.set_color_pix(self,npix))
                npix += 1

            print(50+(npix/pix_tot*100)/2)


        im.save("Images\\Finale_pres\\z^5-1.jpg","JPEG")
        print("Votre image est prête")

Variables

Pour que le programme s'execute correctement il faut commencer par initialiser quelques variables:

 -  La taille de l'image (en x et en y)
 -  im : Une toile blanche de la taille souhaitée sur laquelle "dessiner" notre fractale
 -  npix : ou numéro pixel qui servira plus tard pour le dessin
 -  compteur et pix_tot servent a l'affichage en pourcentage de la progression du programme

Coordonnées

Pour avoir le résultat souhaité on travaille avec des z de petite taille (généralement entre 2+2i et -2-2i).
Pour ça il nous faut transformer les coordonnées pixels en coordonnées réelles. En effet les coordonnées d'un image et d'un plan ne sont pas traitée de la même façon :

En résolvant un petit système :

    def coordonees(pix_x,pix_y,taille_x,taille_y):
        """Transforme les coordonnées pixel en coordonnées réelles."""
        x_hi = 2
        x_lo = -2
        y_hi = -2
        y_lo = 2
        x = (((x_hi-x_lo)/taille_x)*pix_x) + x_lo
        y = (((y_hi-y_lo)/taille_y)*pix_y) + y_lo
        return (x,y)

on obtient une équation et nous voilà avec des coordonnées utilisables pour nos calculs. On crée donc notre z complexe à partir du x et du y déduis de ce calcul.

Calculs

Mon programme utilise la méthode de Newton, c'est un programme plutôt lent qui possède une complexité quadratique.

Avec le z calculé précédemment dans la fonction coord on peut donc effectuer la méthode Newton afin de trouver vers quelle racine il converge.
Pour cela j’ai eu besoin du module scipy et de sa fonction derivative qui renvoi le résultat de la dérivée de notre fonction.
On défini donc Zn+1 comme étant z – f(z)/f’(z).

Compteur est le nombre d’itération effectuées jusqu’à ce que z trouve une racine.

On stop donc la boucle de calcul si le nombre d’itérations dépasse N (un nombre arbitraire défini dans le init) ou si Zn+1 – Z est inferieur a 1*10-6 (la suite n’évolue plus).Théoriquement lorsque la suite ce stabilise c’est que l’on se trouve proche d’une racine.

Une fois sortis de la boucle on ajoute à la variable globale I le nombre d’itérations effectuée pour ce z et on renvoi le z final obtenu.

    def calcul(self,z):
        """Compte le nombre d'itérations necéssaire pour trouver une racine et s'arrete après N itérations."""
        Zn_plus_1 = z - (self.f(z) / derivative(self.f,z,1e-12))
        compteur = 0

        while compteur < self.N and abs(Zn_plus_1 - z) >= 1e-6:
            z = Zn_plus_1
            Zn_plus_1 = z - (self.f(z) / derivative(self.f,z,1e-12))
            compteur += 1

        self.I.append(compteur)
        return z

Différentes méthodes

Cependant, il existe d’autre méthodes ayant des résultats similaires avec des complexité moindre ou non.
On peut notamment citer la méthode de la sécante avec une complexité linéaire de 1.618 qui approxime la dérivée au lieu de la calculer mais qui a donc un résultat moins précis.
Pour utiliser ces autres méthodes il suffit de remplacer l'affectation de z_n+1 par celle de la méthode souhaitée.
Je ne présenterai ici que la méthode de Newton.

Les racines

Comme vous l'avez certainement remarquer ce programme ne demande pas a l'utilisateur de renseigner les racines du polynôme.
Cependant pour que le programme fonctionne il faut avoir accès aux racines.

Pour cela il existe les variables globales R et L. Pour rappel L sert a enregistrer les z_n obtenu en fin de process de la fonction calcul et R est la liste des racines.
Or il faut remplir cette liste !
C'est la fonction set_racine qui s'en occupe.

    def set_racine(self,z):
        """Modifie le tableaux des racines R et celui des z finaux L."""
        if self.R == []:
            self.R.append(z)
            self.L.append(z)
        elif len(self.R) == 1:
            if abs(self.R[0] - z) < 0.1:
                self.L.append(z)
            else:
                self.R.append(z)
                self.L.append(z)
        else:
            mini = abs(self.R[0] - z)
            for i in range(len(self.R)):
                if abs(self.R[i] - z) < mini:
                    mini = abs(self.R[i] - z)
            if mini < 0.1:
                self.L.append(z)
            else:
                self.R.append(z)
                self.L.append(z)

Si R est vide on entre la valeur de notre z_n actuel comme première racine et on ajoute z_n a la liste L.
S’il n’y a qu’une seule racine on la compare à z_n, s’ils sont trop éloignés alors on crée une deuxième racine (en ajoutant z_n à R) puis on ajoute z_n à L. Sinon on ajoute juste z_n à la liste L sans ajouter de racine.
Enfin s’il y en a plus on compare une à une toute les racines avec z_n et on sélectionne la plus proche avant d’effectuer la même chose que pour le cas à une seul racine.

Dessin

Nous avons désormais toutes les clés pour la réalisation de la fractale.
Après avoir parcouru une première fois tout notre plan pour recueillir les information nécessaire il faut à présent recommencer pour changer la couleur de chacun des pixel e notre image.

Pour cela j’ai utilisé la bibliothèque Image de PIL qui permet de modifier une image à sa guise.
Ainsi on peut sélectionner la couleur à associer au pixel en fonction de deux chose :

 -	Son nombre d’itération
 -	La racine atteinte

Choix de la couleur

Le dessin fait appel a la fonction set_color_pix() :

    def set_color_pix(self,npix):
        """Sélectionne la couleur en fonction de la racine atteinte."""
        color = (0,0,0)
        if self.I[npix] >= self.N:
            color = self.palette[0]
        elif self.I[npix] == 0:
            color = self.palette[1]
        else:
                #Definition de la couleur a choisir
            index = 0
            mini = abs(self.R[0] - self.L[npix])
            for i in range(len(self.R)):
                if abs(self.R[i] - self.L[npix]) < mini:
                    mini = abs(self.R[i] - self.L[npix])
                    index = i

            color = self.palette[index + 2]

        t = (1-(self.I[npix]/self.N))**2
        color = (int(color[0]*t),int(color[1]*t),int(color[2]*t))
        return color

Il y a deux cas de base pour lesquels le choix est rapide :
- Si son nombre d’itération dépasse N alors on applique une couleur noire (palette[0]).
- Sinon si son nombre d’itération est 0 alors c’est une racine et on lui donne un couleur blanche (palette[1]).

Cependant si notre z_n atteint bien une racine alors il faut savoir laquelle.

Pour cela on réutilise une boucle de minimum semblable a celle de set_racine():
On compare les racines avec z_n et on regarde quelle racine est la plus proche de z_n. Cette fois-ci pas de cas ou z_n ne correspond à aucune racine car cela à été réglé par la fonction set_racine().

On récupère donc l'index de la racine associée dans R. Comme les deux première couleurs de notre palette (noir et blanc) sont déjà utilisée on utilise index+2 comme index à utiliser pour notre palette.
De plus on crée une variable t qui sert "d'atténuateur" que l'on multiplie aux 3 composantes RGB de nos couleurs. Ainsi plus le nombre d'itérations (I) de z_n sera grand plus t sera proche de zéro et plus la couleur sera terne et proche du noir alors qu'à l'inverse plus I est petit plus la couleur sera claire et proche du blanc.