MATH206 : Probabilités et Statistiques
Vocabulaire de probabilité
- Population
- Sous-population, échantillon
- Partition
- Cardinal (Propriété)
- Fréquence (Propriété)
- Variable aléatoire et Série statistique
Estimateur ponctuel
- Moyenne et espérance (rappel et "sens")
Formule de la moyenne (resp. espérance) d'une série statistique (resp. variable aléatore) X sur un population Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \Omega} : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle M(X) = E(X) = \frac{\sum_{i \in \Omega} X_i}{Card(\Omega)}} La moyenn est le nombre x qui remplace le mieux Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_i} pour l'ensemble de la population quand on regarde l'erreur quadratique donnée par la formule suivante (preuve facile en dérivant f): Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle f(x) = \sum_{i \in \Omega} (X_i - x)^2}
Cette erreur est d'ailleurs liée à la variance V(X) car:
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle V(X) = \frac{\sum_{i \in \Omega} (X_i - E(X))^2}{Card(\Omega)} = \frac{f(E(x))}{Card(\Omega)}}
Rappel on a aussi Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle V(X) = E(X^2) - E(X)^2}
- Propriété de la moyenne (linéarité) E(X + Y) = E(X) + E(Y) et E(aX) = aE(X)
- Définition d'estimateur et de biais
Un estimateur est une "formule" permettant de calculer un nombre à partir de la variable aléatoire restreinte à un échantillon.
Un estimateur estime un paramètre P(X) si il converge vers P(X) lorsque la taille de l'échantillon tend vers la taille de la population (cela n'a guère se sens que sur les populations infinies ...)
Un estimateur pour P(X) est sans biais, si son espérance est égale à P(X) lorsqu'on le considère comme une variable aléatoire sur la population des échantillons de taille n fabriquée à partir de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \Omega} (notée ).
- Estimateur de la moyenne : la moyenne sur l'échantillon est un estimateur sans biais de la moyenne sur la population entière. Si on note
- Estimateur de la variance (avec et sans remise) :
Si on note la variance d'un échantillon de taille n dans une population de taille N, on obtient un estimateur sans biais de la variance avec les formules suivantes:
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle \frac{n}{n-1}\sigma^2} dans le cas de tirage avec remise de l'échantillon
dans le cas de tirage sans remise (qui vaut bien Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \sigma^2} lorque n = N).
On prend donc en général, pour estimateur sans biais de V(X) sur un échantillon Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle A \subset \Omega} la valeur appelée variance empirique de Y :
Remarque: pour faire le calcul pour l'estimateur de variance, le point principal est de calculer l'espérance de où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_1} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_2} sont deux variables aléatoires obtenues à partir d'une variable aléatoire X en choisissant deux individus au hasard. On a besoin de faire ce calcul à la fois pour un choix de deux individus avec remise et sans remise.
Un peu de dénombrement
- Cardinal du produit cartésien : le produit des cardinaux.
- Tirage sans ordre et sans remise de p parmi n, c-à-d nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments :
- Tirage avec ordre et sans remise de p parmi n, c-à-d nombre de p-uplets d'un ensemble à n éléments (nombre d'injections de {1;...;p} dans un ensemble à n éléments) : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle A^p_n}
- Tirage avec ordre et avec remise de p parmi n, c-à-d nombre de tirage avec remise et avec ordre de p-élemnts parmis n (nombre d'applications de {1;...;p} dans un ensemble à n éléments) : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n^p}
- Tirage sans ordre et avec remise de p parmi n : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^{p}_{n+p-1} = C^{n-1}_{n+p-1}}
Rappel des formules usuelles pour les coefficients binomiaux.
- avec factoriel : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^p_n = \frac{A^p_n}{p!} = \frac{n!}{(n-p)!p!} = \frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}}
- triangle de Pascal : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^0_n = C^n_n = 1, C^{n-p}_n = C^p_n} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^{p+1}_{n+1} = C^p_n + C^{p+1}_n (0 \leq p \leq n - 1)}
- Formule du binôme de Newton et applications comme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle \sum_{p=0}^n C^p_n = 2^n} .
Probabilité et lois usuelles
- Probabilité (ou loi de probabilité) sur un ensemble Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \Omega}
: un nombre associé P(E) aux sous-ensembles Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E \subset \Omega}
d'un ensemble (pas toujours tous les sous-ensembles) tel que :
- Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle P(\emptyset) = 0}
- Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle P(\Omega) = 1}
- Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle P(E \cup F) = P(E) + P(F)} si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E \cap F = \emptyset}
- Évènements = Sous-ensemble. évènement certains, impossible, incompatible. Implication entre évènement et inégalité sur les probas.
- Cas des ensembles finies et probabilité uniforme.
- Loi image.
- Lois discrètes usuelles
- Loi indicatrice ou loi de Bernouiili
- Loi de Pascal
- Loi binomiale
- Loi hypergéométrique
- Loi de Poisson
- Lois continus