MATH206 : Probabilités et Statistiques

Feuilles de TD : 1

Introduction

Statistique descriptive: décrire avec le moins possible de nombres (ou avec un graphique) des données constituées d'un (très) grand nombre de valeur.

Probabilité: prédire la description précédente sans faire de mesure (à l'aide d'hypothèses).

Statistique mathématique ou inférentielle: comparer la prédiction à la mesure et confirmer ou infirmer des hypothèses scientifiques.

Exemple du dé juste.

Vocabulaire de probabilité

• Population  : Groupe d'objets étudiés. Elle peut-être :
  • "réelle" : les Français, les étudiants de ce cours...
  • "virtuelle" : l'ensemble des lancés de dés possibles...
• Sous-population, échantillon
• Expérience  : Choisir un élément dans une population.
• Evénement : L'événement se produit lorsque l'élément appartient à la sous-population.
• Partition  : Découpage d'un ensemble en plusieurs sous-ensembles disjoints.
• Cardinal  : Nombre d'éléments d'un ensemble.
• Fréquence d'un sous ensemble A ⊂ Ω : $F(A)={\frac {\displaystyle {card(A)}}{\displaystyle {card}(\Omega )}}$
• Variable aléatoire et Série statistique  : Application d'une population Ω dans un ensemble G quelconque.

Estimateur ponctuel

• Moyenne et espérance (rappel et "sens")

Formule de la moyenne (resp. espérance) d'une série statistique (resp. variable aléatore) X sur un population $\Omega$:

$\displaystyle M(X)=E(X)={\frac {\sum _{i\in \Omega }X_{i}}{Card(\Omega )}}$

Remarque: pour avoir le droit d'écrire $E(X)$ il faut que $X$ soit une variable aléatoire numérique, c-à-d une application de $\Omega$ dans Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mathbb{R}} (remarque hors programme : un espace vectoriel suffirait).

La moyenne est le nombre x qui remplace le mieux Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_i} pour l'ensemble de la population quand on regarde l' erreur quadratique donnée par la formule suivante (preuve facile en dérivant f): $\displaystyle f(x)=\sum _{i\in \Omega }(X_{i}-x)^{2}$

On définit deux types d'erreurs :

1. l'erreur absolue  : $\sum _{i\in \Omega }\mid X_{i}-x\mid$
2. l'erreur quadratique  : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \sum_{i \in \Omega} (X_i -x)^2 }

On choisit la seconde car la première est plus compliquée.

L'erreur quadratique est aussi liée à la variance V(X) car:

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle V(X) = \frac{\sum_{i \in \Omega} (X_i - E(X))^2}{Card(\Omega)} = \frac{f(E(x))}{Card(\Omega)}}

Rappel : On a aussi $V(X)=E(X^{2})-E(X)^{2}$

Démonstration
Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \begin{align}V(X) &= \frac{\sum_{i \in \Omega} (X_i - E(X))^2}{Card(\Omega)} \\                          &= E(i \mapsto (X_i - E(X))^2) \\                          &= E(i \mapsto X_i^2 - 2 X_i E(X) + E(X)^2) \\                          &= E(i \mapsto X_i^2) - 2 E(X) E(i \mapsto X) + E(i \mapsto E(X)^2) \\                          &= E(X^2) - 2 E(x)^2 + E(X)^2 \\                          &= E(X^2) - E(X)^2  \end{align}}

• Propriété de la moyenne (linéarité) : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E(X + Y) = E(X) + E(Y)} et $E(aX)=aE(X)$.
• Propriété de la variance : $V(aX)=a^{2}V(X)$

• Définition d'estimateur et de biais :

Un estimateur est une "formule" permettant de donner une bonne approximation d'un paramètre statistique à partir de la variable aléatoire restreinte à un échantillon.

Un estimateur estime un paramètre P(X) si il converge vers P(X) lorsque la taille de l'échantillon tend vers la taille de la population (cela n'a de sens que sur les populations infinies ...)

Un estimateur pour P(X) est sans biais, si son espérance est égale à P(X) lorsqu'on le considère comme une variable aléatoire sur la population des échantillons de taille n fabriquée à partir de $\Omega$ (notée $\Omega ^{(n)}$ si il s'agit d'échantillon sans répétition (ou remise) et sans ordre et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \Omega^{n}} pour les échantillons avec répétitions (avec remise) et avec ordre).

Quelques notations pour les preuves:

• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle i \mapsto ...} désigne la fonction qui a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle i} associe le contenu des trois petits points. Cela évite de donner des noms à toutes les fonctions ou d'utiliser trop de notations ambigue.
• Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \hat{P}(X)} désigne la valeur du paramètre statistique $P$ sur un échantillon (ici implicite).

Estimateur de la moyenne : la moyenne sur l'échantillon est un estimateur sans biais de la moyenne sur la population entière.

Démonstration :
Soit (A_1;...;A_n) l'échantillon (avec ou sans répétition, la preuve est identique) et 
${\hat {E}}(X)={\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{A_{i}}}{n}}$ la moyenne sur l'échantillon. 
On a:
${\begin{aligned}E({\hat {E}}(X))&=E\left(A\mapsto {\frac {\sum _{i=1}^{n}X_{A_{i}}}{n}}\right)\\&={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}E(A\mapsto X_{A_{i}})\\&={\frac {1}{n}}nE(X)=E(X)\end{aligned}}$
Explication:
- La première égalité est juste le remplacement de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \hat{E}(X)}
 par sa vraie définition, 
c'est à dire la variable aléatoire qui à l'échantillon Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle A}
 associe la moyenne de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X}

sur cet échantillon.
- La seconde égalité est juste lla linéarite de l'espérance.
- La troisième égalité vient du fait que pour chaque $i$ on a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E(A \mapsto X_{A_i}) = E(X)}
.
C'est intuitivement vrai, car prendre un échantillon de taille $n$ pour ne retenir que sa i-ème valeur,
revient à juste prendre un individu. Si vous n'êtes pas convaincu, faite le calcul !

• Estimateur de la variance (avec et sans remise) :

Si on note Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \hat{V}(X)} la variance d'un échantillon de taille n dans une population de taille N, on obtient un estimateur sans biais de la variance avec les formules suivantes:

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle \frac{n}{n-1}\hat{V}(X)} dans le cas de tirage avec remise de l'échantillon

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle \frac{N-1}{N} \frac{n}{n-1}\hat{V}(X)} dans le cas de tirage sans remise (qui vaut bien $\sigma ^{2}$ lorque n = N).

         Démonstration :
          Rappel préalable :  $V(X)=E((X-E(X))^{2})=E(X^{2}-2XE(X)+E(X)^{2})=E(X^{2})-2E(X)E(X)+E(x)^{2}=E(X^{2})-E(X)^{2}$
          Calcul préalable :  Soit X une variable aléatoire sur Ω, soient X1 et X2 deux variables aléatoires.
         ** avec remise : $E(X_{1}X_{2})={\frac {1}{N^{2}}}\left(\sum _{i,j\in \Omega }X_{i}X_{j}\right)=E(X)^{2}$
         ** sans remise : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E(X_1X_2)=\frac{\sum_{i,j \in \Omega ; i \neq j }X_iX_j}{N(N-1)} = \frac{\sum_{i,j \in \Omega}X_iX_j - \sum_{i \in \Omega}X_i^2}{N(N-1)}=\frac{ \left( \sum_{i \in \Omega} X_i \right) ^2 - \sum_{i \in \Omega }X_i^2}{N(N-1)}= E(X)^2 \frac{N}{N-1} - \frac{E(X^2)}{N-1}}

         Soit Ω une population de taille N, soit X une variable aléatoire sur Ω, on s'intéresse aux échantillons de taille n. 
         On a V(x) variance de la population et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \sigma^2}
 la variance d'un échantillon A de taille n.
         Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  \sigma^2 (A)=\frac{\sum_{i \in A} \left( X_i- \frac{\sum_{i \in A}X_i}{n} \right) ^2}{n}= \frac{n-1}{n} \sum_{i \in A} (X_i^2) - \frac{\sum_{i \neq j \in A} X_iX_j}{n^2}}
 D'où
         Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E(\sigma^2(A))=\frac{n-1}{n^2} \sum_{i \in A} E(X_i^2) - \frac{1}{n^2} \sum_{i \neq j \in A} E(X_iX_j)= \frac{n-1}{n} E(X^2) - \frac{n-1}{n} E(X_1X_2)}

         ** avec remise : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2)= \frac{n-1}{n} V(X) }

         ** sans remise : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E(\sigma^2(A))= \frac{n-1}{n} (E(X^2) - E(X)^2 \frac{N}{N-1} + \frac{E(X^2)}{N-1})= \frac{n-1}{n} \frac{N}{N-1}V(X) }

On prend donc en général, pour estimateur sans biais de V(X) sur un échantillon Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle A \subset \Omega} la valeur appelée variance empirique de Y : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle \sigma'^2 = \frac{1}{Card(A)-1}\sum_{i \in A} (y_i - \overline y)^2}

Remarque: pour faire le calcul pour l'estimateur de variance, le point principal est de calculer l'espérance de Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_1X_2} où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_1} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle X_2} sont deux variables aléatoires obtenues à partir d'une variable aléatoire X en choisissant deux individus au hasard. On a besoin de faire ce calcul à la fois pour un choix de deux individus avec remise et sans remise.

Un peu de dénombrement

• Cardinal du produit cartésien : le produit des cardinaux.

• Tirage sans ordre et sans remise de p parmi n, c-à-d nombre de parties à p éléments d'un ensemble à n éléments :

$\displaystyle C_{n}^{p}$

         Démonstration :
         On veut choisir p+1 éléments parmi n+1, sans ordre, sans remise. Soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E_n^p }
 l'ensemble des parties à p éléments de {1;...;n}.
         Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E_{n+1}^{p+1}= F_{n+1}^{p+1} \cup G_{n+1}^{p+1}}
 de sorte que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  F_{n+1}^{p+1} }
 est l'ensemble des p+1 éléments qui contiennent n+1,
         et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  G_{n+1}^{p+1} }
 est l'ensemble des p+1 éléments qui ne contiennent pas n+1. On a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  F_{n+1}^{p+1} \cap G_{n+1}^{p+1} = \emptyset}
. 
         D'autre part Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  G_{n+1}^{p+1}=E_{n}^{p+1} }
. Soit f: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E_n^p \rightarrow F_{n+1}^{p+1}}
, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  card(E_{n+1}^{p+1})=card(E_n^p) + card(E_n^{p+1})}

         Remarque :  Deux ensembles en bijection ont le même cardinal.

• Tirage avec ordre et sans remise de p parmi n, c-à-d nombre de p-uplets d'un ensemble à n éléments (nombre d'injections de {1;...;p} dans un ensemble à n éléments) :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle A^p_n}

         Démonstration:
         Soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  A_n^p }
 le nombre d'injection, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  A_n^1=n }
 et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  A_{n+1}^{p+1}=(n+1) \times A_n^p}
. 
         D'où Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  A_n^p= n A_{n-1}^{p-1}=n(n-1)(n-2) ... (n-p+1) }

• Tirage avec ordre et avec remise de p parmi n, c-à-d nombre de tirage avec remise et avec ordre de p-élemnts parmis n (nombre d'applications de {1;...;p} dans un ensemble à n éléments) :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n^p}

         Démonstration :
         Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  card(E \times E \times E \times ... \times E)=(cardE)^p=n^p }

• Tirage sans ordre et avec remise de p parmi n :

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^{p}_{n+p-1} = C^{n-1}_{n+p-1}}

         Démonstration : 
         On place n-1 jetons dans n+p-1 cases, il reste p cases libres. Il y a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  C_{n+p-1}^{n-1}=C_{n-1+p}^{p}}
 choix. 
         Soit f: Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  E \rightarrow \begin{Bmatrix}0;\dots;p\end{Bmatrix} }
 soit f associe à x le nombre de fois où x a été choisi. 
        On a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  \sum_{x \in E} f(x)=p}
, ce qui revient à n-1 jetons et p cases vides.

Choix de p éléments parmi n

Ordre\Remise	Sans (0≤p≤n)	Avec (0≤p)
Sans	Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^p_n}	Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^p_{n+p-1}}
Avec	Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle A^p_n}	Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle n^p }

Rappel des formules usuelles pour les coefficients binomiaux :

• avec factorielle : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^p_n = \frac{A^p_n}{p!} = \frac{n!}{(n-p)!p!} = \frac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}}
• triangle de Pascal : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^0_n = C^n_n = 1, C^{n-p}_n = C^p_n} et Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle C^{p+1}_{n+1} = C^p_n + C^{p+1}_n (0 \leq p \leq n - 1)}
• Formule du binôme de Newton et applications comme Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \displaystyle \sum_{p=0}^n C^p_n = 2^n} .

         Démonstration : 
         Soit Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  f(x)=(x+1)^n }
, Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  f(x)= \sum_{p=0}^n C_n^p x^p}
. En particulier, f(1)=2n.

Probabilité et lois usuelles

• Probabilité (ou loi de probabilité) sur un ensemble Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \Omega} : un nombre associé P(E) aux sous-ensembles Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E \subset \Omega} d'un ensemble (pas toujours tous les sous-ensembles) tel que :
  • Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle P(\emptyset) = 0}
  • Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle P(\Omega) = 1}
  • Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle P(E \cup F) = P(E) + P(F)} si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle E \cap F = \emptyset}

Conséquences :

μ (A ^C)=1- μ (A)

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle [(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \subset B)] \Rightarrow \mu (B) \geq \mu (A)}

Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mu (A \cup B)= \mu (A) + \mu (B) - \mu (A \cap B)} si A et B non disjoints.

• Évènements = Sous-ensemble . Evénements certains, impossibles, incompatibles. Implication entre évènement et inégalité sur les probas.
• Cas des ensembles finis et probabilité uniforme :

Pour définir une loi de probabilité sur un ensemble fini Ω, il suffit de donner la probabilité des singletons.

         Démonstration : 
         A={x1;...;xn} avec n=card(A). A={x1} ∪ {x2} ∪ ... ∪ {xn} où les singletons sont disjoints. 
         D'où μ (A)= μ (x1) + ... + μ (xn). Donner une loi sur Ω fini, c'est donner μ (x) pour tout x de Ω.

La loi de probabilité uniforme sur Ω fini est l'unique probabilité sur Ω telle que μ (x)=p pour tout x dans Ω avec Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle p=\frac{1}{card(\Omega)} } .

         Démonstration : 
         Ω = {x1;...;xN} avec N=card(Ω). D'où μ (Ω)= μ (x1) + ... + μ (xN)=Np. Or μ (Ω)=1. Donc p=1/N.

Si A ⊂ Ω et μ est une loi de probabilité uniforme sur Ω alors Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \mu (A)=\frac{ card(A) }{card( \Omega )} } .

         Démonstration : 
         N=card(Ω) et n=card(A) où A={x1;...; xn</sub}. 
         On a Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle  \mu (A)= \sum_{i=1}^n \mu (x_i)=\sum_{i=1}^n \frac{1}{N}=\frac{n}{N}}
.

• Loi image (image réciproque d'un ensemble Ω dans Ω') :

Soit X une variable aléatoire sur Ω, à valeurs dans Ω' (X fonction de Ω dans Ω'). On a une loi μ sur Ω. On construit une loi sur Ω', image de μ par X et notée μ_X. On a pour A inclus dans Ω μ (A)=μ (X^-1(A)).

Si Ω est un ensemble ordonné et μ une loi sur Ω, on définit F la fonction de répartition telle que Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle x \in \Omega , F(x)= \mu ( \{ a \in \Omega \mid a \leq x \} )} . F est croissante et tend vers 1.

         Démonstration :
         Si x ≤ y ∈ Ω et  {a/ a ≤ x} ⊂ {a/a ≤ y } alors μ ({a/a ≤ x}) ≤ μ ({a/a ≤ y}); d'où F(x) ≤ F(y).

• Variable aléatoire discrète
• Lois discrètes usuelles
  • Loi indicatrice ou loi de Bernouilli (I(p)) :

Soit X une variable aléatoire sur Ω à valeurs dans {0;1}. X(x)=1 si et seulement si x ∈ E ⊂ Ω (E=X^-1(1)).

Cette loi est déterminée par μ _X (1)= μ (E)=p (d'où μ _X (0)= μ (E^C)=1-p).

Espérance : E(X)=p

Variance : V(X)=p(1-p)

Ecart-type : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \sigma (X)=\sqrt{p(1-p)} }

• • Loi de Pascal (Pa(p)) :

Ω est muni d'une loi uniforme, E ∈ Ω est un événement. On réalise plusieurs expériences indépendantes jusqu'à obtenir un succès. Soit X le nombre total d'expériences (succès inclus). X est à valeurs dans lN*.

Cette loi est déterminée par μ (E)=p ∈ ]0;1[; μ (X=k)=(1-p) ^k-1p ∈ ]0;1[.

Espérance : E(X)=1/p

Variance : V(X)=1/(p²)

Ecart-type : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle \sigma (X)=1/p }

• • Loi binomiale
  • Loi hypergéométrique
  • Loi de Poisson
• Lois continues