MATH801 : Géométrie affine et euclidienne

Géométrie Affine

Rappel des définitions

• Groupes, Anneaux, corps et espace vectoriel.
• Structure affine, plan affine et espace affine.

Plan affine incident et parallélisme

Un plan affine incidant est donné par

• Un ensemble de points et un ensemble de droite.
• Une relation d'incidence ("appartenance d'un point à une droite")
• Et 3 axiomes :
  • Deux points A et B distincs sont incidents à une unique droite notée (AB).
  • Au moins 3 points
  • L'axiome des parallèles : Pour toute droite D et tout point A non incident à D, il existe une unique droite D'

telle que A soit incidente à D' et telle qu'aucun point ne soit incident à la fois à D et D'.

Deux droites ayant au moins 2 points incidents en commun sont confondues (égales). On distingue alors les droites concourantes qui ont exactement un point incident commun et les droites parallèles qui en ont 0 ou qui sont confondues.

L'axiome des parallèles est alors équivalent à : Pour toute droite D et tout point A, il existe une unique droite D' parallèle à D telle que A soit incidente à D'.

On montre alors que la relation de parallélisme est une relation d'équivalence.

Exercice 1: Faire la preuve.

Plan affine de Desargues, groupe des homothéties et des translations

Un plan affine de Desargues est un plan affine incident vérifiant l'axiome de Désargues affine.

Soit P un plan affine de Desargues. Le groupe des homothéties-translations de P est constitués des bijections de P dans P envoyant toute droite sur une droite qui lui est parallèle (les droites étant identifiés à leur point incidents).

Exercice 2: Montrez que c'est bien un groupe (pour la loi de composition), ... Sauf l'inverse qui attendre le Théorème 2.

Exercice 3: Montrez qu'une homothétie translation distincte de l'identité à 0 ou 1 point invariant. Indication: considérez l'image de deux points.

Théorème 1: Soit A, B, A' et B' quatre points, A, B et A' non alignés et tels que (AB)//(A'B'). Montrez qu'il existe une unique homothétie translation f tel que $f(A)=A'$ et $f(B)=B'$.

On appelle homothétie, une homothétie-translation qui a au moins un point fixe. Les translations sont les homothéties-translations qui ont 0 ou une infinité de point fixe (l'identité est à la fois une homothétie et une translation).

On appellera ensemble des homothéties-translations, les homothéties-translations augmentées des applications envoyant tout le plan sur un seul point. Ces nouvelles applications qui ne sont pas des bijections sont des homothéties (un seul point fixe) dites dégénérées. Les autres sont non-dégénérées. Si le contexte ne le précise pas, il faudra bien dire si l'on considère les homothéties non-dégénérées ou toutes les homothéties. Quand on disait "groupe des homothéties-translations", le mot "groupe" impliquait bien que les homothéties étaient non dégénérées:

Théorème 2: Une translation est uniquement déterminée par l'image d'un point. On notera $t_{\overrightarrow {AB}}$ la translation envoyant A sur B. Une translation est uniquement déterminée par son point-fixe et l'image d'un point. On notera $h_{\overrightarrow {AB}}^{0}$ l'homothétie de centre O envoyant A sur B (on peut dire le centre pour le point fixe d'une homothétie). Remarque: $h_{\overrightarrow {AO}}^{0}$ est l'homothétie envoyant tous les point du plan sur $A$. Finir l'exercice 2.

Exercice 4:

a - Montrez que la composition des translations est commutative (remarque la composition de fonction est toujours associative).

b - Montrez que la composition de deux translations est une translation.

c - Montrez que la composition de deux homothéties de même centre est une homothétie.

d - Montrez que la composition d'une homothétie et d'une translation est une homothétie. Précisez le centre. Si $h\circ t=t'\circ h$, qu'elle relation y-a-t'il entre t et t'.

On définit la conjugaison de f par g est $g\circ f\circ g^{-1}$.

Exercice 5: Montrez que la relation $f'\sim f$ définie sur l'ensemble homothéties-translations (dégénérées ou non) par $f'\sim f$ si et seulement si il existe une translation $t$ telle que $f'=t\circ f$ est une relation d'équivalence. Montrez que la composition est compatible avec cette relation. Qu'elle est la classe d'équivalence d'une translation ? Comment calcule-t-on l'homothétie de centre donnée équivalente à une homothétie donnée ? Pourquoi a-t-on mis la translation à gauche ?

On définit la multiplication à gauche d'une translation par une homothétie par $h.t_{\overrightarrow {AB}}=t_{\overrightarrow {h(A)h(B)}}$ et l'addition de deux homothéties de même centre $h_{\overrightarrow {AB}}^{O}+h_{\overrightarrow {AC}}^{O}=h_{\overrightarrow {At_{\overrightarrow {OC}}(B)}}^{O}$.

Exercice 6: Montrez que la multiplication d'une translation par une homothétie est en fait la conjugaison de la translation par l'homothéties. En déduire que cette multiplication distribue sur la composition des translations.

Exercice 7: Montrez que l'addition des homothéties ne dépend pas du centre choisi.

Théorème 7: Le quotient des homothéties-translations par la relation définie ci-dessus et muni de l'addition et de la multiplication est un corps. Les translations sont un espace vectoriel sur ce corps et en conséquence, tout plan affine de Desargues possède une structure de plan affine.

Exercice 8: Montrez que le théorème de Pappus affine est équivalent à la commutativité du corps.

Réciproque: preuve de Desargues et Pappus dans un plan affine

Desargues

Preuves en dimension 3. Preuve dans le cas de deux triangles coplanaires en ajoutant une troisième dimension, puis en projetant.

Pappus

Preuve par projection sur des droites.

Thalès

Théorème immédiat par les homotéties.