INFO821 : Infographie

Bases mathématiques

Coordonnées cartésiennes dans le plan et l'espace

$(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ dans le plan
$(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ dans l'espace
Généralisation dans $\mathbb {R^{n}}$

Distinction en point et vecteur (direction).

Problèmes de représentation en machine : virgule flottante, virgule fixe, entier ... Tableau ou enregistrement (record).

Opérations sur les vecteurs : sommes, multiplication par un scalaire, produit scalaire et produit vectoriel.

Coordonnées projectives dans le plan et l'espace

Idée : ajouté les points à l'infini. Intérêt : simplifie beaucoup de choses (transformation affine, projection, classification des quadriques, ...)

$(x:y:t)\in \mathbb {P} ^{2}$ dans le plan projectif si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle (x,y,t)\neq(0,0,0)} . De plus si Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « https://wikimedia.org/api/rest_v1/ » :): {\displaystyle a \neq 0} , $(x:y:t)=(ax:ay:at)$
$(x:y:z:t)\in \mathbb {P} ^{3}$ dans l'espace projectif
Généralisation dans $\mathbb {P} ^{n}$

Comparaison avec les coordonnées cartésiennes : $(x:y:z:0)$ est le point à l'infini dans la direction (x,y,z) ou (-x:-y:-z). Parfois utile de distinguer $(x:y:z:0)$ de $(-x:-y:-z:0)$ . $(x:y:z:t)$ représente le point $(x/t,y/t,z/t)$ si $t\neq 0$ . Donc le point de coordonnées cartésiennes $(x,y,z)$ à les coordonnées projectives $(ax:ay:az:a)$ pour tout $a$ .