Calcul des valeurs de Grundy pour des jeux octaux
Étudiant : Mathieu BRUNOT
Tuteur : Valenti Gledel
Jeu de Impartiaux
Description
Un jeu impartial est un jeu à 2 joueurs où les joueurs jouent à tour de rôle et leurs mouvements possibles ne dépendent pas du joueur qui joue, il n'y a donc pas de hasard ni d'égalité dans une partie.
Le perdant étant celui qui ne peut plus jouer, aussi appelé version normale.
En voici des exemples:
- Jeu de Cram
Les joueurs mettent des dominos sur une grille. Le joueur qui met le dernier domino gagne.
- Jeu de Nim
Il se joue avec un ou plusieurs tas d'objets exemple des allumettes.
Chacun des joueurs joue à tour de rôle en choisissant un tas et en retirant autant d’allumettes que souhaité dans le tas, pour que son adversaire n’ait plus la possibilité de jouer, c’est ainsi que le jeu prend fin.
- Jeu des bâtonnets Fort Boyard
Ce jeu consiste à n’avoir que le droit de retirer de 1 à 3 bâtonnets à chaque tour. Hormis la différence est que le joueur perdant est celui qui prend le dernier bâtonnet. Cette condition de victoire est appelé version misère.
- Pour le trouver il suffit de regarder les positions perdantes dans chaque cas:
- Si le nombre de bâtonnets est n=1, le joueur courant gagne car il peut enlever le dernier jeton et laisser l'adversaire avec un tas vide.
- Si n=2, le joueur courant gagne car il peut retirer les derniers bâtonnets.
- Si n=3, le joueur courant gagne car il peut retirer les derniers bâtonnets.
- Si n=4, le joueur courant perd car il va forcément laisser son adversaire dans une position gagnante.
- Plus généralement, toute position où est une position gagnante, et toute position où est une position perdante.
Stratégie Gagnante
En effet, l’ensemble des jeux impartiaux sont résolubles à l’aide d’outils théorique afin de connaitre l'action à faire pour être le joueur en position gagnante.
Prenons le jeu de Fort Boyard mais cette fois-ci en version normale. Dans celui-ci la stratégie gagnante est de laisser un tas à l'adversaire qui serait un multiple de quatre.
Ainsi on pourrait se demander la stratégie gagnant d'autres jeux tel que le jeu de Nim ou le jeu de Cram
Valeurs de Grundy
Théorème de Sprague-Grundy
Le théorème de Sprague-Grundy nous permet de trouver la stratégie gagnante d’un jeu impartial fini en version normale (le perdant est le joueur ne pouvant plus jouer).
La valeur de Grundy ou d’un tas se calcule récursivement par ses règles :
- Un tas vide a pour valeur de Grundy 0. - Le nombre Grundy d’une position non nulle est le plus petit entier positif ou nul qui n’est pas dans la liste des valeurs de Grundy des positions que l’on peut atteindre à partir de notre position.
Une position perdante d’un jeu celle qui donne une valeur de Grundy de 0.
Calcul des valeurs pour le jeu de Nim
Cas à 1 tas
La valeur de Grundy du jeu de Nim classique d’un tas de taille n (un entier) est celle du nombre de bâtonnets dans ce tas.
On l’explique car toutes les tailles de tas strictement inférieures à n sont atteignables à partir de celui-ci. Alors le minimum exclu(mex) des valeurs atteignables est n.
On appelle ce nombre précis dans le cas du jeu de Nim, un nimber.
Donc par exemple dans un tas de taille 9 du jeu Nim, on aurait une valeur de Grundy de 9, ceci est simple à comprendre.
Cas à plusieurs tas
Dans le cas de plusieurs tas, la valeur de Grundy de tous les jeux est le XOR de toutes les valeurs de Grundy de chaque tas.
Par exemple :
Voici un jeu de Nim composé de trois tas de bâtonnets:
Ce jeu a pour valeur de Grundy :
Application
Mettons à l’œuvre nos connaissances afin de gagner une partie dans le jeu de Nim de l'exemple précédent.
Imaginons que nous soyons les premiers joueurs à jouer.
Nous nous trouvons dans une position gagnante car la valeur de Grundy du Jeu est de .
Pour pouvoir ramener celui-ci à une valeur de 0 pour que notre adversaire soit dans une position perdante, il nous suffit de changer un tas où la valeur de grundy de celui-ci possède un bit à 1 au même indice que le bit à 1 avec le plus grand exposant de 2 de la valeur de Grundy du jeu.
Dans notre cas le premier bit à 1 de 15 est celui qui est au 3eme exposant de 2. Le nombre qu’on doit changer est 24. Pour savoir à quelle valeur on doit le baisser il suffit de faire le XOR de 24 et de la valeur de Grundy du jeu qui est 15. On obtient .
- On a choisi de retirer 1 bâton au tas de 24 pour avoir une valeur de Grundy totale de 0.
- L'adversaire est dans une position perdante, quoiqu’il fasse il ne peut pas passer en position gagnante.
- Il nous reste plus qu'à continuer ainsi pour s'assurer de gagner.
Jeux Octaux
Les jeux octaux sont aussi des jeux impartiaux, assez proches du jeu de Nim. Ils se jouent aussi avec des tas d’objet. Leurs caractéristiques sont que les coups autorisés sont définis à l’aide d’un système numérique de 0 à 7 d’où le nom jeu octal.
Règles
Les règles d'un jeu octal précisent les actions possibles lorsqu'un joueur retire n objets d'un tas donné, et sont encodées par une suite de chiffres entre 0 et 7 (d'où le nom jeu octal) :
Notation 0.k1 k2 k3 k4 …
où chaque chiffre kn indique en combien de tas le joueur doit scinder le tas dans lequel il a retiré n objets. Le chiffre kn est la somme de :
- si le joueur peut laisser 0 tas, 0 sinon;
- si le joueur peut laisser 1 tas, 0 sinon;
- si le joueur peut laisser 2 tas, 0 sinon
Par exemple, si kn=0, les joueurs n'ont pas le droit de retirer n objets d'un tas. Si kn=3, on retrouve la règle classique du jeu de Nim, à savoir que le joueur peut retirer n objets d'un tas de taille supérieure ou égale n.
Représentation en jeu octal
Comme vous l'avez compris il y a une infinité de jeux octaux.
On retrouve les jeux qu'on a introduit dans ces catégories.
Jeu de Fort Boyard = 0.333
Jeu de Fort Cram = 0.07
Néanmoins, le jeu de Nim n'est pas un jeu octal. Dans Nim, les mouvements sont extrêmement flexibles : un joueur peut retirer n'importe quel nombre d'objets d'une pile choisie. Cette flexibilité n'est pas présente dans les jeux octaux, où les mouvements sont prédéfinis. Un jeu "octal" qui pourrait représenter le jeu de Nim serait 0.333... un sauf que ce n'est pas un jeu octal.
Valeurs de Grundy pour les jeux octaux
Méthode
JEU_VALIDE = (0,1,2,3,4,5,6,7)
TAS_0 = (1,3,5,7) #les valeurs laissant 0 tas
TAS_1 = (2,3,6,7) #les valeurs laissant 1 tas
TAS_2 = (4,5,6,7) #les valeurs laissant 2 tas
def verif_jeu(nbr_octal:str)->str:
""" renvoie nombre en str et enleve le 0. """
assert type(nbr_octal) == str, "tu dois donner une chaine de caractères en argument"
for ele in nbr_octal:
ele = int(ele)
assert (ele in JEU_VALIDE), "ton jeu octal n'est pas conforme"
return nbr_octal
def calc_mex(un_set:set)->int:
""" renvoie la plus petite valeur entière qui n'appartient pas au subset. """
mex = 0
while (mex in un_set):
mex += 1
return mex
def tab_kn_dn(nbr_octal:str)->list:
""" renvoie un tableau de tableau avec [kn:str,dn:int] pour chaque action d'un jeu octal. """
nb = verif_jeu(nbr_octal)
tab_res = []
for i in range(0, len(nb)):
tab_res += [[nb[i], i+1]]
return tab_res
def liste_action_possibles(taille_tab:int, kn:str, dn:int)->list:
""" renvoie un tableau de bool sur la possibilité des 3 actions. """
assert taille_tab > 0 , 'ton tableau est vide'
k_int = int(kn)
action = [False,False,False] #tableau des 3 actions est nous dis si elles sont possibles
if not dn > taille_tab: #lance les conditions seuleument la taille retiré est convenable
if k_int in TAS_0:
if dn == taille_tab:
action[0] = True
if k_int in TAS_1:
if dn < taille_tab:
action[1] = True
if k_int in TAS_2:
if dn+1 < taille_tab:
action[2] = True
return action
def liste_des_separations_tas_en_2(taille_tab:int, dn:int)->list:
""" renvoie tous les couples de possibilités d'une separation en deux d'un tas
dans un tableau de set. """
res = []
somme_des_taille_couple = taille_tab - dn
for i in range(1, (somme_des_taille_couple//2)+1):
val1 = i
val2 = somme_des_taille_couple-i
couple = (val1,val2) #crée le couple sous forme de tuple
res += [couple]
return res
def set_des_valeurs_grundy_atteignables(jeu_actions:list, tab_grundy:list, instant_i:int):
""" renvoie un set des valeurs atteignables pour le coup pour calculer la
valeur suivant du tab_grundy"""
res = set()
for actions in jeu_actions:
les_actions_possibles = liste_action_possibles(instant_i, actions[0], actions[1])
if les_actions_possibles[0] == True:
res.add(0)
if les_actions_possibles[1] == True:
res.add(tab_grundy[instant_i - actions[1]])
if les_actions_possibles[2] == True:
liste_separations_possibles = liste_des_separations_tas_en_2(instant_i, actions[1])
for tab in liste_separations_possibles:
res.add(tab_grundy[tab[0]] ^ tab_grundy[tab[1]])
return res
def tab_val_grundy(taille_tab:int, nbr_octal:str)->list:
""" renvoie un tableau de valeur de Sprague Grundy pour une taille_tab donné. """
tab_grundy = [0]
jeu_actions = tab_kn_dn(nbr_octal)
for i in range(1, taille_tab+1):
set_valeurs_atteignables = set_des_valeurs_grundy_atteignables(jeu_actions, tab_grundy, i)
tab_grundy += [calc_mex(set_valeurs_atteignables)]
return tab_grundy
def Grundy(taille_tab:int , nbr_octal:float):
""" renvoie la valeur de grundy du nombre donné"""
tab_grundy = tab_val_grundy(taille_tab, nbr_octal)
return tab_grundy[taille_tab]
Périodicité
def est_periode(p:int,s:int,tab_grundy:list,n:int)->bool:
""" test la périodicité"""
res = True
m = n-(p+s)
for i in range(m):
if s+p+i == len(tab_grundy):
res = False
break
if tab_grundy[s+i] != tab_grundy[s+p+i]:
res = False
break
return res
def test_periodicite(n:int,k:int,tab:list)->list:
""" renvoie un tableau si on trouve la période sinon renvoie None"""
for p in range(1,n+1):#periode
s = n-p
if est_periode(p,s,tab,n*2+k):
return (s,p,tab[s:s+p])
return None
def periodicite(nbr_octal:str)->list:
""" renvoie la période , taille de la période, taille de la prépériode d'un tableau avec les valeurs de grundy d'un jeu"""
taille_test = 30000
tab_test = tab_val_grundy(taille_test, nbr_octal)[1:taille_test] #tableau où chercher la périodicité
k = len(nbr_octal)
for n in range(k+2,len(tab_test)+1,2):
res = test_periodicite(n,k,tab_test)
if res != None:
return res
return "Periode non trouvé pour .{}".format(nbr_octal)
Méthode rare/fréquentes
Masque
def trie_dico_en_tab_croissant(dico:dict)->list:
""" renvoie un tableau de tableau trié par ordre croissant
selon les valeurs des clefs"""
res = []
dico_copy = dico.copy()
while dico_copy != {}:
clef_min = min(dico_copy, key=dico_copy.get)#cherche la clef avec la val minimale
res += [[clef_min,dico_copy[clef_min]]]
dico_copy.pop(clef_min)
return res
def cherche_id_gap_rare_freq(tab_frequences:list, nbr_echantillon:int)->int:
""" renvoie l'id du dernier element rare
d'un tableau trie de frequence de valeur """
freq = 0.1 * nbr_echantillon #frequence choisi pour determiner les valeurs rares
for i in range(len(tab_frequences)):
if tab_frequences[i] > freq:
id_gap = i-1
break
return id_gap
def cherche_rare_commun(tab_grundy:list)->list:
""" cherche les valeures rare d'un tableau en regardant leurs nombre d'apparitions
à partir d'un dico qui a pour clef le nombre et pour valeur son nombre d'apparition"""
nombre_ele = len(tab_grundy)
dico_frequence = {}
for ele in tab_grundy:
dico_frequence[ele] = dico_frequence.get(ele,0) + 1 #creer le dico de toutes les valeurs en clef et en valeurs leurs fréquences
tab_trie = trie_dico_en_tab_croissant(dico_frequence)
print(tab_trie)
tab_clef = [tab[0] for tab in tab_trie]
tab_frequences = [tab[1] for tab in tab_trie]
id_gap = cherche_id_gap_rare_freq(tab_frequences,nombre_ele)
rare = {0}
commun = set()
for i in range(len(tab_clef)):
if i <= id_gap:
rare.add(tab_clef[i])
else:
if tab_clef[i] != 0:
commun.add(tab_clef[i])
res = [rare,commun]
return res
def indice_des_bits_a_un(masque:str)->list:
""" renvoie un tableau contenant les indices des bits à 1"""
res = []
for i in range(len(masque)):
if masque[i] == '1':
res.append(i)
return res
def est_rare(ele_bin:str,ind_1_du_masque:list)->bool:
""" verfie si le nombre est rare"""
cpt_1 = 0
for ind in ind_1_du_masque:
if ele_bin[ind] == '1':#verifie que l'element à l'indice ind est bien 1 à l'indice des 1 sur le masque
cpt_1 += 1
return cpt_1 % 2 == 0
def rares_dans_masque(masque:str,val_max:int)->set:
"""Donne toutes les valeurs rares d'un masque dans un set"""
res = set()
n_bit = len(masque)
ind_des_1 = indice_des_bits_a_un(masque)
for nbr in range(val_max+1):
nbr_bin = mets_nombre_en_bin_sur_x_bits(nbr,n_bit)
if est_rare(nbr_bin,ind_des_1):
res.add(nbr)
return res
def cherche_masque_pour_un_tab_grundy(tab_grundy:list)->str:
""" va chercher un masque de n bit qui convient le mieux pour le tableau de grundy donné"""
tab_grundy = tab_grundy[1:] #enlève la première valeur qui est 0
val_max = max(tab_grundy)
taille_bit = len(bin(val_max)[2:])
masques_possibles = 2**taille_bit
tab_rare_commun= cherche_rare_commun(tab_grundy)
set_rare_cherche = tab_rare_commun[0]
set_frequent = tab_rare_commun[1]
res = 0
print("\nset_rare : {}".format(set_rare_cherche))
print("set_frequent : {}\n".format(set_frequent))
for i in range(1,masques_possibles):
masque = mets_nombre_en_bin_sur_x_bits(i,taille_bit)
set_rare_masque = rares_dans_masque(masque,val_max)
contient_rare = set_rare_cherche.issubset(set_rare_masque)
inter = set_frequent.intersection(set_rare_masque)
ne_contient_pas_frequent = inter == set()
if contient_rare and ne_contient_pas_frequent: #verifie si les rares cherchés sont biens dans le masque et qu'il ne contient pas de valeurs frequentes
res = masque
break
return f"\nle masque qui convient est {res}"
Code
def liste_des_id_des_rares_dans_tab(tab_grundy:list, listes_rares:set):
""" renvoie un tableau de tous les id des valeurs rares dans le tableau """
res = []
for i in range(1,len(tab_grundy)):
if tab_grundy[i] in listes_rares:
res + [i]
return res
def liste_des_separations_tas_en_2_pour_avoir_val_commune(taille_tab:int, dn:int, liste_rares:set)->list:
""" renvoie tous les couples de possibilités d'une separation en deux d'un tas
contenant uniquement une valeur rare"""
res = []
somme_des_taille_couple = taille_tab - dn
for val1_rare in liste_rares:
val2 = somme_des_taille_couple-val1_rare
if not val2 in liste_rares: #verifie que la valeur ne soit pas rares
couple = (val1_rare,val2) #crée le couple sous forme de tuple
res += [couple]
return res
def set_des_valeurs_grundy_atteignables_rares(jeu_actions:list, tab_grundy:list, instant_i:int, liste_rares:set):
""" renvoie un set des valeurs atteignables avec des couples contenant des valeurs rares"""
res = set()
for actions in jeu_actions:
les_actions_possibles = liste_action_possibles(instant_i, actions[0], actions[1])
if les_actions_possibles[0] == True:
res.add(0)
if les_actions_possibles[1] == True:
res.add(tab_grundy[instant_i - actions[1]])
if les_actions_possibles[2] == True:
global liste_separations_possibles_rares_commun
liste_separations_possibles_rares_commun = liste_des_separations_tas_en_2_pour_avoir_val_commune(instant_i, actions[1], liste_rares)
for couple in liste_separations_possibles_rares_commun:
res.add(tab_grundy[couple[0]] ^ tab_grundy[couple[1]])
return res
def tab_val_grundy_methode_masque(taille_tab_souhaite:int, nbr_octal:str, masque:str)->list:
taille_tab_inital = 10000
assert taille_tab_souhaite > taille_tab_inital, f"La taille de tableau recherché doit dépasser {taille_tab_inital}"
tab_grundy = tab_val_grundy(taille_tab_inital, nbr_octal)
jeu_actions = tab_kn_dn(nbr_octal)
listes_rares = rares_dans_masque(masque,max(tab_grundy)) #un set contant toutes les valeurs rares du masque
liste_id_rares = liste_des_id_des_rares_dans_tab(tab_grundy, listes_rares)
for taille in range(taille_tab_inital+1, taille_tab_souhaite+1):#Trouver les valeurs suivantes avec la méthode du masque
set_valeurs_atteignables = set_des_valeurs_grundy_atteignables_rares(jeu_actions, tab_grundy, taille, liste_id_rares)
mex = calc_mex(set_valeurs_atteignables)
if not mex in listes_rares:#si le mex est commun alors
tab_grundy += [mex]
else: #on va rajouter des valeurs jusqu'à avoir un mex commun sinon on continue jusqu'au bout
for actions in jeu_actions:
les_actions_possibles = liste_action_possibles(taille, actions[0], actions[1])
if les_actions_possibles[2] == True:
somme_des_taille_couple = taille - actions[1]
for i in range(1, (somme_des_taille_couple//2)+1):
val1 = i
val2 = somme_des_taille_couple-i
if all(val1 not in couple for (couple) in liste_separations_possibles_rares_commun):#verifie que la valeur n'a pas déjà été testé
set_valeurs_atteignables.add(tab_grundy[val1] ^ tab_grundy[val2])
mex = calc_mex(set_valeurs_atteignables)
if not mex in listes_rares:
break
if not mex in listes_rares:
break
tab_grundy += [mex]
return tab_grundy