Polyominos, pavages et solveurs SAT
Étudiant: MALABRE Etienne
Chercheur: HYVERNAT Pierre
Introduction au problème
Quelque soit notre âge, nous avons tous connus des jeux à bases de blocs/cases à placer, sous forme de jeux vidéo pour certain, sous forme de briques pour d'autre. Souvent un problème ce pose, est ce que je peut remplir cette forme avec telle pièce ? Le problème de pavage est exactement, celui-ci, on nous donne un ou plusieurs type de pièce, et une forme, et on veut savoir si on peut remplir la dite forme avec les pièces données ?
Dans notre cas pour répondre à ce problème, on utiliseras un SAT solver (ici SAT13). Celui-ci prendra un suite d'instruction logique, composé donc uniquement de ET, OU et NON logique, et plus particulièrement en FNC
Utilisation de SAT13
SAT13 est un solveur qui accepte une formule logique en forme normale conjonctive (FNC), composée uniquement d'opérations ET, OU et NON. Plus précisément :
- Chaque ligne représente une clause (un OU logique entre plusieurs littéraux).
- L’ensemble des lignes est évalué comme un ET logique.
- Un littéral est soit une variable, soit sa négation (utilisant le symbole
~).
A B ~C ~A D
Ceci correspond à :
(A ∨ B ∨ ¬C) ∧ (¬A ∨ D)
Représentation du problème
Pour représenter un problème de pavage :
- Une forme (ou grille) est décrite dans un fichier
tab.txt, où les cases utilisables sont indiquées par le caractère#. - Une pièce est décrite par une liste de coordonnées relatives comme
[[0,0], [0,1], [0,2], [1,2]].
Nous générons alors toutes les clauses logiques qui modélisent :
- les positions valides des pièces,
- la contrainte que chaque case soit couverte au moins une fois,
- la contrainte qu'elle ne soit couverte qu'une seule fois,
- l’implication logique entre une pièce placée et les cases couvertes.