MATH801 : Géométrie affine et euclidienne

Géométrie Affine

Rappel des définitions

• Groupes, Anneaux, corps et espace vectoriel.
• Structure affine.

Un tout petit tour du coté de la géométrie projective (axiomatique)

La géométrie projective n'est pas au programme de ce cours. On ne fera donc aucun exercice, ni aucune démonstration en géométrie projective. Toutefois, pour se rappeler de tous les cas des théorèmes de Desargues et Pappus, plus tard pour classifier les coniques et surtout les quadriques, voir les choses de manière informelle dans le projectif est assez facile et permet de structurer le savoir et donc de retenir plus facilement les choses ...

On va donc donner très vite la définition de plan et espace projectif:

Un plan projectif est un ensemble de points et un ensemble de droites avec une relation d'incidence (ou appartenance) entre les points et les droites qui vérifient les propriétés suivantes:

• Toutes les droites ont au moins deux points et, en tout, il y a au moins trois points non alignés (non incident à la même droite).
• Par deux points distincts passent une unique droite.
• Deux droites distinctes ont un unique point (incident) commun.
• Il manque un axiome ...

Deux remarques

• Cette définition est totalement symétrique et si l'on échange les points et les droites et que l'on inverse la relation d'incidence on a encore un plan projectif. Cela permet de fabriquer un théorème nouveau à partir d'un autre déjà connu en échangeant le rôle des points et des droites.
• Un plan affine (que l'on introduira plus loin) est juste un plan projectif privé d'une droite (dite droite à l'infini).

Chaque point de cette droite à l'infini peut être associé à une classe d'équivalence de la relation de parallélisme ... ça veut dire que les droites parallèles affines sont les droites qui se rencontre sur la droite projective à l'infini ... Attention le point à l'infini d'une droite est le même des deux cotés.

On visualisera cela sur la projection de la demi-sphère fermée sur son plan tangent ... L'objectif est que l'étudiant visualise le plan projectif, même si on ne fait pas de démonstration en géométrie projective.

Un espace projectif est la donnée d'un ensemble de point, un ensemble de droite et un ensemble de plan, avec trois relations d'incidence (appartenance point/droite, point/plan et inclusion droite/plan), vérifiant les propriétés suivantes:

• Toutes les droites ont au moins deux points, tous les plans ont au moins trois points non alignés et au total on a au moins 4 points non coplanaires.
• Par deux points passent une unique droite (les deux points sont incidents à une unique droite)
• Deux plans distincts ont exactement une droite incidente commune.
• Un plan et une droite non incidente à ce plan ont un unique point incident commun.
• Une droite et un point non incident à cette droite sont incidents à un unique plan.

Remarque:

• On remarque encore la dualité ... En échangeant quoi ?
• D'après vous, un plan affine c'est un plan projectif avec quoi en moins ?
• Tous les plans d'un espace projectif sont des plans projectifs. Une chose surprenante est qu'il y a des plans projectifs qui ne sont le plan projectif d'aucun espace affine (cf plan de Moulton découvert en 1902). Il n'y a ce problème qu'en dimension 1 (la géométrie axiomatique des droites ne marchent pas du tout si elles ne sont pas plongée dans un plan) et la dimension 2. C'est pour ça que j'ai écris plus haut il manque un axiome (l'axiome de Desargues).

Énoncés des théorèmes/axiomes de Desargues et Pappus

Ces deux théorèmes sont deux théorèmes essentiels de la géométrie affine (parmis tant d'autres Thalès, Melenaus, ...)

Desargues (Français 1591-1661, un des fondateurs de la géométrie projective)

Soit $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ 3 droites 2 à 2 parallèles ou concourantes en 1 points. Soit pour tout $i\in \{1;2;3\}$, $A_{i}$ et $B_{i}$ deux points de $D_{i}$, alors on est dans l'un des trois cas suivant :

• Les trois couples de droites $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ pour $1\leq i<j\leq 3$ sont parallèles.
• Les trois couples de droites $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ pour $1\leq i<j\leq 3$ sont concourantes et les trois points d'intersection sont alignes.
• Deux des trois couples de droites $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ sont concourants, et les droites du troisième couple sont parallèles et la droite joignant les deux points d'intersection est aussi parallèle aux droites du troisième couple.

Il s'agit ici de l'expression du théorème de Desargues projectif traduit dans l'affine sans aucune perte de généralité.

On considère souvent (et plus bas) le théorème de Desargues affine suivant qui s'en déduit trivialement:

Soit $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ 3 droites 2 à 2 parallèles ou concourantes en 1 points. Soit pour tout $i\in \{1;2;3\}$, $A_{i}$ et $B_{i}$ deux points de $D_{i}$ alors si deux des trois couples de droites $(A_{i},A_{j}),(B_{i},B_{j})$ pour $1\leq i<j\leq 3$ sont parallèles, le troisième est aussi parallèle.

Plan affine incident

Un plan affine incidant est donné par

• Un ensemble de points et un ensemble de droite.
• Une relation d'incidence ("appartenance d'un point à une droite")
• Et 3 axiomes :
  • Deux points A et B distincs sont incidents à une unique droite notée (AB).
  • Au moins 3 points
  • L'axiome des parallèles : Pour toute droite D et tout point A non incident à D, il existe une unique droite D'

telle que A soit incidente à D' et telle qu'aucun point ne soit incident à la fois à D et D'.

Définition du parallélisme

Deux droites ayant au moins 2 points incidents en commun sont confondues (égales). On distingue alors les droites concourantes qui ont éxactement un point incident commun et les droites parallèles qui en ont 0 ou qui sont confondues.

L'axiome des parrallèles est alors équivalent à : Pour toute droite D et tout point A, il existe une unique droite D' parallèle à D telle que A soit incidente à D'.

On montre alors que la relation de parallélisme est une relation d'équivalence.

Plan affine de Desargues

Un plan affine de Desargues est un plan affine incident vérifiant l'axiome de Désargues affine (il existe un axiome de Desargues projectif) : si $D_{1}$, $D_{2}$ et $D_{3}$ sont trois droites concourantes en un seul point ou bien 3 droites 2 à 2 parallèles, si